Iverson tartó

Az Iverson zárójel egy olyan függvény, amely 1-et ad vissza, ha az állítás igaz , és 0-t, ha az argumentum hamis:

[\,P\,]={\begin{cases}1,&{\text{if }}P{\text{ true}}\\0,&{\text{if }}P{\ szöveg{ false}}\end{cases}}

A jelölést Kenneth Iverson vezette be az APL programozási nyelvhez , és nagyon kényelmes matematikai jelölésnek bizonyult, például tömören definiálható vele:

Kronecker szimbólum : , $\delta_{ij} = [\,i=j\,]$
jelző funkció : , $\mathbf{1}_A(x) = [\,x \in A\,]$
Heaviside funkció : , $\theta (x)=[\,x\geqslant 0\,]$
számjel funkció : . $\sgn(x) = [\,x >0\,] - [\,x < 0\,]$

Ezenkívül a jelölés kényelmes az összegek kezelésekor , mivel lehetővé teszi azok kifejezését az összegzési index korlátozása nélkül, például:

\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{k}a_{k}[\,1\leqslant k\leqslant n\,]

vagyis az index végigfut az egész számok halmazán , és végtelen számú tagot formálisan összegzünk , de ezek közül csak véges sok különbözik a nullától. $k$ $\mathbb {Z}$

Példa egy számításra egy sorozat Iverson-féle összegjelölésével : ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}a_{j))$ $\{a_{i}\}$

[\,i < j\,] + [\,i = j\,] + [\,i >j\,] = 1

\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i<j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[ \,i=j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i>j\,]=\sum \limits _{i,j}a_{i }a_{j}

S + \sum\limits_{i} a_i^2 + S = \biggl(\sum\limits_{i} a_i \biggr)^2

és ami a jobb oldalt illeti:

{\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}=\sum \limits _{i}\sum \limits _{j}a_{i}a_{j}=\sum \ limits _{i}a_{i}\sum \limits _{j}a_{j}={\biggl (}\sum \limits _{i}a_{i}{\biggr )}^{2))

akkor:

S = \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_i a_j = \frac{1}{2} \biggl(\sum_{i=1}^n a_i \biggr)^2 - \frac{1} {2}\sum_{i=1}^n a_i^2

Irodalom

Graham R., Knut D., Patashnik O. Konkrét matematika. — M .: Mir, 1998. — 703 p. — ISBN 5-03-001793-3 .
Kenneth E. Iverson. Egy programozási nyelv. - Kaliforniai Egyetem: Wiley, 1962. - 286 p. — ISBN 0471430145 .