Lineáris stacionárius rendszerek elmélete

A lineáris stacionárius rendszerek elmélete a dinamikus rendszerek elméletének egyik ága , amely a lineáris stacionárius rendszerek (LSS) viselkedését és dinamikus tulajdonságait vizsgálja. Műszaki rendszerek vezérlési folyamatainak tanulmányozására, digitális jelfeldolgozásra és a tudomány és a technika más területein használják.

Áttekintés

Bármely lineáris stacionárius rendszer meghatározó tulajdonságai a linearitás és a stacionaritás :

A linearitás lineáris kapcsolatot jelent a rendszer bemenete és kimenete között.

Formálisan egy rendszert lineárisnak nevezünk, ha a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

ha a rendszer bemenetén lévő jel a hatások súlyozott összegével ábrázolható (például kettő) - x ( t ) = A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) akkor a rendszer kimenetén lévő jel is az egyes hatásokra adott reakciók súlyozott összege - y ( t ) = A y 1 ( t ) + B y 2 ( t ) bármely A és B állandóra .

A stacionaritás azt jelenti, hogy a rendszer kimeneti jele egy adott bemeneti jelre adott reakcióként a bemeneti jel alkalmazásának bármely pillanatában (a bemeneti jel alkalmazásának késleltetési idejéig) azonos. Szűkebb értelemben, ha a bemeneti jel időben egy bizonyos mértékben késik, akkor a kimeneti jel ugyanennyivel késik.

A fenti tulajdonságokkal rendelkező rendszerek dinamikája egy egyszerű függvénnyel írható le, például az impulzus tranziens függvénnyel . A rendszer kimenete a bemeneti jel konvolúciójaként számítható a rendszer impulzusátmeneti függvényével. Ezt az elemzési módszert néha időtartomány -elemzésnek is nevezik . A fentiek a diszkrét rendszerekre is igazak.

Ezenkívül a frekvenciatartományban bármely LSS leírható átviteli függvényével , amely az impulzusválasz függvény Laplace-transzformációja (vagy diszkrét rendszerek esetén Z-transzformációja ). Ezen transzformációk tulajdonságaiból adódóan a rendszer frekvenciatartománybeli kimenete egyenlő lesz az átviteli függvény és a bemeneti jel megfelelő transzformációjának szorzatával. Más szóval, az időtartományban a konvolúció megfelel a frekvenciatartománybeli szorzásnak.

Az összes LSS sajátfüggvénye összetett kitevő . Ez azt jelenti, hogy ha a rendszer bemenete egy összetett jel bizonyos összetett amplitúdóval és frekvenciával , akkor a kimenet egy komplex amplitúdójú jellel lesz egyenlő . Az arány a rendszer átviteli függvénye lesz a frekvencián . $A\exp({st})$ $A$ $s$ $B\exp({st})$ $B$ $B/A$ $s$

Mivel a szinuszosok összetett konjugált frekvenciájú komplex exponensek összege, ha a rendszer bemenete szinuszos, akkor a rendszer kimenete is szinuszos lesz, általános esetben eltérő amplitúdójú és fázisú, de ugyanazzal. frekvencia .

Az LSS elmélet számos rendszer leírására alkalmas. A legtöbb LSS sokkal könnyebben elemezhető, mint a nem stacionárius és nemlineáris rendszer. Minden olyan rendszer, amelynek dinamikáját állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet írja le, lineáris stacionárius rendszer. Ilyen rendszerek például az ellenállásokból , kondenzátorokból és induktorokból összeállított elektromos áramkörök (RLC áramkörök). A rugó súlya is LSS-nek tekinthető.

Az LSS általános fogalmainak többsége hasonló mind a folytonos rendszerek, mind a diszkrét rendszerek esetében.

Stacionaritás és lineáris transzformációk

Tekintsünk egy nem stacionárius rendszert, amelynek impulzusválasza két változó függvénye . Nézzük meg, hogyan segít megszabadulni egy dimenziótól a stacionaritási tulajdonság. Legyen például a bemeneti jel , ahol az argumentum a valós tengely számai, azaz . A vonal operátora megmutatja, hogyan kezeli a rendszer ezt a bemenetet. Néhány argumentumkészlet megfelelő operátora két változó függvénye: $x(t)$ $t\in \mathbb {R}$ ${\mathcal {H}}$

h(t_1, t_2) \mbox{, } t_1, t_2 \in \mathbb{R}.

Egy diszkrét rendszerhez:

h[n_1, n_2] \mbox{, } n_1, n_2 \in \mathbb{Z}.

Mivel egy lineáris operátor, a rendszer hatását a bemeneti jelre egy lineáris transzformáció reprezentálja , amelyet a következő integrál (szuperpozíciós integrál) ír le. ${\mathcal {H}}$ $x(t)$

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1, t_2) \, x(t_2) \, d t_2.

Ha a lineáris operátor is stacioner, akkor ${\mathcal {H}}$

h(t_1, t_2) = h(t_1 + \tau, t_2 + \tau) \qquad \forall \, \tau \in \mathbb{R}.

Elhelyezés

\tau =-t_{2},

kapunk:

h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}-t_{2},0).

A rövidség kedvéért a második argumentumot általában kihagyják, és a szuperpozíciós integrál konvolúciós integrál lesz: $h(t_1, t_2)$

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1 - t_2) \, x(t_2) \, d t_2 = (h * x) (t_1).

Így a konvolúciós integrál megmutatja, hogy egy lineáris stacionárius rendszer hogyan dolgoz fel bármilyen bemeneti jelet. Az eredményül kapott reláció diszkrét rendszerekre:

y[n_1] = \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} h[n_1 - n_2] \, x[n_2] = (h * x) [n_1].

Impulzus tranziens függvény

Ha a Dirac delta függvény formájában bemeneti jelet alkalmazunk a rendszer bemenetére , akkor az LSS eredő kimeneti jele lesz a rendszer impulzus tranziens függvénye . Felvétel:

(h * \delta) (t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t),

Egy diszkrét rendszerhez:

x[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty x[m] \delta[nm].

(a delta függvény shift tulajdonsága miatt).

Figyeld meg, hogy:

h(t) = h(t, 0) \ (\mbox{val } t = t_1 - t_2)

vagyis a rendszer impulzusátmeneti függvénye $h(t)$

Az impulzus-tranziens funkció a rendszer kimeneti jelének megkeresésére szolgál bármely bemeneti jelre adott válaszként. Ezenkívül bármely bemenet ábrázolható delta függvények szuperpozíciójaként:

x(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

A rendszer bemenetére alkalmazva a következőket kapjuk:

\mathcal{H} x(t) = \mathcal{H} \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal{H} x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

(mert lineáris)

{\mathcal {H}}

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \mathcal{H} \delta(t-\tau) \,d\tau

(mert t - ben állandó és lineáris)

x(\tau )

{\mathcal {H}}

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) \,d\tau

(definíciója szerint )

h(t)

Az impulzusátmenet funkció minden információt tartalmaz az LSS dinamikájáról. $h(t)$

Saját funkciók

A sajátfüggvény olyan függvény, amelyre az operátor kimenete ugyanaz a függvény, általános esetben egy állandó tényezőig. Felvétel:

\mathcal{H}f = \lambda f

ahol f egy sajátfüggvény, és egy sajátérték , egy állandó. $\lambda$

A kitevők , ahol a lineáris stacionárius operátor sajátfüggvényei. Egyszerű bizonyíték: $e^{st}$ $s \in \mathbb{C}$

Legyen a rendszer bemeneti jele . Ekkor a rendszer kimenete : $x(t) = e^{st}$ $h(t)$

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) e^{s \tau} d \tau

ami a konvolúció kommutativitása miatt ekvivalens a következő kifejezéssel:

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{s (t - \tau)} \, d \tau

\quad = e^{st} \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{-s \tau} \, d \tau

\quad = e^{st} H(s)

ahol

H(s) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-st} dt

csak s -től függ .

Így az LSS sajátfüggvénye . $e^{st}$

Laplace és Fourier transzformációk

Laplace transzformáció

H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-st} dt

egy pontos módja annak, hogy megkapjuk a sajátértékeket az impulzusválasz függvényből. Különösen érdekesek a tiszta szinuszosok, vagyis annak az alaknak a kitevői, ahol és az imaginárius egység . Általában összetett kitevőknek nevezik őket, még akkor is, ha az argumentumnak nincs valós része. A Fourier-transzformáció sajátértékeket ad a tisztán összetett szinuszokra. rendszer átviteli függvényének nevezik , néha a szakirodalomban ezt a kifejezést is alkalmazzák . $\exp({j \omega t})$ $\omega \in \mathbb{R}$ $j$ $H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}$ $H(s)$ $H(j\omega)$

A Laplace-transzformációt általában egyoldalú, azaz nulla kezdeti feltételű jelekre használják. Az idő kezdeti pillanatát az általánosság elvesztése nélkül nullának vesszük, és a transzformációt nulláról végtelenbe vesszük ( azt a transzformációt, amelyet a mínusz végtelenbe integrálva kapunk, kétoldalas Laplace-transzformációnak nevezzük ).

A Fourier-transzformációt olyan rendszerek elemzésére használják, amelyeken periodikus jelek haladnak át, és sok más esetben - például egy rendszer stabilitásának elemzésére .

A konvolúció tulajdonságai miatt mindkét transzformációra a következő összefüggések érvényesek:

y(t) = (h*x)(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) d \tau

\quad = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}

Különálló rendszerek esetén:

y[n] = (h*x)[n] = \összeg_{m=-\infty}^\infty h[nm] x[m]

\quad = \mathcal{Z}^{-1}\{H(s)X(s)\}

Néhány tulajdonság

Bármely rendszer néhány fontos tulajdonsága az okság és a stabilitás. Ahhoz, hogy a rendszer a való világban létezhessen, az oksági elvnek teljesülnie kell. Fenntarthatatlan rendszerek építhetők, és néha hasznosak is lehetnek.

Ok-okozati összefüggés

Egy rendszert kauzálisnak nevezünk, ha kimenete csak az aktuális vagy az előzőleg alkalmazott művelettől függ. Az ok-okozati összefüggés szükséges és elégséges feltétele:

h(t) = 0 \quad \forall t < 0,

Különálló rendszerek esetén:

h[n] = 0 \ \ minden n < 0,

hol van az impulzusátmenet függvény. Explicit formában általános esetben lehetetlen meghatározni az oksági rendszert vagy sem annak Laplace-transzformációjából, mivel az inverz Laplace-transzformáció nem egyedi. Az ok-okozati összefüggést a konvergencia tartományának megadásával határozhatjuk meg . $h(t)$

Fenntarthatóság

A rendszer korlátos bemenetben, korlátos kimenetben ( angol bounded input, bounded output stable, bounded output stable, BIBO stable ) stabil, ha minden korlátos bemenetnél véges a kimeneti jel. Felvétel: Ha

||x(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^p dt \right)^{ 1/p} < \infty

és

||y(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |y(t)|^p dt \right)^{ 1/p} < \infty

(vagyis az abszolút értékek maximumai és végesek), akkor a rendszer stabil. A stabilitás szükséges és elégséges feltétele: a rendszer impulzusválaszának, , meg kell felelnie a kifejezésnek $x(t)$ $y(t)$ $h(t)$

||h(t)||_1 = \int\limits_{-\infty}^\infty |h(t)| dt < \infty.

Különálló rendszerek esetén:

||h[n]||_1 = \sum_{n = -\infty}^\infty |h[n]| < \infty.

A frekvenciatartományban a konvergencia tartománynak tartalmaznia kell a képzeletbeli tengelyt . $s=j\omega$

Lásd még

Linkek

P. P. Vaidyanathan és T. Chen. Az antikauzális inverzek szerepe többsebességű szűrőbankokban -- I. rész: Rendszerelméleti alapok // IEEE Trans. SignalProc. : folyóirat. - 1995. - május.
P. P. Vaidyanathan és T. Chen. Az antikauzális inverzek szerepe többsebességű szűrőbankokban – II. rész: a FIR eset, faktorizációk és biortogonális átlapolt transzformációk // IEEE Trans. SignalProc. : folyóirat. - 1995. - május.
AZ ÉS. Fogak. A szabályozott mozgás egyenleteinek elmélete (határozatlan) . - L .: LSU, 1980.