Halmaz mértéke

A halmaz  mértéke egy halmaz numerikus jellemzője, intuitívan úgy is felfogható, mint egy halmaz tömege egy bizonyos térbeli tömegeloszlással . A halmaz mértékének fogalma a valós változó függvényelméletében merült fel az integrál fogalmának kidolgozása során [1] .

Valójában a mérték egy bizonyos numerikus függvény , amely minden halmazhoz (egy bizonyos halmazcsaládból) egy nem negatív számot rendel. Amellett, hogy nem negatív, egy mértéknek mint függvénynek rendelkeznie kell az additív tulajdonsággal is – a diszjunkt halmazok uniójának  mértékének egyenlőnek kell lennie mértékeik összegével . Meg kell jegyezni, hogy nem minden halmaz mérhető  – egy mérték minden funkciójára általában egy halmazcsaládot értünk (amelyet az adott mértékhez képest mérhetőnek nevezünk), amelyre a mérték létezik.

Egy mérték speciális esete a részhalmazok Lebesgue-mértéke , amely a térfogat , a terület vagy a hossz fogalmát általánosítja olyan halmazokra , amelyek általánosabbak, mint pusztán sima felülettel határolnak.

Definíciók

Adjunk meg egy halmazt a részhalmazok valamilyen megkülönböztetett osztályával, feltételezzük, hogy ez a részhalmazok osztálya néha halmazok gyűrűje vagy halmazok algebra, legáltalánosabb esetben halmazok félgyűrűje .

Egy függvényt mértéknek (néha térfogatnak ) nevezünk , ha teljesíti a következő axiómákat:

  1.  — az üres halmaz mértéke nulla;
  2. Bármilyen nem átfedő készlethez  — a diszjunkt halmazok uniójának mértéke egyenlő e halmazok mértékeinek összegével ( additivitás, véges additivitás ).

Az első axióma kényelmes, de bizonyos értelemben redundáns: elegendő azt feltételezni, hogy van legalább egy véges mértékű halmaz, amiből az következik, hogy az üres halmaz mértéke egyenlő lesz nullával (egyébként egy üres halmaz bármilyen véges mértékhalmazra megváltoztatná a mértéket, annak ellenére, hogy a halmaz nem változott).

A második axiómából egyenesen következik (halmazok gyűrűje esetén), hogy tetszőleges véges számú diszjunkt halmaz uniójának mértéke egyenlő ezen halmazok mértékeinek összegével:

.

A halmazok félgyűrűjén át történő definíció esetén a véges additivitásnak ezt a tulajdonságát szokták felvenni a második axióma helyett, mivel általában a véges additivitás nem következik a páronkénti additivitásból [2] .

Megszámlálhatóan additív mérték

Egy mérték (véges) additivitása általában nem jelenti azt, hogy egy hasonló tulajdonság fennáll a diszjunkt halmazok megszámlálható uniójára. A mértékeknek van egy különleges fontos osztálya, az úgynevezett megszámlálhatóan additív mértékek.

Legyen adott egy megkülönböztetett -algebra halmaz .

Egy függvényt megszámlálhatóan additív (vagy -additív ) mértéknek nevezünk , ha kielégíti a következő axiómákat:

  1. ( -additivitás ) Ha  egy páronkénti diszjunkt halmazok megszámlálható családja -ból , azaz -ből , akkor:
.

Jegyzetek

Kapcsolódó definíciók

Tulajdonságok

A definícióból következik, hogy a mérték legalább a következő tulajdonságokkal rendelkezik (feltételezzük, hogy a mérték legalább a halmazok egy részében definiálva van ) :

Ez egy intuitív tulajdonság - minél "kisebb" a készlet, annál kisebb a "mérete". Következésképpen,

Megszámlálhatóan additív mértékek tulajdonságai

A megszámlálhatóan additív mértékek a feltüntetetteken kívül a következő tulajdonságokkal is rendelkeznek.

Példák

Folyamatos intézkedések

Gyakran nehéz és szükségtelen minden halmazra explicit módon meghatározni egy mértéket a halmazok megfelelő szigma-algebrájából (gyűrű vagy algebra), mivel elegendő a mértéket a mérhető halmazok valamelyik osztályán meghatározni, majd szabványos eljárásokkal ( és ismert körülmények között), folytassa az ezen osztály által generált halmazok gyűrűjével, algebrájával vagy szigma-algebrájával.

Folytatás a félkörből

A mérhető halmazok osztályának szerkezetében halmazok gyűrűjének (ha a mérték additív) vagy halmazok szigma-algebrájának kell lennie (ha a mérték megszámlálhatóan additív), azonban mérték megadásához mindkét esetben elegendő halmazok félgyűrűjén definiálni - akkor a mérték egyedi módon folytatható az eredeti félgyűrűt tartalmazó halmazok minimális gyűrűjére (minimális szigma-algebra).

Legyen a mérhető halmazok kezdeti osztálya félgyűrű szerkezetű: tartalmaz egy üres halmazt, és bármely A és B halmazra a különbségükből ad egy véges partíciót mérhető halmazokra -ból , azaz van egy véges halmaz diszjunkt halmazból . oly módon, hogy

.

Jelölje a vizsgált tér azon részhalmazainak osztályát, amelyek véges partíciót engednek be a -ból származó halmazokra . Az osztály a differencia, a metszés és a halmazok unió műveletei alatt zárt , és így halmazok gyűrűje, amelyek tartalmazzák (és természetesen minimális). Bármelyik additív funkció akkor és csak akkor terjedhet ki egyedileg egy additív funkcióra, ha értékei kompatibilisek a -val . Ez a követelmény azt jelenti, hogy a diszjunkt halmazok és a -ból származó bármely gyűjtemény esetén , ha az egyesülésük azonos, akkor a mértékeik összegének is azonosnak kell lennie:

Ha , akkor .

Példa

Legyen és  legyen a tereken mérhető halmazok osztályai, amelyek félgyűrű szerkezetűek. A hol alak halmazai halmazok félgyűrűjét alkotják a téren .

Ha a és mértékeket és -on adjuk meg , akkor a konzisztenciakövetelmény teljesítésére additív függvényt határozunk meg. Ennek kiterjesztését a minimális gyűrűt tartalmazóra a mértékek közvetlen szorzatának nevezzük , és jelöljük . Ha az eredeti mértékek definíciós tartományukon szigma-additívak voltak, akkor a mérték is szigma-additív lesz. Ezt a mértéket a többszörös integrálok elméletében használják (lásd Fubini tételét ).

Változatok és általánosítások

A fogalom általánosításának egyik lehetősége a töltés , amely negatív értékeket vehet fel

Néha egy mértéket tetszőleges, véges additív függvénynek tekintenek egy Abel-féle félcsoport tartományával : egy megszámlálhatóan additív mérték esetén az értékek természetes tartománya egy topologikus Abeli - félcsoport ( topológiára van szükség ahhoz, hogy beszélni tudjunk a megszámlálható számú mérhető rész méréssorozatának konvergenciája, amelyre a megszámlálható additivitás definíciójában egy mérhető halmazt particionálunk). Példa a nem numerikus mértékre egy lineáris térben lévő értékekkel rendelkező mérték , különösen egy projektor értékű mérték, amely részt vesz a spektrális tétel geometriai megfogalmazásában .

Jegyzetek

  1. Sazonov V.V. Egy halmaz mértéke // Matematikai enciklopédia  : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 636. - 1184 stb. : ill. — 150.000 példány.
  2. Ellenpélda egy félgyűrű esetére: legyen = , = , és definiálja a függvényt a következőképpen: , , , . Könnyen belátható, hogy a páronkénti additivitás és a félig tartó axiómák itt is érvényesek, de véges additivitás nincs.

Irodalom