Sajátvektor

A sajátvektor egy olyan fogalom a lineáris algebrában , amely egy tetszőleges lineáris operátorra nem nulla vektorként van definiálva, és amelyre az operátor alkalmazása kollineáris vektort ad - ugyanazt a vektort megszorozva valamilyen skalárértékkel (amely egyenlő lehet 0-val) . Azt a skalárt, amellyel a sajátvektort megszorozzuk az operátorral , az adott sajátvektornak megfelelő lineáris operátor sajátértékének (vagy sajátértékének ) nevezzük. A lineáris operátorok egyik reprezentációja egy négyzetes mátrix , ezért a sajátvektorokat és a sajátértékeket gyakran az ilyen mátrixok használatával összefüggésben határozzák meg [1] [2] .

A sajátvektor és a sajátérték [3] fogalma a lineáris algebra egyik kulcsfogalma, sok konstrukció épül rájuk. Ennek az az oka, hogy az operátor sajátvektorai alapján felépített koordinátarendszerben számos lineáris operátorhoz tartozó reláció jelentősen leegyszerűsödik . A lineáris operátor sajátértékeinek halmaza (operátori spektrum ) az operátor fontos tulajdonságait jellemzi, bármilyen koordinátarendszerre való hivatkozás nélkül. Ezen okok miatt a sajátvektorok nagy gyakorlati jelentőséggel bírnak. Így például a sajátvektorok gyakran megtalálhatók a mechanikában, a kvantumelméletben és így tovább. Különösen a tetszőleges tengelyen lévő spin vetületi operátornak két sajátértéke és a megfelelő sajátvektora van.

A lineáris vektortér fogalma nem korlátozódik a „tisztán geometriai” vektorokra, hanem különféle objektumkészletekre, például függvényterekre általánosítható (amelyeken lineáris differenciál- és integráloperátorok hatnak). Az ilyen terek és operátorok esetében az operátorok sajátfüggvényeiről beszélünk .

Egy adott sajátértéknek megfelelő lineáris operátor összes sajátvektorának halmazát nulla vektorral kiegészítve ezen operátor sajátalterének [4] nevezzük .

Egy adott lineáris operátor sajátértékeinek kiszámításához optimális algoritmusok keresése a számítási matematika egyik fontos problémája .

Definíciók

Egy lineáris transzformáció sajátvektora , ahol egy mező feletti lineáris tér , nullától eltérő vektor , úgy hogy néhány esetén . $A\kettőspont L\-től L-ig$ $L$ $K$ $x\in L$ $\lambda \in K$ $\ax=\lambda x$

Egy lineáris transzformáció sajátértéke ( sajátértéke ) egy olyan szám , amelyre létezik sajátvektor, vagyis az egyenletnek van egy nem nulla megoldása . $A$ $\lambda \in K$ $ax=\lambda x$ $x\in L$

Egyszerűen fogalmazva, a sajátvektor bármely nem nulla vektor , amelyet az operátor egy vele kollineáris vektorra képez le , és a megfelelő skalárt az operátor sajátértékének nevezzük . $x$ $\lambda x$ $A$ $\lambda$

Egy adott sajátérték (vagy ennek a számnak megfelelő ) lineáris transzformáció saját altere (vagy karakterisztikus altere ) az adott sajátértéknek megfelelő összes sajátvektor halmaza , kiegészítve egy nulla vektorral. Jelöljük a sajátértéknek megfelelő alteret -vel , az azonosság operátort pedig -vel . Definíció szerint a megfelelő altér egy operátor magja , vagyis azon vektorok halmaza, amelyeket ez az operátor nullvektorra képez le: $A$ $\lambda \in K$ $x\in L$ $\lambda$ $E_{\lambda }$ $én$ $A-\lambda \cdot I,$

E_{\lambda }=\ker(A-\lambda \cdot I)

Egy adott sajátérték lineáris transzformációjának gyökérvektora egy nullától eltérő vektor , így valamilyen természetes szám esetén : $A$ $\lambda \in K$ $x\in L$ $m$

(A-\lambda \cdot I)^{m}x=0

Ha az ilyen természetes számok közül a legkisebb (azaz ), akkor azt a gyökvektor magasságának nevezzük . $m$ $(A-\lambda \cdot I)^{m-1}x\neq 0$ $m$ $x$

Egy adott sajátértékre vonatkozó lineáris transzformáció gyökéraltere az adott sajátértékhez tartozó összes gyökérvektor halmaza , ha ezt a halmazt kiegészítjük egy nulla vektorral. Jelöljük a λ sajátértéknek megfelelő gyökér alteret -vel . Definíció szerint: $A$ $\lambda \in K$ $x\in L$ $V_{\lambda}$

V_{\lambda }=\bigcup _{m=1}^{\infty }\ker(A-\lambda \cdot I)^{m}=\bigcup _{m=1}^{\infty }V_{m,\lambda }

Történelem

A sajátértékeket általában a lineáris algebra összefüggésében vezetik be, bár történelmileg a másodfokú formák és a differenciálegyenletek tanulmányozásából származnak .

A XVIII. században Euler egy abszolút merev test forgó mozgását tanulmányozva felfedezte a főtengelyek jelentőségét, Lagrange pedig megmutatta, hogy a főtengelyek megfelelnek a tehetetlenségi mátrix sajátvektorainak . A 19. század elején Cauchy Euler és Lagrange munkáit használta a másodrendű felületek osztályozására és az eredmények magasabb rendűre általánosítására. Cauchy a "karakterisztikus gyökér" ( franciául: racine caractéristique ) kifejezést is megalkotta a sajátértékre. Ezt a kifejezést egy mátrix karakterisztikus polinomjával összefüggésben megőrizték [5] [6] .

A 20. század elején Hilbert az integrál operátorok sajátértékeinek tanulmányozásával foglalkozott, ez utóbbiakat végtelen méretű mátrixoknak tekintette [7] . Hilbert 1904-ben kezdte használni a sajátértékek és sajátvektorok kifejezéseket a sajátértékekre és sajátvektorokra , a német saját szó alapján [ 8 ] . Ezt követően ezek a kifejezések átkerültek az angol nyelvbe is, felváltva a korábban használt "proper value" és "proper vector" [9] .

Tulajdonságok

Általános eset

Az alteret lineáris transzformáció invariáns alterének nevezzük ( -invariáns altér ) , ha: $V\alhalmaz L$ $A$ $A$

AV\subseteq V

A lineáris operátor saját alterei , gyökér alterei és alterei -invariánsak. $E_{\lambda }$ $V_{\lambda}$ $V_{m,\lambda}$ $A$ $A$

A sajátvektorok gyökér (1 magasság): ; $E_{\lambda }\subseteq V_{\lambda }$

A gyökérvektorok nem lehetnek sajátvektorok: például egy mátrix által adott kétdimenziós tér átalakításához:

A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

(AE)^{2}=0

, és minden vektor gyök, ami egy sajátértéknek felel meg , de egyetlen sajátvektora van (egy számmal való szorzásig).

egy

A

Különböző sajátértékek esetén a gyökér (és így a sajátértékek) altereknek triviális (nulla) metszéspontjuk van:

V_{\lambda }\bigcap V_{\mu }=\{0\}

ha .

\lambda \neq \mu

Az önadjungált operátorok sajátértékeinek és a normál operátor szinguláris értékeinek megtalálásának módszerét a Courant-Fisher tétel adja meg .

Véges dimenziós lineáris terek

A dimenziós lineáris térben bázis kiválasztásával egy négyzetes mátrixot egy lineáris transzformációhoz társíthatunk, és meghatározhatjuk a mátrix karakterisztikus polinomját : $n$ $L$ $A\kettőspont L\-től L-ig$ $n\szer n$

{\displaystyle P_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda \cdot I)=\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\lambda ^{k))

A karakterisztikus polinom nem függ a bázistól . Együtthatói operátorinvariánsok . Különösen a , nem függ az alap megválasztásától. $L$ $A$ $a_{0}=\det \,A$ $a_{n-1}=\operátornév {tr} \,A$

A sajátértékek, és csakis ezek, a mátrix karakterisztikus polinomjának gyökerei. A különálló sajátértékek száma nem haladhatja meg a mátrix méretét. Ha az operátor sajátvektorait választjuk bázisvektornak, akkor az ilyen bázisban lévő mátrix átlós lesz , és az operátor sajátértékei az átlón lesznek. Megjegyezzük azonban, hogy nem minden mátrix enged be sajátvektorok bázisát (az általános szerkezetet a normál Jordan-forma írja le ). Pozitív-definit szimmetrikus mátrix esetén a sajátértékek és sajátvektorok megtalálásának eljárása nem más, mint a megfelelő ellipszis féltengelyeinek irányának és hosszának megtalálása . $A$ $A$

Ha a számmező algebrailag zárt (például a komplex számok mezője), akkor a karakterisztikus polinom lineáris tényezők szorzatára bomlik : $n$

P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}\prod _{i=1}^{n}(\lambda -\lambda _{i})

hol vannak a sajátértékek; némelyikük egyenlő lehet. A sajátérték multiplicitása azoknak a tényezőknek a száma, amelyek egyenlőek a karakterisztikus polinom lineáris faktorokká történő bővítésében (más néven a sajátérték algebrai multiplicitása ). $\lambda _{i}\;(i=1,\lpontok ,n)$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda -\lambda _{i},$

A gyökértér dimenziója megegyezik a sajátérték multiplicitásával. $V_{\lambda _{i}}$

A vektortér a gyökéralterek közvetlen összegére bomlik (a Jordan alaktétel alapján ): $L$

L=\bigoplus _{\lambda _{i}}V_{\lambda _{i}}

ahol az összegzés az összes sajátérték felett van .

\lambda _{i}

A

Egy sajátérték geometriai multiplicitása a megfelelő sajátaltér dimenziója ; egy sajátérték geometriai multiplicitása nem haladja meg a multiplicitását, hiszen $\lambda _{i}$ $E_{\lambda _{i}}$ $E_{\lambda _{i}}\subseteq V_{\lambda _{i}}$

Normál operátorok és alosztályaik

Egy normál operátor minden gyökérvektora sajátvektor. A normál operátor különböző sajátértékeknek megfelelő sajátvektorai ortogonálisak, azaz ha , és , akkor (ez tetszőleges operátorra nem igaz). $A$ $ax=\lambda x$ $Ay=\mu y$ $\lambda \neq \mu$ $(x,y)=0$

Az önadjungált operátor összes sajátértéke valós, az antihermitikus operátoré képzeletbeli, és az unitér operátor összes sajátértéke az egységkörön található . $|\lambda |=1$

Véges dimenziós esetben az összes sajátértéknek megfelelő normáloperátor sajátaltereinek dimenzióinak összege megegyezik a mátrix dimenziójával, és a vektortér a sajátalterek ortogonális összegére bomlik: ${\displaystyle A\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n))$

L=\bigoplus _{\lambda _{i}}E_{\lambda _{i}}

ahol az összegzés az összes sajátérték felett van , és kölcsönösen ortogonális a különböző értékekre . Ez a tulajdonság a véges dimenziós esetben a normál operátorra jellemző: az operátor akkor és csak akkor normális, ha a mátrixa valamilyen ortonormális alapon átlós alakú . $\lambda _{i}$ $A$ $E_{\lambda _{i}}$ $\lambda _{i}$ $\mathbb {C}$

Pozitív mátrixok

Egy négyzetes valós mátrixot pozitívnak nevezünk, ha minden eleme pozitív: . $n\szer n$ $A=(a_{{ij}})$ $a_{ij}>0$

Perron-tétel ( a Perron–Frobenius-tétel speciális esete ): Egy pozitív négyzetmátrixnak van egy pozitív sajátértéke , amelynek algebrai multiplicitása 1, és szigorúan meghaladja a mátrix bármely más sajátértékének abszolút értékét. Egy sajátérték egy sajátvektornak felel meg, amelynek minden koordinátája szigorúan pozitív. A vektor az egyetlen sajátvektor (egy számmal való szorzásig), amelynek nem-negatív koordinátái vannak. $A$ $r$ $r$ $e_{r}$ $e_{r}$ $A$

A sajátvektor direkt iterációkkal számítható ki : kiválasztunk egy tetszőleges kezdeti vektort pozitív koordinátákkal, a következő elemet a rekurzív képlet adja meg: $e_{r}$ $v_{0}$

v_{k+1}={\frac {Av_{k}}{\|Av_{k}\|}}

olyan sorozatot kapunk , amely egy normalizált sajátvektorhoz konvergál . $v_{{k}}$ $e_{r}/\|e_{r}\|$

A közvetlen iterációs módszer másik alkalmazási területe a pozitív-definit szimmetrikus operátorok sajátvektorainak keresése.

Sajátérték-egyenlőtlenségek

Schur-egyenlőtlenség : a mátrix sajátértékeihez : ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n))$ $A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots ,n}$

\sum _{i=1}^{n}|\lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^ {2}=\|A\|_{F}^{2}

sőt az egyenlőség akkor és csak akkor érhető el, ha normális mátrix [10] . $A$

A mátrix sajátértékeihez , ahol a mátrixok hermitikusak , a következőket kapjuk: $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ $A=B+iC$ $IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT$

\sum _{i=1}^{n}|\Re \lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|b_{ij} |^{2}

és [11] .

\sum _{i=1}^{n}|\Im \lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|c_{ij} |^{2}

Hermitiánus mátrixokhoz és sajátértékeikhez, növekvő sorrendben: adja meg: at és at [11] . $A,B$ $C=A+B$ $\alpha _{1}\leqslant ...\leqslant \alpha _{n},\beta _{1}\leqslant ...\leqslant \beta _{n},\gamma _{1}\leqslant .. .\leqslant \gamma _{n}$ $\gamma _{i}\geqslant \alpha _{i}+\beta _{i-j+1}$ $i\geqslant j$ $\gamma _{i}\leqslant \alpha _{i}+\beta _{i-j+n}$ $i\leqslant j$

Jegyzetek

↑ Herstein (1964 , 228.229. o.)
↑ Nering (1970 , 38. o.)
↑ Néha szinonim kifejezéseket használnak: karakterisztikus vektor és az operátor karakterisztikus száma .
↑ Nem tévesztendő össze egy lineáris vektortér megfelelő alterével - a triviális alterektől eltérő alterekkel , azaz magából ebből a térből és a nulltérből.
↑ Kline, 1972 , pp. 807–808.
↑ Augustin Cauchy (1839) "Mémoire sur l'intégration des équations lineaires" (Emlékezés a lineáris egyenletek integrációjáról), Comptes rendus , 8 : 827-830, 845-865, 889-907, 931-93. p. 827: archiválva 2019. június 7-én a Wayback Machine -n "On sait d'ailleurs qu'en suivant la méthode de Lagrange, on obtient pour valeur générale de la variable prinicipale une fonction dans laquelle entrent avec la variable principale lesquu racinese bizonyos que j'appellerai l' équation caractéristique , le degré de cette équation étant précisément l'order de l'équation différentielle qu'il s'agit d'intégrer."
↑ Kline, 1972 , p. 1063.
↑ David Hilbert (1904). Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integrallgleichungen. (Erste Mitteilung)" Archiválva : 2018. november 5., a Wayback Machine , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse , pp. 49-91.
↑ Aldrich, John (2006), "Sajátérték, sajátfunkció, sajátvektor és kapcsolódó kifejezések", in Jeff Miller (szerk.), Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics Archivált 2017. december 23-án a Wayback Machine -nél
↑ A lineáris algebra feladatai és tételei, 1996 , p. 206.
↑ 1 2 Lineáris algebra feladatai és tételei, 1996 , p. 207.

Irodalom

Gantmakher F. R. . Mátrix elmélet. —M.: Nauka, 1966. — 576 p. — ISBNISBN 5-9221-0524-8.
Wilkinson D. H. Algebrai sajátérték probléma. — M .: Nauka, 1970. — 564 p. — ISBN 978-5-458-25464-9 .
Gelfand I. M. . Előadások a lineáris algebráról. -M.: Dobrosvet, KDU, 2009. - 320 p. -1000 példányban. -ISBN 978-5-98227-625-4.
Faddeev D.K. Előadások az algebráról. -M.: YOYO Media, 2012. - 416 p. -ISBN 978-5-458-25543-1.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. -M.: Fizmatlit, 2009. - 512 p. -ISBN 978-5-9221-1139-3.
Prasolov VV Lineáris algebra feladatai és tételei. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .
Ikramov Kh. D. Aszimmetrikus sajátérték probléma. — M .: Nauka, 1991. — 240 p. — ISBN 5-02-014462-2 .
Herstein, IN (1964), Topics In Algebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
Horn, Roger A. és Johnson, Charles F. (1985), Mátrixelemzés , Cambridge University Press, ISBN 0-521-30586-1
Nering, Evar D. (1970), Lineáris algebra és mátrixelmélet (2. kiadás), New York: Wiley
Kline, Morris (1972), Matematikai gondolkodás az ókortól a modern időkig , Oxford University Press, ISBN 0-19-501496-0

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb