Módosított Z-transzformáció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. március 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A módosított (eltolt) Z-transzformáció a szokásos Z-transzformáció általánosabb esete , amely ideális késleltetést tartalmaz, amely a mintavételi frekvencia többszöröse . Matematikailag így írva:

{\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k))

ahol

T - mintavételi időszak
m ("eltolási paraméter") - a mintavételi időszak része $[0,T).$

A módosított Z-transzformációt széles körben használják a vezérléselméletben, különösen a késleltetett rendszerek pontosabb modellezésére.

Tulajdonságok

Ha az m eltolási paraméter rögzített, akkor a módosított z-transzformáció minden tulajdonsága megegyezik a normál Z-transzformációéval.

Linearitás

Z\left[\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right]=\sum _{k=1}^{n}c_{k} F(z,m).

Timeshift

Z\left[u(t-nT)f(t-nT)\right]=z^{-n}F(z,m).

Gyengülés

Z\left[f(t)e^{-a\,t}\right]=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).

Egy argumentum szorzása

Z\left[t^{y}f(t)\right]=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m) .

Véges értékű tétel

\lim _{k=\infty }f(kT+m)=\lim _{k=1+}F(z,m).

Az alapvető transzformációk táblázata

f(t)	F(z, m)
1 (t)	${\frac {z}{z-1}}$
t	${\frac {zmT}{z-1}}+{\frac {zT}{(z-1)^{2}}}$
e -at	${\displaystyle {\frac {ze^{-amT}}{ze^{-aT))))$
1-e- at	${\frac {z}{z-1}}-{\frac {ze^{-amT}}{ze^{-aT}}}$
sin ωt	${\frac {z^{2}\sin {(m\omega T)}+z\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos { \omega T}+1}}$

Példa

Hagyja, hogy az eredeti konvertálni . Akkor: $f(t)=\cos(\omega t)$

F(z,m)=Z\left[\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right]

F(z,m)=Z\left[\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right]

F(z,m)=\cos(\omega m)Z\left[\cos(\omega kT)\right]-\sin(\omega m)Z\left[\sin(\omega kT) \jobb]

F(z,m)=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\ omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}

F(z,m)={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (Tm))}{z^{2}-2z\cos(\ omega T)+1}}.

Ha , akkor egybeesik a Z-transzformációval: $m=0$ $F(z,m)$

F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1))

Digitális jelfeldolgozás
Elmélet	Jel diszkrét jel Kotelnyikov tétele A statisztikai becslések elmélete Jelészlelési elmélet
alszakaszok	Digitális audiojel feldolgozás Az automatikus vezérlés elmélete Digitális képfeldolgozás Beszédfeldolgozás Statisztikai jelfeldolgozás
Technikák	Diszkrét Fourier transzformáció (DFT) Idő diszkrét Fourier transzformáció (DTFT) Impulzusválasz Bilineáris transzformáció Konzisztens Z-transzformáció Módosított Z-transzformáció
Mintavétel	Szupermintavétel almintavétel Felbontás csökkentése Felbontás növelése Aliasing szűrő Mintavételi gyakoriság Nyquist frekvencia