Z-transzformáció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. március 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A Z-transzformáció ( Laurent -transzformáció ) az eredeti jel konvolúciója, amelyet valós számok sorozata ad meg az időtartományban, a komplex frekvencia analitikus függvényévé . Ha a jel egy lineáris rendszer impulzusválaszát reprezentálja , akkor a Z-transzformációs együtthatók a rendszer válaszát mutatják összetett exponenciális értékekre , azaz különböző frekvenciájú és emelkedési/csökkenési sebességű harmonikus rezgésekre. $E(n)=z^{{-n}}=r^{{-n}}e^{{-i\omega n}}$

Definíció

A Z-transzformáció, mint sok integrál transzformáció, megadható egy- és kétoldalasként .

Kétirányú Z-transzformáció

A diszkrét idejű jel kétoldali Z-transzformációja a következőképpen adódik: $X(z)$ $x[n]$

X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.

ahol egy egész szám és egy komplex szám. $n$ $z$

z=Ae^{{j\varphi }},

ahol az amplitúdó és a szögfrekvencia ( radiánban mintánként) $A$ $\varphi$

Egyirányú Z-transzformáció

Azokban az esetekben, amikor csak a -hoz van definiálva , az egyoldalú Z-transzformációt a következőképpen adja meg: $x[n]$ $n\geqslant 0$

X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.

Inverz Z-transzformáció

Az inverz Z-transzformáció definíciója például a következő:

x[n]=Z^{{-1}}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{{C}}X(z)z ^{{n-1}}\,dz,

hol van a konvergencia területét körülvevő kontúr . A kontúrnak tartalmaznia kell az összes maradékot . $C$ $X(z)$ $X(z)$

Az előző képletet beillesztve ekvivalens definíciót kapunk: $z=re^{{j\varphi }}$ $x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{\pi }X(re^{{j\varphi }}) e^{{jn\varphi }}\,d\varphi .$

Konvergencia régió

A konvergencia tartománya a komplex síkon azon pontok meghatározott halmaza, amelyeknél a sorozatnak véges határa van: $D$

D=\left\{z{\Big |}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=const <\infty\right\}.

1. példa (nincs konvergenciarégió)

Hadd . Az intervallumot kiterjesztve megkapjuk $x[n]=0{,}5^{n}$ $x[n]$ $(-\infty ,\;\infty )$

x[n]=\{\ldots ;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1 };\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}=\{\ldots ; \;2^{3};\;2^{2};\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,} 5^{3};\;\ldots\}.

Nézzük az összeget:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\infty .

Ezért nincsenek olyan értékek , amelyek kielégítenék a konvergencia feltételt. $z$

Kapcsolat a Laplace-transzformációval

A bilineáris transzformáció felhasználható a folytonos idő átalakítására, például amikor a Laplace-transzformáció által reprezentált lineáris szűrőket analitikusan írjuk le diszkrét időmintákká, amelyek periódusa a z-tartományban reprezentálódik, és fordítva. Ez a transzformáció változó helyettesítést használ: $T,$

s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1))).

A fordított átmenetet a z-transzformációról a Laplace-transzformációra egy hasonló változóváltás hajtja végre:

z={\frac {2+sT}{2-sT)).

A bilineáris transzformáció leképezi a Laplace-transzformáció komplex s-síkját a z-transzformáció komplex z-síkjára. Ez a leképezés nemlineáris, és az a tény, hogy az s-sík tengelyét a z-síkban lévő egységkörre képezi le. $s=\sigma +j\omega$ $j\omega$

Így a Fourier-transzformáció , amely egy változó Laplace-transzformációja, diszkrét idejű Fourier-transzformációba megy át. Feltételezzük, hogy létezik a Fourier-transzformáció, vagyis a tengely a Laplace-transzformáció konvergenciatartományában van. $j\omega$ $j\omega$

Néhány Z-transzformáció táblázata

Megnevezések:

$\theta [n]=\left\{{\begin{array}{c}1,n\geqslant 0\\0,n<0\end{tömb}}\jobbra.$ a Heaviside függvény .
$\delta[n]=1$ mert , és az összes többi n egy delta sorozat (nem tévesztendő össze a Kronecker delta szimbólummal és a Dirac delta függvénnyel). $n=0$ $\delta[n]=0$

	Jel, $x[n]$	Z-transzformáció, $X(z)$	Konvergencia terület
egy	$\delta[n]$	$egy$	$\forall z$
2	$\delta[n-n_{0}]$	${\frac {1}{z^{{n_{0))))}$	$z\neq 0$
3	$\theta[n]$	${\frac {z}{z-1}}$	$\|z\|>1$
négy	$a^{n}\theta[n]$	${\frac {1}{1-az^{{-1)))$	$\|z\|>\|a\|$
5	$na^{n}\theta[n]$	${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$\|z\|>\|a\|$
6	$-a^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{{-1)))$	$\|z\|<\|a\|$
7	$-na^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$\|z\|<\|a\|$
nyolc	$\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-z^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{ {-2}}}}$	$\|z\|>1$
9	$\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {z^{{-1}}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{{- 2}}}}$	$\|z\|>1$
tíz	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-az^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{{-1}}\cos(\omega _{0})+a^{ 2}z^{{-2}}}}$	$\|z\|>\|a\|$
tizenegy	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z ^{-2}}}$	$\|z\|>\|a\|$

Lásd még

Linkek

Weisstein, Eric W. Z-Transform (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Döch G. Útmutató a Laplace-transzformáció és a Z-transzformáció gyakorlati alkalmazásához. R. Herschel által összeállított táblázatok alkalmazásával: Per. németből. Sorozat: Egy mérnök fizikai-matematikai könyvtára. 1971. 288 p.

Digitális jelfeldolgozás
Elmélet	Jel diszkrét jel Kotelnyikov tétele A statisztikai becslések elmélete Jelészlelési elmélet
alszakaszok	Digitális audiojel feldolgozás Az automatikus vezérlés elmélete Digitális képfeldolgozás Beszédfeldolgozás Statisztikai jelfeldolgozás
Technikák	Diszkrét Fourier transzformáció (DFT) Idő diszkrét Fourier transzformáció (DTFT) Impulzusválasz Bilineáris transzformáció Konzisztens Z-transzformáció Módosított Z-transzformáció
Mintavétel	Szupermintavétel almintavétel Felbontás csökkentése Felbontás növelése Aliasing szűrő Mintavételi gyakoriság Nyquist frekvencia