Schur egyenlőtlensége

A matematikában a Schur- egyenlőtlenség , amelyet Isai Schur matematikusról neveztek el , kijelenti, hogy tetszőleges nemnegatív valós számokra és az egyenlőtlenség érvényesül: $x,y,z$ $t$

$x^{t}(xy)(xz)+y^{t}(yx)(yz)+z^{t}(zx)(zy)\geqslant 0$

továbbá az egyenlőség akkor és csak akkor érhető el, ha kettő vagy több szám egyenlő egymással, a harmadik pedig nullával egyenlő. Ha természetes és egyenletes , akkor az egyenlőtlenség mindenre érvényes . $x=y=z$ $t$ $x,y,z$

Az egyenlőtlenség legáltalánosabb és legismertebb alkalmazása az a speciális eset, amikor : $t=1$

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geqslant x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2} z+z^{2}x+z^{2}y$

Bizonyítás

Mivel az egyenlőtlenség a változókra nézve szimmetrikus , az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy . Ekkor a Schur-egyenlőtlenség ekvivalenssé válik a következő egyenlőtlenséggel: $x,y,z$ $x\geqslant y\geqslant z$

${\megjelenítési stílus (xy)[x^{t}(xz)-y^{t}(yz)]+z^{t}(zx)(zy)\geqslant 0}$

ami azért történik, mert . Ebből az érvelésből az is világos, hogy az egyenlőség csak vagy és esetén lehetséges . Az ezzel szimmetrikus változatokat figyelembe véve azt kaphatjuk, hogy az eredeti egyenlőtlenségben akkor és csak akkor valósul meg az egyenlőség, ha a számok közül vagy kettő egyenlő egymással, a harmadik pedig nullával, amit igazolni kellett. $x^{t}(xz)\geqslant x^{t}(yz)\geqslant y^{t}(yz)$ $x=y=z$ $x=y$ $z=0$ $x=y=z$ $x,y,z$

Általánosítások

A Schur-egyenlőtlenség általánosítása a következő egyenlőtlenség: minden valós és nem negatív valós esetén : $x,y,z$ $ABC$

$a(xy)(xz)+b(yx)(yz)+c(zx)(zy)\geqslant 0$

ha az alábbi feltételek közül legalább egy teljesül:

$x\geqslant y\geqslant z$ és $a\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z$ és $c\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z$ és $a+c\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ és $ax\geqslant by$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ és $cz\geqslant by$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ és $ax+cz\geqslant by$
$ABC$ - valamilyen háromszög oldalai (esetleg elfajultak)
$ABC$ - valamilyen háromszög oldalának négyzetei (esetleg elfajultak)
$ax,by,cz$ - valamilyen háromszög oldalai (esetleg elfajultak)
$ax,by,cz$ - valamilyen háromszög oldalának négyzetei (esetleg elfajultak)
Van egy konvex vagy monoton függvény , ahol egy intervallum , amely tartalmazza a , , , és , , számokat $f:\mathbb {I} \longrightarrow \mathbb {R^{+}}$ ${\mathbb {I}}$ $x$ $y$ $z$ $a=f(x)$ $b=f(y)$ $c=f(z)$

Egy másik lehetséges általánosítás azt állítja, hogy ha a nem negatív valós számok és a pozitív valós számok olyanok, hogy , akkor [1] : $x\geq y\geq z\geq v$ $t$ $x+v\geq y+z$

$x^{t}(xy)(xz)(xv)+y^{t}(yx)(yz)(yv)+z^{t}(zx)(zy)(zv)+v^ {t}(vx)(vy)(vz)\geq 0.$

Jegyzetek

↑ Finta, Béla (2015). „Schur típusú egyenlőtlenség öt változóra.” Procedia technológia . 19 , 799-801. DOI : 10.1016/j.protcy.2015.02.114 .