Kiállító

A kitevő egy exponenciális függvény , ahol az Euler-szám . $f(x)=\exp(x)=e^{x}$ $e\approx 2{,}718$

Definíció

Az exponenciális függvény többféle ekvivalens módon definiálható. Például a Taylor sorozaton keresztül :

e^{x}=1+\összeg _{{n=1}}^{{\infty }}{x^{n} \n felett!}=1+x+{x^{2} \2 felett! }+{x^{3} \több mint 3!}+{x^{4} \több mint 4!}+\cpont

vagy a határon túl :

e^{x}=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

Itt van bármilyen komplex szám . $x$

A fogalom eredete

A kiállító szó lat. " exponere", ami azt jelenti, hogy " előterjeszt; show ", ami viszont a lat. előtagok " ex-" ("előre") és lat. a " ponere" ("fel, elrendez") szavak; [1] Az ilyen szó használatának az a jelentése, hogy a kitevő jele a szokásos írási vonalon "kívülre" kerül (valamivel felül és jobbra attól a helytől, ahová az ábrát általában el kell helyezni). $a^{x}$

Tulajdonságok

$(e^{x})'=e^{x}$ , és különösen az exponenciális a kezdeti adatokkal rendelkező differenciálegyenlet egyetlen megoldása . Ezenkívül a homogén differenciálegyenletek általános megoldásait exponenciálisan fejezzük ki . $y'=y$ $y(0)=1$
A kitevő a teljes valós tengelyen van definiálva . Rajta a kitevő mindenhol növekszik, és szigorúan nagyobb, mint nulla.
A kitevő egy konvex függvény .
Ennek inverz függvénye a természetes logaritmus . $(\ln x)$
A kitevő Fourier-transzformációja egy általánosított függvény , nevezetesen a Dirac-delta függvény .
Az exponenciális Laplace-transzformációja a tartományban van definiálva . $e^{ax}$ $\operatorname {Re} (x)<a$
A nullánál a derivált , tehát a kitevő érintője ebben a pontban egy vagy szöget zár be . $egy$ ${\displaystyle 45^{\circ ))$ ${\frac {\pi }{4))$
A kitevő fő funkcionális tulajdonsága, valamint bármely exponenciális függvény: $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$ .
- Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező folytonos függvény vagy azonos , vagy alakja , ahol valamilyen állandó. $0$ $\exp(cx)$ $c$

$e^{x}=\operátornév {sh} x+\operátornév {ch} x$ , ahol és a hiperbolikus szinusz és koszinusz . $\operátornév {sh}$ $\operátornév {ch}$

Komplex kitevő

A komplex kitevő a reláció által adott matematikai függvény , ahol egy komplex szám . A komplex kitevőt egy valós változó kitevőjének analitikus folytatásaként határozzuk meg : $f(z)=e^{z}$ $z$ $f(x)=e^{x}$ $x$

Határozzuk meg a formális kifejezést

e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}\cdot e^{{iy}}

Az így meghatározott kifejezés a valós tengelyen egybe fog esni a klasszikus valós kitevővel. A konstrukció teljes helyességéhez igazolni kell a függvény analitikusságát , vagyis azt, hogy kibővül valamilyen ehhez a függvényhez konvergáló sorozatba. Mutassuk meg: $e^{z}$ $e^{z}$

f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{{iy}}=e^{{iy}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\ frac {x^{n}}{n!}}

Ennek a sorozatnak a konvergenciája könnyen bebizonyítható:

\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}\right|\leq \left|\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac { x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{ | x|}

A sorozat abszolút mindenhol konvergál, azaz általában mindenhol konvergál, így ennek a sorozatnak az összege az egyes pontokban határozza meg az analitikus függvény értékét . Az egyediségtétel szerint a kapott kiterjesztés egyedi lesz, ezért a komplex síkon a függvény mindenhol definiált és analitikus. $f(z)=e^{z}$ $e^{z}$

Tulajdonságok

A komplex kitevő egy teljes holomorf függvény a teljes komplex síkon . Egyetlen ponton sem tűnik el.
$e^{z}$ egy periodikus függvény 2 π i : főperiódussal . A periodicitás miatt a komplex kitevő végtelen lapos . Univalencia tartományként bármilyen vízszintes sávot választhat, melynek magassága . $e^{{i\varphi }}=e^{{i(\varphi +2\pi )}}$ $2\pi$
$e^{z}$ - az egyetlen függvény egy állandó tényezőig, amelynek deriváltja (és ennek megfelelően az antideriváltja ) egybeesik az eredeti függvénnyel.
Algebrailag egy komplex argumentum kitevője a következőképpen definiálható: $z=x+iy$ $e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}e^{{iy}}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)$ ( Euler-képlet ).
- Az Euler-identitás különösen a következőket tartalmazza : $e^{i\pi }+1=0.$

Változatok és általánosítások

Hasonlóképpen a kitevőt egy tetszőleges asszociatív algebra elemére definiáljuk . Egy adott esetben e határok fennállását is bizonyítani kell.

Mátrix kitevő

A négyzetes mátrix (vagy egy lineáris operátor ) kitevőjét formálisan úgy határozhatjuk meg, hogy a mátrixot behelyettesítjük a megfelelő sorozatba:

\exp A=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {A^{k}}{k!}}.

Az így definiált sorozat bármely korlátos normával rendelkező operátorra konvergál, mivel azt a norma kitevőjének sorozata uralja, ezért a mátrix kitevője mindig definiálva van, és maga is mátrix. $A$ $A\colon$ $\exp\|A\|.$ $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$

A mátrix kitevő segítségével könnyen megadható egy lineáris differenciálegyenlet megoldásának formája állandó együtthatókkal : a kezdeti feltételű egyenletnek megvan a megoldása ${\pont x}=Ax,~~~x\in {\mathbb R}^{n}$ $x(0)=x_{0}$ $x(t)=\exp(At)x_{0}.$

h -kitevő

A -kitevő bevezetése a második figyelemre méltó határon alapul : $h$

e_{{h}}(x)=(1+h)^{{\frac {x}{h}}}.

A szokásos kitevőt [2] kapjuk . $h\-tól 0-ig$

Inverz függvény

Az exponenciális függvény inverz függvénye a természetes logaritmus . Kijelölve : $\ln x$

\ln x=\log _{{e}}x.

Lásd még

Jegyzetek

↑ kitevő (n. ) ? . (határozatlan)
↑ AI Olemskoi, SS Borysov, a és IA Shuda. Statisztikai térelméletek deformálódnak a különböző számításokban

Irodalom

Lavrent'ev M. A., Shabat B. V. Egy komplex változó függvényelméletének módszerei. - 5. kiadás, átdolgozott. — M.: Nauka, 1987. — 688 p.
Khaplanov M. G. Egy komplex változó függvényének elmélete (rövid tanfolyam). - 2. kiadás, átdolgozott. - M .: Nevelés, 1965. - 209 p.

Linkek

Intuitív útmutató az exponenciális függvényekhez és e | Jobban megmagyarázva _