Töltés (mértékelmélet)

A Charge egy valós értékű, véges additív halmazfüggvény, amely bizonyos -algebrákon (például Borel részhalmazokon ) van definiálva. $\sigma$

A szokásos mértékkel ellentétben, amelyet általában nem negatív halmazfüggvényként értenek, a töltés negatív értékeket is felvehet.

A szigma-algebrával rendelkező tetszőleges halmaz összes töltésének halmazát általában jelöli . $x$ $\Sigma$ $\operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$

Kapcsolódó definíciók

Egy pozitív töltést tisztán véges additívnak nevezünk, ha bármely nemnegatív, megszámlálhatóan additív mértékre az következik, hogy . $\nu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$ $\mu$ $0\leqslant \mu \leqslant \nu$ $\mu=0$
- Egy tetszőleges töltés tisztán véges additív, ha ilyenek a töltések és . ${\displaystyle \nu ^{+))$ $\nu ^{-}$
Egy töltés abszolút folytonos egy mértékhez képest, ha $\lambda$ $\mu$ $(\forall A\in \Sigma )(\mu (A)=0\to \lambda (A)=0).$

Tulajdonságok

Az összes töltés halmaza egy normalizált rácsot , sőt, még egy -teret is alkot. $K$
Minden töltésnek van egy pozitív és egy negatív része . Létezik egy Hahn-Jordan expanzió , melynek segítségével a töltések tulajdonságai mértékelméletben fejezhetők ki. $\nu$ $\nu ^{+}\geqslant 0$ $\nu ^{-}\leqslant 0$ $\nu =\nu ^{+}+\nu ^{-}$
Hadd . Bármely töltés egyértelmûen ábrázolható összegként , ahol abszolút folytonos és diszjunktív . A mérték ilyen ábrázolását Lebesgue-kiterjesztésnek nevezzük. $\mu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$
$\nu$ $\nu =\nu _{1}+\nu _{2}$ $\nu _{1}$ $\mu$ $\nu _{2}$ $\mu$ $\nu$
Bármely töltés egyedileg ábrázolható összegként , ahol egy tetszőleges, megszámlálhatóan additív mérték, és egy tetszőleges, tisztán véges additív töltés. Ezt a dekompozíciót néha Yosida-Hewitt dekompozíciónak is nevezik . $\nu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$ $\nu =\nu _{ca}+\nu _{pfa}$ ${\displaystyle \nu _{ca))$ $\nu _{pfa}$
A tér topológiailag konjugált az adott mérhető téren meghatározott mérhető és korlátos függvények teréhez. $\operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$

Történelem

A "díj" kifejezést először A. D. Alekszandrov vezette be . A töltés vizsgálata lendületet adott a véges additív mértékelmélet kidolgozásának (1940-es évek).

Lásd még

tétele

Irodalom

Dunford N., Schwartz J. Lineáris operátorok. Általános elmélet. — M. : IL, 1962.
Landkof N. S. A modern potenciálelmélet alapjai. - M. , 1966.
Khalmosh P. Mértékelmélet . // Per. angolról. - M. , 1953.
Alexandroff AD Additív halmazfüggvények absztrakt terekben I // Math. gyűjtemény 1940. V.8(50), N 2. P.307-348.
Alexandroff AD Additív halmazfüggvények absztrakt terekben II // Math. gyűjtemény 1941. V.9(51), N 3. P.563-628.
Alexandroff AD Additív halmazfüggvények absztrakt terekben III // Math. gyűjtemény 1943. V.13(55), N 2. P.169-293.
Yosida K., Hewitt E. Véglegesen additív mérések // Transz. amer. Math. szoc. 1952.v. 72, 1. sz. P. 46-66.