Az automatikus vezérlés elmélete

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Az automatikus vezérlés elmélete ( TAU ) egy tudományos tudományág , amely a különböző fizikai természetű objektumok automatikus vezérlésének folyamatait vizsgálja . Ugyanakkor matematikai eszközök segítségével feltárják az automatikus vezérlőrendszerek tulajdonságait, és javaslatokat dolgoznak ki tervezésükre.

A műszaki kibernetika szerves részét képezi, és célja az automatikus vezérlés általános elveinek, valamint az automatikus vezérlőrendszerek (ACS) elemzési (működési kutatása) és szintézisének (paraméterek kiválasztása ) módszereinek kidolgozása műszaki objektumok számára.

Ennél az elméletnél csak a vezérlőobjektumok általi jeltranszformációk természete [1] számít.

Történelem

Az automatákkal kapcsolatos információk először korunk elején jelentek meg Alexandriai Heron „ Pneumatika ” és „ Mechanika ” című munkáiban , amelyek leírják a maga Heron és tanára, Ctesibius által létrehozott automatákat : egy pneumatikus automatát az ajtók kinyitására. templom, vízi orgona, szenteltvíz-árusító automata stb. Heron ötletei messze megelőzték korukat, és korában nem találtak alkalmazásra.

A középkorban az "android" mechanika utánzata jelentős fejlődésen ment keresztül, amikor a mechanikus tervezők számos olyan automatát hoztak létre, amelyek utánozták az egyéni emberi cselekvéseket, és a benyomás fokozása érdekében a feltalálók az automatákat külsőleg egy személyre hasonlították, és elhívták őket " androidok ", azaz humanoid. Jelenleg az ilyen eszközöket robotoknak hívják , ellentétben az emberi tevékenység minden területén széles körben használt automatikus vezérlőberendezésekkel, amelyeket automatáknak neveznek.

A 13. században Albert von Bolstadt német skolasztikus filozófus és alkimista robotot épített ajtók nyitására és zárására.

Nagyon érdekes androidokat hoztak létre a XVII-XVIII. században. A 18. században Pierre Droz svájci órásmesterek és fia, Henri létrehoztak egy mechanikus írnokot, egy mechanikus művészt és egyebeket.A 18. században egy gyönyörű automata színházat hoztak létre. Orosz autodidakta szerelő Kulibin . Az Ermitázsban őrzött színháza egy "tojásfigurás órában" kapott helyet.

A kezdeti szakaszban az automatikus vezérlés elméletének számos rendelkezése megtalálható a (Lineáris) Szabályozók Általános elméletében, amelyet főként 1868-1876 között dolgoztak ki Maxwell és Vyshnegradsky munkáiban . Vyshnegradsky alapvető munkái a következők: "A szabályozók általános elméletéről", "A közvetett cselekvés szabályozóiról". Ezekben a munkákban a szabályozás stabilitásának és minőségének vizsgálatára szolgáló modern mérnöki módszerek eredetét találhatjuk meg.

A kiváló szovjet matematikus, Andrei Markov (junior) , a szovjet konstruktivista matematikai iskola megalapítójának, az algoritmuselméletről és a matematikai logikáról szóló művek szerzőjének munkái döntően befolyásolták a hazai tanulmányozási módszertan kialakulását. az automatikus vezérlés elmélete . Ezeket a tanulmányokat Lebegyev akadémikus tudományos és gyakorlati tevékenységében alkalmazták katonai témákban - a torpedók automatikus vezérlése és a fegyverek irányítása, valamint a nagy energiarendszerek stabilitása .

A 20. század elejére és első évtizedében az automatikus vezérlés elmélete általános tudományágként formálódik, számos alkalmazott szekcióval.

Alapfogalmak

Az automatizálás a tudomány és a technológia egyik ága, amely felöleli az automatikus vezérlés elméletét és gyakorlatát, valamint az automata rendszerek kiépítésének alapelveit és az azokat alkotó műszaki eszközöket.

A vezérlőobjektum (OC) egy eszköz, egy fizikai folyamat vagy folyamatok összessége, amelyet vezérelni kell a kívánt eredmény eléréséhez. Az operációs rendszerrel való interakció úgy történik, hogy a feltételes bemenetére egy vezérlőműveletet alkalmaznak (amely korrigálja az operációs rendszerben előforduló folyamatokat), míg a kimenet egy megváltozott paraméter (ami folyamatkövetkezmény).

A vezérlés a vezérlőobjektum bemenetére alkalmazott hatás (jel), amely biztosítja a folyamatok olyan áramlását a vezérlőobjektumban, amely biztosítja a meghatározott vezérlési cél elérését annak kimenetén.

A cél a folyamatok kívánt áramlása a vezérlőobjektumban, és a kívánt paraméterváltozás elérése annak kimenetén.

Objektumok:

sikerült
kezeletlen

Az automatikus vezérlőrendszer (ACS) egy vezérlőobjektumot és egy vezérlőeszközt tartalmaz.

A vezérlőeszköz (CU) olyan eszközök összessége, amelyek a vezérlőobjektum bemeneteit vezérlik.

A szabályozás a vezérlés egy speciális esete, melynek célja a vezérlőobjektum egy vagy több kimenetének adott szinten tartása.

Szabályozó - az ε(t) vezérlési hibát a vezérlőobjektumhoz érkező vezérlési műveletté alakítja.

A g(t) beállítási művelet határozza meg a kimeneti érték szükséges szabályozását.

Szabályozási hiba ε(t) = g(t) - y(t), a szabályozott változó szükséges értéke és aktuális értéke közötti különbség. Ha ε(t) nem nulla, akkor ez a jel a vezérlő bemenetére kerül, ami olyan vezérlési műveletet generál, amely idővel végül ε(t) = 0.

Az f(t) zavaró művelet a vezérlőobjektum bemenetén zajló folyamat, amely akadályozza a vezérlést.

Automatikus vezérlőrendszerek:

Nyisd ki:

programvezérlő rendszer. A CU úgy ad ki vezérlési műveletet, hogy nem kap információt a rendszer állapotáról bármilyen jel, időprogram alapján (egyszerűség és fokozott megbízhatóság, alacsony vezérlési minőség);
SU a felháborodást. A CU vezérlőműveletet generál a rendszert érő zavaró hatás mértékére vonatkozó információk alapján.

Zárt: A CU a kiválasztott paraméterhez tartozó objektum állapotára vonatkozó mért információk alapján vezérlőműveletet generál.
Kombinált rendszer: A CU az objektum paramétereire vonatkozó információk és a zavaró művelet információi alapján vezérlő műveletet generál.

Funkcionális diagramok

Egy elem funkcionális diagramja - egy automatikus szabályozási és vezérlőrendszer diagramja, amely az elem által ellátott funkció szerint van összeállítva.

A kimeneti jelek olyan paraméterek, amelyek a vezérlőobjektum állapotát jellemzik, és elengedhetetlenek a vezérlési folyamathoz.

A rendszerkimenetek olyan pontok a rendszerben, ahol a kimeneti jelek bizonyos fizikai mennyiségek formájában megfigyelhetők.

A rendszerbemenetek a rendszer azon pontjai, ahol külső hatások érvényesülnek.

Bemeneti jelek:

interferencia - olyan jelek, amelyek nem kapcsolódnak a menedzsment feladatairól és eredményeiről szóló információforrásokhoz.
hasznos - az információforrásokhoz kapcsolódó jelzések a menedzsment feladatairól és eredményeiről.

Rendszerek:

egydimenziós - rendszerek egy bemenettel és egy kimenettel.
többdimenziós - több bemenettel és kimenettel rendelkező rendszerek.

ACS vezérlési alapelvek

A visszacsatolás olyan kapcsolat, amelyben a kimeneti változó valós értéke , valamint a vezérelt változó beállított értéke a vezérlő bemenetére kerül .

hard - egy olyan operációs rendszer, amelyben a vezérlő bemenete az objektum kimeneti jelével arányos jelet kap bármikor.
rugalmas - olyan operációs rendszer, amelyben a vezérlő bemenete nemcsak az objektum kimeneti jelével arányos jelet kap, hanem a kimeneti változó deriváltjaival arányos jelet is.

Szabályozás a szabályozott változó eltérésének elve szerint - a visszacsatolás zárt hurkot képez. A vezérelt objektumot a kimeneti változó és a beállított érték összegével (különbségével) arányos műveletnek vetik alá, így ez az összeg (különbség) csökken.

Szabályozás a zavarok kompenzációjának elve szerint - a zavaró hatással arányos jel érkezik a vezérlő bemenetére. Nincs kapcsolat a vezérlőművelet és ennek a műveletnek az objektumon elért eredménye között.

A kombinált szabályozás elvén alapuló vezérlés - zavar- és eltérésszabályozást egyaránt alkalmaznak, ami biztosítja a legmagasabb szabályozási pontosságot.

A szabályozott változó eltérésének elve TAU-ban
Zavarkompenzáció elve TAU-ban
A kombinált szabályozás elve a TAU-ban

Az ACS osztályozása

Az ellenőrzés jellege szerint:

vezérlőrendszerek
vezérlőrendszerek

Az akció jellege szerint:

folyamatos rendszerek
diszkrét cselekvési rendszerek
relé akciórendszerek

A vezérlőobjektum állapotára vonatkozó információk felhasználási foka szerint:

OS vezérlés
vezérlés operációs rendszer nélkül

A vezérlőobjektum paramétereivel és szerkezetével kapcsolatos információk felhasználásának mértéke szerint:

alkalmazkodó
rosszul alkalmazkodó
keresés
keresetlen
azonosítással
változó szerkezettel

A koordináta transzformáció mértéke szerint az ACS-ben:

meghatározó
sztochasztikus (véletlen hatásokkal)

A koordináta-transzformáció matematikai modellje alapján:

lineáris
nemlineáris (relé, logikai stb.)

Az ellenőrzési műveletek típusa szerint:

analóg
diszkrét (szakaszos, impulzusos, digitális)

Az emberi részvétel mértéke szerint:

kézikönyv
automatikus
automatizált (ember irányít)

A kimeneti változó változásának törvénye szerint:

stabilizáló : a kimeneti változó előírt értéke változatlan.
program : a kimeneti változó egy bizonyos, előre meghatározott program szerint változik.
követés : a kimeneti változó előírt értéke az automata rendszer bemenetén előre ismeretlen változó értékétől függ.

A szabályozott és szabályozott változók száma szerint:

egydimenziós : ha az objektumnak csak egy manipulált értéke van;
többdimenziós: ha az objektum viszonylag sok vezérelt változóval és a megfelelő számú vezérlési művelettel rendelkezik.

Az önhangolás, az alkalmazkodás, az optimalizálás és az intelligencia mértéke szerint:

szélső
önhangolás
szellemi

Az érzékeny (mérő) elem szabályozó szervre gyakorolt hatása szerint:

közvetlen vezérlőrendszerek
közvetett vezérlőrendszerek

Intelligens önjáró fegyverek

Az ISAS olyan rendszerek, amelyek lehetővé teszik a betanítást, az adaptációt vagy a hangolást egy objektum viselkedésére, vezérlőrendszerére és külső hatásokra vonatkozó információk memorizálásával és elemzésével. Ezeknek a rendszereknek egy jellemzője a következtetési motor adatbázisának, a magyarázati alrendszernek stb.

Tudásbázis – formalizált szabályok logikai képletek, táblázatok stb. formájában. Az IMS-t rosszul formalizált vagy összetett műszaki objektumok kezelésére használják.

Az ISU osztály a következő jellemzőknek felel meg:

CS interakciók elérhetősége a valós külvilággal információs kommunikációs csatornákon keresztül.
A tudás feltöltéséhez, megszerzéséhez a rendszer nyitottsága szükséges.
A rendszer működési környezetében bekövetkezett változások előrejelzésére szolgáló mechanizmusok rendelkezésre állása.
A CO-ra vonatkozó információk pontatlansága a vezérlő algoritmus intellektualizálásának növelésével kompenzálható.
A működés megőrzése kommunikáció megszakadása esetén.

Ha az ISU mind az 5 kritériumnak megfelel, akkor "nagy", egyébként "kicsi" értelemben intelligens.

A lineáris ACS matematikai modelljei

Determinisztikus

$W_{0}(p)={\frac {A(p)}{B(p)))$

$W_{0}(p)={\frac {K_{0}}{T_{0}p}}e^{-p\tau }$

Statisztikai

A statisztikát statisztikai paraméterek és eloszlási függvények halmaza jellemzi. Tanulmányukhoz matematikai statisztikai módszereket használnak .

Adaptív

Az adaptívak determinisztikus-sztochasztikus módszereket használnak a vezérlőobjektum leírására.

A hatások típusai. Átmenet, súly, átviteli függvények

Az azonossági lépésfüggvény egy speciális matematikai függvény, amelynek értéke nulla a negatív argumentumoknál, és egy a pozitív argumentumoknál. Ez a természetes legegyszerűbb hatás a vezérlőobjektumra. A matematikában ezt a Heaviside azonosságfüggvény fejezi ki .
Az egységimpulzusfüggvény az egységlépéses függvény deriváltja. Egy végtelenül nagy amplitúdójú impulzust jellemez, amely végtelenül rövid ideig áramlik. A geometriai jelentése az, hogy a függvény által határolt terület egyenlő 1-gyel. Számos olyan esetben használják, amikor a dinamikus jellemzők legegyszerűbb meghatározásának folyamata a kimeneti érték túllépése miatt egy adott értéknél lehetetlen. . [2]
Az átmeneti funkció a rendszer válasza egy lépéses jelre.
A súlyfüggvény a rendszer válasza egyetlen impulzusra.
Az átviteli függvény a kimeneti jel Laplace-transzformációjának és a bemeneti jel Laplace-transzformációjának arányanulla kezdeti feltételek és nulla külső zavarás esetén.

A hivatkozások összekapcsolásának átviteli funkciója

Soros kapcsolat

W e (p) \u003d W 1 (p) W 2 (p) ... W n (p) \u003d (p) $\prod _{i=1}^{n}W_{i}$

Párhuzamos kapcsolat

W e (p) \u003d W 1 (p) + W 2 (p) + ... + W n (p) \u003d (p) $\sum _{i=1}^{n}W_{i}$

Zárt rendszer átviteli függvénye

W OC (p) a visszacsatoló áramkört leíró egyenlet
W(p) a kapcsolatot leíró egyenlet
G(p) a bemeneti műveletet leíró egyenlet
Az U OC (p) a visszacsatoló kapcsolat kimeneti jelét leíró egyenlet
A ΔU(p) egy egyenlet, amely leírja a G(p) és az U OC (p) összegét (különbséget)
Y(p) a rendszer kimeneti jelét leíró egyenlet

$f(n)=\left\{{\begin{mátrix}Y(p)=W(p)\Delta U(p)\\U_{OC}(p)=W_{OC}(p)Y(p) )\\\Delta U(p)=G(p)\mp U_{OC}(p)\end{mátrix}}\jobbra.$

Ezt az egyenletrendszert megoldva a következő eredményeket kapjuk:

$Y(p)=W(p)(G(p)\mp W_{OC}(p)Y(p))$

$Y(p)\pm W(p)W_{OC}(p)Y(p)=W(p)G(p)$

$Y(p)={{W(p)G(p)} \több mint {1\pm W(p)W_{OC}(p)}}$

$W_{\ni }(p)={Y(p) \over G(p)}={W(p) \over 1\pm W(p)W_{OC}(p)}$

Az állapottér átviteli függvény beszerzése

Az állapottérben a rendszer a következőképpen van megadva:

$\left\{{\begin{mátrix}{\pont {x}}(t)=A\cdot x(t)+B\cdot u(t)\\y(t)=C\cdot x(t) +D\cdot u(t)\end{mátrix}}\jobbra.$

A rendszernek m bemenete van u(t), l kimenete y(t), n állapota x(t), n>= max(m, l), A,B,C,D a megfelelő nxn dimenziójú numerikus mátrixok, nxm, lxn ..

Legyen én egy nxn azonosságmátrix, akkor:

pI X(p) - AX(p) = BU(p)

(pI - A)X(p) = BU(p)

x(0) = 0

X(p)=Wxu(p)U(p); Wxu(p) = (pI-A)^{-1)B

Y(p)=Wyu(p)U(p); Wyu(p)=C (pI - A)^{-1) B + D

Rendszerek és linkek linearizálása

Legyen az ACS vezérlése és leírása egy nemlineáris egyenlettel

$F(x,{\pont {x}},y,{\pont {y}},{\dpont {y}},...,f,{\pont {f}},{\dpont {f} })=0$

Ráadásul a nemlinearitás jelentéktelen, vagyis ez a függvény egy Taylor-sorban egy stacionárius pont közelében, például f = 0 külső perturbációval bővíthető .

Ennek a kapcsolatnak az egyenlete állandósult állapotban a következő:

$F(x^{0},0,y^{0},0,0)=0,x_{k}^{0},y_{k}^{0}$ , kezdőpontok, származékok hiányoznak.

Ezután a nemlineáris függvényt egy Taylor sorozatban kibővítve kapjuk:

$F(x^{0},y^{0})+\left({\frac {\partial F}{\partial x))\right)^{0}\Delta x+\left({\frac {\ részleges F}{\partial {\pont {x}}}}\right)^{0}\Delta {\pont {x}}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\ jobb)^{0}\Delta y+\left({\frac {\partial F}{\partial {\pont {y))))\right)^{0}\Delta {\pont {y))+\ left({\frac {\partial F}{\partial {\ddot {y))))\right)^{0}\Delta {\ddot {y}}+R_{n}=0,R_{n} ,$ - maradék

$F(x,y)^{0}+\left(-b_{1}\right)\Delta x+\left(-b_{0}\right)\Delta {\pont {x}}+\left(a_ {2}\jobbra)\Delta y+\left(a_{1}\right)\Delta {\pont {y}}+\left(a_{0}\right)\Delta {\ddot {y}}+R_ {n}=0$

$\left\{{\begin{mátrix}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{mátrix}}\jobbra.\Rightarrow R_{n}\rightarrow 0$

$a_{0}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+a_{1}{\frac {dy}{dt}}+a_{2}y=b_{0}{ \frac {dx}{dt}}+b_{1}x$

Nemlineárisról lineárisra váltottunk. Térjünk át az operátori egyenletre:

$(a_{0}p^{2}+a_{1}p+a_{2})y=(b_{0}p+b_{1})x$

$F()\rightarrow F(\Delta x,\Delta y)\rightarrow LE\rightarrow OE$

Az önjáró fegyverek irányíthatósága, megfigyelhetősége

Az ACS akkor vezérelhető (teljesen vezérelhető), ha bármely x 0 (t) kezdeti állapotból átvihető egy másik tetszőleges x 1 (t) állapotba egy tetszőleges időpillanatban U(t)∈[t darabonkénti folyamatos művelettel 0 ;t 1 ].

Az ACS megfigyelhető (teljesen megfigyelhető), ha az összes x(t) állapotváltozó meghatározható a kimeneti (mért) y(t) hatásból.

Lineáris rendszerek stabilitása

A stabilitás az ACS azon tulajdonsága, hogy bármilyen zavarás után visszatér egy adott vagy ahhoz közel álló egyensúlyi állapotba. A stabil ACS egy olyan rendszer, amelyben a tranziens folyamatok csillapításra kerülnek.

$(a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n})y=(b_{0}p^{m}+b_{1 }p^{{m-1}}+...+b_{m})g$ a linearizált egyenlet operátoralakja.

y(t) \u003d y halmaz (t) + y p \ u003d y out (t) + y st

y száj (y out ) a linearizált egyenlet sajátos megoldása.

y p (y st ) a linearizált egyenlet általános megoldása homogén differenciálegyenletként, azaz $D(p)=(a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n})y=0$

Az ACS akkor stabil, ha az esetleges zavarok által okozott y n (t) tranziens folyamatok idővel csillapodnak, azaz amikor $y_{n}(t)\jobbra nyíl 0$ $t\rightarrow {\mathcal {1}}$

A differenciálegyenletet általános esetben megoldva p i , p i+1 = ±α i ± jβ i komplex gyököket kapunk.

Minden összetett konjugált gyökpár megfelel az átmeneti egyenlet következő összetevőjének:

$c_{i}e^{{(\alpha _{i}+j\beta _{i})t}}+c_{{i+1}}e^{{(\alpha _{i}-j\ béta _{i})t}}=\alpha _{i}(c_{i}e^{{j\beta _{i}t}}+c_{{i+1}}e^{{-j \beta _{i}t)))=Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}$ , hol , $A={\sqrt {c_{i}^{2}+c_{{i+1}}^{2}}}$ $\operátornév {tg}{\varphi _{i}}={c_{i}+c_{{i+1}} \over c_{i}-c_{{i+1}}}$

A kapott eredményekből látható, hogy:

∀α i <0 esetén a stabilitási feltétel teljesül, azaz a tranziens folyamat idővel y szájba hajlik (Ljapunov 1. tétele);
ha ∃α i >0, az instabilitási feltétel teljesül (Ljapunov-tétel 2), azaz , ami divergens rezgésekhez vezet; $Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}\rightarrow {\mathcal {1}}$
∃α i =0 és ¬∃α i >0 esetén, ami a rendszer (a stabilitási határon lévő rendszer) csillapítatlan szinuszos oszcillációihoz vezet (Ljapunov 3. tétele). $Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}=const$

A stabilitás kritériumai

Routh-kritérium

A rendszer stabilitásának meghatározásához az alábbi űrlaptáblázatokat építjük fel:

Esély	Húrok	oszlop 1	2. oszlop	3. oszlop
	egy	$C_{{11}}=a_{0}=T_{1}T_{2}T_{3}$	$C_{{12}}=a_{2}=T_{1}+T_{2}+T_{3}$	$C_{{13}}=a_{4}$
	2	$C_{{21}}=a_{1}=T_{1}T_{2}+T_{2}T_{3}+T_{1}+T_{3}$	$C_{{22}}=a_{3}=1+k$	$C_{{23}}=a_{5}$
$r_{3}={\frac {C_{{11}}}{C_{{21}}}}$	3	$C_{{31}}=C_{{12}}-r_{3}C_{{22}}$	$C_{{32}}=C_{{13}}-r_{3}C_{{23}}$	$C_{{33}}=C_{{14}}-r_{3}C_{{24}}$
$r_{4}={\frac {C_{{21}}}{C_{{31}}}}$	négy	$C_{{41}}=C_{{22}}-r_{4}C_{{32}}$	${\displaystyle C_{42}=C_{23}-r_{4}C_{33))$	$C_{{43}}=C_{{24}}-r_{4}C_{{34}}$

A rendszer stabilitása érdekében szükséges, hogy az első oszlop minden eleme pozitív értékű legyen; ha az első oszlopban negatív elemek vannak, a rendszer instabil; ha legalább egy elem nullával egyenlő, a többi pedig pozitív, akkor a rendszer a stabilitás határán van.

Hurwitz- kritérium

$D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n}$

$\Delta _{n}=a_{n}\cdot \Delta _{{n-1}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&...&0\\a_ {0}&a_{2}&a_{4}&...&0\\0&a_{1}&a_{3}&...&0\\...&...&...&...&. ..\\0&...&...&...&a_{n}\end{vmatrix}}$ - Hurwitz meghatározó

Tétel : a zárt ACS stabilitásához szükséges és elégséges, hogy a Hurwitz-determináns és minden minorja pozitív legyen $a_{0}>0.$

Mihajlov kritériuma

$D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n}$

Helyettesítsük , ahol ω az adott karakterisztikus polinom tisztán képzeletbeli gyökének megfelelő rezgések szögfrekvenciája. $p=j\omega$

$D(j\omega )=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^{{j\psi (\omega )}}$

$X(\omega )=a_{n}-a_{{n-2}}\omega ^{2}+...$

$Y(\omega )=a_{{n-1}}\omega -a_{{n-3}}\omega ^{3}+...$

Kritérium : egy n-edrendű lineáris rendszer stabilitásához szükséges és elégséges, hogy a koordinátákban megszerkesztett Mihajlov-görbe n kvadránson haladjon át egymás után. $X(\omega),Y(\omega)$

$D(p)=a_{0}(p-p_{1})(p-p_{2})...(p-p_{n})$

$p=j\omega \Jobbra D(j\omega )=a_{0}(j\omega -p_{1})(j\omega -p_{2})...(j\omega -p_{n} )$

Tekintsük a Mihajlov-görbe és a gyökeinek jelei közötti kapcsolatot (α>0 és β>0)

1) A karakterisztikus egyenlet gyöke egy negatív valós szám $p_{1}=-\alpha _{1}$

Az adott gyökérnek megfelelő tényező $(\alpha _{1}+j\omega )$

$\left\{{\begin{mátrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=-\alpha _{1}\end{mátrix}}\right.\Rightarrow \psi \ jobbra nyíl {\frac {\pi }{2))$

2) A karakterisztikus egyenlet gyöke egy pozitív valós szám $p_{1}=+\alpha _{1}$

Az adott gyökérnek megfelelő tényező $(\alpha _{1}-j\omega )$

$\left\{{\begin{mátrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=+\alpha _{1}\end{mátrix}}\right.\Rightarrow \psi \ jobbra nyíl -{\frac {\pi }{2}}$

3) A karakterisztikus egyenlet gyöke egy negatív valós résszel rendelkező komplex számpár $p_{{2,3}}=-\alpha _{1}\pm j\beta$

Az adott gyökérnek megfelelő tényező $(j\omega +\alpha _{1}-j\beta )(j\omega +\alpha _{1}+j\beta )$

$\left\{{\begin{mátrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=-\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=-\alpha _{1}-j\beta \end{mátrix}}\jobbra.\Rightarrow \left\{{\begin{mátrix}\psi _{2}\rightarrow +{\frac {\pi }{2}}- \gamma \\\psi _{3}\rightarrow +{\frac {\pi }{2}}+\gamma \end{mátrix}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow +2{\frac {\pi }{2}}=+\pi$ , ahol $\gamma =\operátornév {arctg}{\frac {\beta }{\alpha ))$

4) A karakterisztikus egyenlet gyöke egy pozitív valós résszel rendelkező összetett számpár $p_{{2,3}}=+\alpha _{1}\pm j\beta$

Az adott gyökérnek megfelelő tényező $(j\omega -\alpha _{1}-j\beta )(j\omega -\alpha _{1}+j\beta )$

$\left\{{\begin{mátrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=+\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=+\alpha _{1}-j\beta \end{mátrix}}\jobbra.\Rightarrow \left\{{\begin{mátrix}\psi _{2}\rightarrow -{\frac {\pi }{2}}+ \gamma \\\psi _{3}\rightarrow -{\frac {\pi }{2}}-\gamma \end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow -2{\frac {\pi }{2}}=-\pi$ , ahol $\gamma =\operátornév {arctg}{\frac {\beta }{\alpha ))$

Nyquist kritérium

A Nyquist-kritérium egy gráf-analitikai kritérium. Jellemzője, hogy a zárt rendszer stabilitására vagy instabilitására vonatkozó következtetést a nyitott rendszer amplitúdó-fázisának vagy logaritmikus frekvencia karakterisztikájának típusától függően vonják le.

Legyen a nyílt rendszer polinomként ábrázolva $W(p)={\frac {R(p)}{Q(p)}}={\frac {b_{0}p^{n}+b_{1}p^{n-1} +...+b^{n}}{a_{0}p^{m}+a_{1}p^{m-1}+...+a^{m}}}$

majd becseréljük, és megkapjuk: $p=j\omega$ $W(j\omega )={\frac {R(j\omega )}{Q(j\omega )}}(*)=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^ {{j\psi (\omega )}}$

A hodográf kényelmesebb felépítéséhez n>2 esetén a (*) egyenletet a „standard” formába hozzuk: $W(j\omega )={\frac {K(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})[(1-\tau _{3}^{ 2}\omega ^{2})+2j\xi _{3}\tau _{3}\omega ]...}{(j\omega )'[(1-T_{2}^{2}\ omega ^{2})+2j\xi _{2}T_{2}\omega ](-1+j\omega T_{3})...}}$

Ezzel az ábrázolással az A(ω) modul = | W(jω)| egyenlő a számláló és a nevező modulusának arányával, az argumentum (fázis) ψ(ω) pedig az argumentumaik különbsége. A komplex számok szorzatának modulusa viszont egyenlő a modulok szorzatával, az argumentum pedig az argumentumok összege.

Az átviteli függvény tényezőinek megfelelő modulok és argumentumok:

Tényező	$A(\omega)$	$\psi (\omega)$
k	k	0
p	ω	${\frac {\pi }{2))$
$p^{2}$	$\omega ^{2}$	$\pi$
$Tp+1$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$\operátornév {arctg}\omega T$
$Tp-1$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$\pi -\operátornév {arctg}\omega T$
$1-Tp$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$-\operátornév {arctg}\omega T$
$T^{2}p^{2}+1$	$\left\|1-T^{2}\omega ^{2}\jobbra\|$	${\begin{matrix}0,&\omega <{\frac {1}{T}}\\\pi ,&\omega >{\frac {1}{T}}\end{mátrix}}$
$T^{2}p^{2}+2\xi Tp+1$	${\sqrt {(1-T^{2}\omega ^{2})^{2}+4\xi ^{2}T^{2}\omega ^{2))}$	${\begin{mátrix}\operátornév {arctg}{\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega <{\frac {1}{ T}}\\\pi +\operátornév {arctg}{\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega \geqslant {\frac { 1}{T}}\end{mátrix}}$

Ezután készítünk egy hodográfot a segédfüggvényhez , amelyre módosítani fogunk $W_{1}(j\omega )=1+W(j\omega )$ $\omega [0;{\mathcal {1)))$

For , de for (mert n<m és ) $\omega =0,\quad W_{1}(j\omega )=K+1$ $\omega ={\mathcal {1)),\quad W_{1}(j\omega )=1$ $W(j\omega )=0$

A kapott elforgatási szög meghatározásához megtaláljuk a különbséget a számláló és a nevező argumentumai között $\psi_{1}$ $\psi_{2}$

A segédfüggvény számlálójának polinomja azonos fokú a nevezőjének polinomjával, amiből következik, hogy a segédfüggvény eredő elfordulási szöge 0. Ez azt jelenti, hogy a zárt rendszer stabilitása érdekében a hodográf a segédfüggvényvektor ne fedje le a függvény origóját, illetve hodográfját , egy koordinátákkal rendelkező pontot $\psi_{1}=\psi_{2}$ $W(j\omega)$ $(-1;j0)$

Az önjáró fegyverek stabilitásának határa

Üzemi körülmények között a rendszer paraméterei ilyen vagy olyan okból bizonyos határok között változhatnak (öregedés, hőmérséklet-ingadozás stb.). A paraméterek ezen ingadozása a rendszer stabilitásának elvesztéséhez vezethet, ha a stabilitási határ közelében működik. Ezért arra törekednek, hogy a rendszert úgy alakítsák ki, hogy az a stabilitási határtól távol működjön. Ennek az eltávolításnak a mértékét stabilitási határnak nevezzük.

A stabilitási ráhagyás szükségességét a következő feltételek határozzák meg:

Nemlineáris tagok elutasítása linearizálás során.
Az ACS-t leíró egyenletben szereplő együtthatók hibával vannak meghatározva.
Kutatási stabilitás tipikus rendszerekre tipikus körülmények között.

Kritériumok

Routh-kritérium: a stabilitási ráhagyás modellezéséhez szükséges, hogy az első oszlop elemei nagyobbak legyenek valamilyen ε>0 fix értéknél, amelyet stabilitási ráhagyási tényezőnek nevezünk.
Hurwitz - kritérium : a stabilitási határt a Routh-féle stabilitási határhoz hasonlóan határozzuk meg, csak ε jellemzi a Hurwitz-determináns értékét.
Mihajlov-kritérium: egy nullától eltérő sugarú kört írunk be, amelynek középpontja az O (0; 0) pontban van. A margót ennek a körnek a sugara határozza meg. A rendszer instabil, ha megsértik a Mihajlov-kritériumot, vagy ha a Mihajlov-görbe metszi a kört.
Nyquist-kritérium : itt a kritikus pont (-1; j0), ezért e pont köré tiltott zónát építünk, amelynek sugara a stabilitási tényezőt jelenti.

A stabilitási kritériumok összehasonlító jellemzői

A frekvencia-Nyquist-kritérium főleg akkor alkalmazható, ha nehéz kísérleti úton fáziskarakterisztikát meghatározni. Az AFC-k, különösen a frekvenciák kiszámítása azonban nehezebb, mint a Mihajlov-görbék felépítése. Ráadásul az AFC elhelyezkedése sem ad közvetlen választ arra a kérdésre: stabil-e a rendszer, vagyis további kutatások szükségesek a rendszer nyitott állapotú stabilitásához.

A Mihajlov-kritérium bármilyen rendű rendszerre alkalmazható, ellentétben a Routh-kritériummal. A frekvencia-Nyquist-kritérium és a Mihajlov-kritérium felhasználásával a jelleggörbék fokozatosan, az egyes láncszemek hatását figyelembe véve építhetők fel, ami egyértelművé teszi a kritériumokat és megoldja a rendszerparaméterek stabilitási feltételből történő kiválasztásának problémáját.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Rotach V.Ya. Az automatikus vezérlés elmélete. - 2., átdolgozott. és további .. - Moszkva: MPEI, 2004. - S. 3-15. — 400 s. - ISBN 5-7046-0924-4 .
↑ A. V. Andryushin, V. R. Szabanin, N. I. Szmirnov. Menedzsment és innováció a hőenergia-technikában. - M: MPEI, 2011. - S. 15. - 392 p. — ISBN 978-5-38300539-2

Irodalom

Besekersky V.A. Automatikus vezérlőrendszerek elmélete: tankönyv. juttatás. - Szentpétervár. : Szakma, 2007.
Besekersky V.A., Popov E.P. 4. kiadás // Az automatikus vezérlőrendszerek elmélete. - Szentpétervár. : Szakma, 2003.
Vasiliev DV, Chuich VG Automatikus vezérlőrendszerek számítása. - M. - L .: Mashgiz, 1959. - 390 p.
Goodwin G.K., Grebe S.F., Salgado M.E. Vezérlőrendszerek tervezése. - M . : Binom, Alapismereti Laboratórium, 2004.
Dorf R., Bishop R. Modern vezérlőrendszerek. - M . : Binom, Alapismereti Laboratórium, 2004.
Egorov, AI Osnovy teorii upravleniya: ucheb. juttatás. — M. : Fizmatlit, 2007.
Zubov, V. I. Előadások az irányításelméletről: tankönyv. juttatás. - Szentpétervár. : Lan, 2009.
Knorring, V. I. A menedzsment elmélete, gyakorlata és művészete: tankönyv egyetemek számára. - M . : Norma, 2007 (az Orosz Föderáció Védelmi Minisztériuma által jelölve).
Miroshnik I.V. Az automatikus vezérlés elmélete. Lineáris rendszerek. - Szentpétervár. : Péter, 2005.
Parakhina V.N. Műhely a kontrollelméletről: tankönyv. juttatás. - M. : Pénzügy és statisztika, 2009 (UMO MO RF által hitelesített).
Pervozvansky A.A. Az automatikus vezérlés elméletének tantárgya. - M .: Nauka, 1986.
Popov E.P. Az automatikus szabályozás és vezérlés lineáris rendszereinek elmélete .. - M . : Nauka, 1989.
Ruzsnyikov G.M. Előadások tanfolyam a TAU-ról.
Senigov P.N. Az automatikus vezérlés elmélete. Előadásjegyzet.
Makarov I. M., Lokhin V. M., Manko S. V., Romanov M. P. Mesterséges intelligencia és intelligens vezérlőrendszerek. - M. : Nauka, 2006. - 333 p. — ISBN 5-02-033782-X .

Szótárak és enciklopédiák	a világ körül
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4076594-5