Matematikai képlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. június 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

Matematikai képlet (a lat. formula szóból - a forma kicsinyítője - kép, megjelenés) a matematikában , valamint a fizikában és más természettudományokban - egy állítás szimbolikus rögzítése (amely logikai állítást fejez ki [1] ), vagy egy állítás formája nyilatkozat [2] . A képlet a kifejezésekkel együtt egyfajta formalizált nyelvi kifejezés. Tágabb értelemben a képlet bármilyen tisztán szimbolikus jelölés (lásd alább ), amely a matematikában szemben áll a különféle kifejezőmódokkal, amelyek geometriai konnotációval rendelkeznek: rajzok , grafikonok , diagramok , grafikonok stb.

A (numerikus) képletek alaptípusai

A képlet általában változókat tartalmaz (egy vagy több), és maga a képlet nem csak egy kifejezés, hanem valamiféle ítélet . Egy ilyen ítélet kimondhat valamit a változókról, vagy mondhat valamit az érintett műveletekről. A képlet pontos jelentése gyakran a szövegkörnyezetből következik, és nem érthető meg közvetlenül a formájából. Három gyakori eset van:

A képletnek meg kell mondania, hogyan kell kikeresni a változó értékeit ( egyenletek stb.);
A képlet (amelyet " lookup = kifejezés "ként írnak le) paraméterei alapján határoz meg egy értéket (hasonlóan a programozási hozzárendeléshez , és néha ":=" digráftal írják, mint a Pascal -ban, de elvileg egy degenerált speciális esetnek tekinthető egy egyenlet);
A képlet megfelelő logikai állítás: azonosság (például axióma), tétel kijelentése stb.

Egyenletek

Az egyenlet egy képlet, amelynek külső (felső) láncszeme az egyenlőség bináris relációja . Az egyenlet fontos jellemzője azonban az is, hogy a benne szereplő szimbólumok változókra és paraméterekre vannak osztva (ez utóbbiak jelenléte azonban nem szükséges). Például egy egyenlet, ahol x egy változó. Annak a változónak az értékeit, amelyre az egyenlőség igaz , az egyenlet gyökének nevezzük : ebben az esetben ez a két szám 1 és -1 . Általános szabály, hogy ha egy változó egyenlete nem azonosság (lásd alább), akkor az egyenlet gyökerei egy diszkrét, legtöbbször véges (esetleg üres ) halmaz. $x^{2}=1$

Ha az egyenlet paramétereket is tartalmaz, akkor annak a jelentése, hogy meg kell keresni az adott paraméterek gyökereit (vagyis annak a változónak az értékét, amelyre az egyenlőség igaz). Néha ez úgy is megfogalmazható, hogy megtaláljuk egy változó implicit függését egy paraméter(ek)től. Például x egyenleteként értendő (ez a változó szokásos betűje, y , z és t mellett ). Az egyenlet gyöke az a négyzetgyöke ( úgy tartják, hogy kettő van, különböző előjelekkel). Egy ilyen képlet önmagában csak egy bináris relációt határoz meg x és a között , és fordítva is értelmezhető, mint egy egyenlet az a -n x -hez képest . Ebben az elemi esetben inkább egy x -ig definiálásáról beszélhetünk : . $x^{2}=a$ $a=x^{2}$

Identitások

Az identitás olyan állítás, amely a változók bármely értékére igaz . Az identitás általában azonos valódi egyenlőséget jelent, bár az identitáson kívül előfordulhat egyenlőtlenség vagy más kapcsolat. Az azonosság sok esetben felfogható a benne használt műveletek valamilyen tulajdonságaként , például az azonosság az összeadás kommutativitását állítja . $a+b=b+a$

Egy matematikai képlet segítségével meglehetősen összetett mondatok írhatók kompakt és kényelmes formában. Azokat a képleteket, amelyek igazzá válnak, ha a változókat valamilyen területről származó objektumokkal helyettesítik, azonosan igaznak nevezzük ezen a területen. Például: "bármely a és b esetén egyenlőség lép fel ". Ez az azonosság származtatható az összeadás és szorzás axiómáiból egy kommutatív gyűrűben , amelyek maguk is azonosság formájúak. ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2))$

Az azonosság nem tartalmazhat változókat, és lehet aritmetikai (vagy valamilyen más) egyenlőség, például . $6^{3}=3^{3}+4^{3}+5^{3}$

Közelítő egyenlőségek

Például: — hozzávetőleges egyenlőség kicsire ; $x\approx \sin(x)$ $x$

Egyenlőtlenségek

Az egyenlőtlenségi képlet mindkét, a szakasz elején leírt értelemben érthető: azonosságként (például Cauchy-Bunyakovsky-egyenlőtlenség ), vagy, mint egy egyenlet, egy halmaz (pontosabban egy részhalmaza ) megtalálásának problémájaként . a tartomány), amelyhez egy változó tartozhat, vagy változók .

Felhasznált műveletek

Ez a rész felsorolja az algebrában használt műveleteket , valamint néhány gyakran használt függvényt a számításból .

Összeadás és kivonás

A " + " és a " - " jelek használatosak (ez utóbbi írásban meglehetősen gyengén megkülönböztethető a kötőjeltől ). Az unáris mínusz gyakrabban csak az első (bal) kifejezésre használatos, mivel más esetek, mint például az „ a + (− b )” és az „ a − (−b)” jelentésükben nem különböznek az egyszerűbb „ a ” kifejezéstől. − b ” és „ a + b ”.

Az összeadás asszociativitása miatt nincs matematikai értelme a zárójelek elhelyezésének az összeadás végrehajtási sorrendjének meghatározására. Az algebrában a kifejezések összeadási és kivonási argumentumokra egyaránt vonatkoznak. A kivonás sorrendje zárójelek hiányában olyan, hogy csak a kivonási jeltől közvetlenül jobbra írt tag bizonyul kivontnak, nem pedig a jobbra írt összeadás és kivonás műveletének eredménye. Így mínuszjellel csak azok a "kifejezések" szerepelnek az összegben, amelyektől közvetlenül balra egy "−" jel található.

Szorzás

A szorzójelet legtöbbször kihagyjuk. Ez nem okoz kétértelműséget, hiszen a változókat általában egybetűkkel jelöljük, és nincs értelme a számokkal írt állandók egymással való szorzatát kiírni. Ritka esetekben, amikor nem lehet elkerülni a kétértelműséget, a szorzást függőlegesen középre helyezett pont szimbólum "·" jelzi. A "×" szimbólumot csak az iskolai számtanban, szakszövegekben használják (speciális kontextusban), és egyes rendszerek a szorzójel helyére illesztik be a képlet másik sorba történő átvitelekor (általában elkerülik a szorzójellel történő átvitelt) .

osztály

Az osztást a képletekben törtvonallal írjuk. Az iskolai aritmetikában a "÷" ( obelus ) is használatos.

Hatványozás

Elemi függvények

Abszolút érték, előjel stb.

Operátori elsőbbség és zárójelek

Egy művelet vagy operátor elsőbbsége, rangja vagy rangja egy operátor/művelet formális tulajdonsága, amely befolyásolja a végrehajtás sorrendjét egy kifejezésben több különböző operátorral, ha nincs kifejezett (zárójelben) jelzés a sorrendről. értékelik. Például a szorzási művelet általában magasabb prioritást kap, mint az összeadás, így a kifejezésben először y és z szorzatát kapjuk meg, majd az összeget.

Példák

Például:

$2+2=5$ - egy példa egy képletre, amelynek értéke "false";

$y=\ln(x)+\sin(x)$ egy valós argumentum függvénye;

$z={\frac {y^{3}}{y^{2}+x^{2}}}$ - több argumentum függvénye (az egyik legfigyelemreméltóbb görbe grafikonja - az Agnesi verzier );

$y=1-|1-x|$ egy pontban nem differenciálható függvény (a folytonos szaggatott vonalnak nincs érintője); $x=1$

$x^{3}+y^{3}=3axy$ - egy egyenlet, azaz egy implicit függvény (a " derékszögű lista " görbe grafikonja );

$t_{n}=n!$ egy egész függvény;

$y=y^{3}\sin(nx)$ páros függvény ;

$y=\operátornév {tg} (x)$ egy páratlan függvény ;

$f(P)={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))}$ a pont függvénye, a pont és a (derékszögű) koordináták origójának távolsága;

$y={\frac {1}{x-3}}$ pontban nem folytonos függvény ; $x=3$

$x=a[t-\sin(t)]\,;\ y=a[1-\cos(t)]$ egy paraméteresen meghatározott függvény ( cikloid diagramja );

${\displaystyle y=\ln(x),\ x=e^{y))$ — közvetlen és inverz függvények;

$f(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}|f(t)|\,dt$ egy integrál egyenlet.

A filatéliában

Matematikai képleteket gyakran ábrázolnak a különböző országokból származó postai bélyegeken , például a híres tudósoknak szentelt bélyegeken, az általuk felfedezett mintákat ábrázolva. Említésre méltó a postai bélyegsorozat, amelyet maguknak a matematikai képleteknek szenteltek. Ez egy 1971 - es nicaraguai postai kiadás , egy 10 postabélyegből álló sorozat , a Las 10 formulas matematicas que cambiaron la faz de la Tierra . Ezek képviselik a Pitagorasz-tételt , Arkhimédész törvényét, Newton törvényét , Ciolkovszkij formuláját , de Broglie formuláját , Einstein formuláját stb. Minden bélyeg hátoldalán a megfelelő képlet leírása található ( Sc #877-881 ,C761-C765) .

Lásd még

Az algebrai kifejezés olyan matematikai jelölés, amely nem fejez ki egy teljes gondolatot.
Kifejezés (matematika)
Interpolációs képletek
Ismétlődő képlet
transzcendentális funkció
Simpson formula
Euler-képlet
ISO 31

Jegyzetek

↑ Chupakhin, Brodsky, 1977 , p. 200.
↑ Kolmogorov, Dragilin, 2006 , p. 13-15.

Irodalom

Chupakhin I.Ya., Brodsky I.N. formális logika. - Leningrád: Leningrad University Press, 1977. - 357 p.
Kolmogorov A.N. , Dragilin A.G. Matematikai logika. - M. : KomKniga, 2006. - 240 p. - ISBN 5-484-00520-5 .

Linkek

Great Soviet Encyclopedia (nem elérhető link 28-08-13 [3352 nap])
A legszebb fizikai és matematikai képletek
Az elemi matematika gyönyörű képletei (downlink 28-08-13 [3352 nap])
M. Ya. Vygodsky. Felsőmatematika kézikönyve (nem elérhető link)
N. K. Verescsagin, A. Shen. Előadások a matematikai logikáról és az algoritmusok elméletéről. 1. rész. A halmazelmélet kezdetei. (nem elérhető link)