Béta funkció

A matematikában a béta függvény ( -függvény, Euler béta függvény vagy az első típusú Euler- integrál ) két változó következő speciális függvénye : $\mathrm{B}$

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,

, . _ $\operatorname {Re} x>0$ $\operatorname {Re} y>0$

A béta függvényt Euler , Legendre tanulmányozta[ mikor? ] , és a nevet Jacques Binet adta neki .

Tulajdonságok

A béta függvény szimmetrikus a változók permutációjához képest, azaz.

\mathrm {B} (x,y)=\operátornév {\mathrm {B} } (y,x).

A béta függvény más függvényekkel is kifejezhető:

\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y))),

hol van a gamma függvény ; $\gamma (x)$

\mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\quad \operátornév {Re} x>0,\ \operátornév {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y }}}\,dt,\quad \operátornév {Re} x>0,\ \operátornév {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {( y)_{n+1}}{n!(x+n)}},

ahol a csökkenő faktoriális egyenlő . $(x)_{n}$ $x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)$

Ahogy az egész számok gammafüggvénye a faktoriális általánosítása , a béta függvény a binomiális együtthatók általánosítása kissé módosított paraméterekkel:

{\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1))).

A béta függvény kielégíti a kétdimenziós különbségi egyenletet :

\mathrm {B} (x,y)-\mathrm {B} (x+1,y)-\mathrm {B} (x,y+1)=0.

Származékok

A béta függvény parciális deriváltjai a következők:

{\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x) }{\Gamma (x)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\jobbra)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},

{\frac {\partial }{\partial y}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(y) }{\Gamma (y)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\jobbra)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (y)-\psi (x+y){\big )},

hol van a digamma függvény . $\psi(x)$

Hiányos béta funkció

A hiányos béta függvény a béta függvény általánosítása, amely az intervallumintegrált egy változó felső határú integrálra cseréli : $[0, 1]$

\mathrm {B} _{x}(a,b)=\int \limits _{0}^{x}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt.

A esetén a hiányos béta függvény egybeesik a teljes függvénysel. $x=1$

A rendszeresített hiányos béta függvényt a teljes és a hiányos béta függvények alapján határozzuk meg:

I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{x}(a,b)}{\mathrm {B} (a,b))).

Tulajdonságok $I(x)$

I_{0}(a,b)=0,

I_{1}(a,b)=1,

I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a),

I_{x}(a+1,b)=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{aB(a,b) )}}.

Jegyzetek

Irodalom

Kuznetsov D. S. Speciális funkciók (1962) - 249 p.

Lásd még