Statisztikai hipotézisek tesztelése

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A statisztikai hipotézisek tesztelése a matematikai statisztika egyik hatalmas problémaosztályának tartalma [1] .

Statisztikai hipotézis - egy valószínűségi változó eloszlásának típusáraés tulajdonságaira vonatkozó hipotézis , amely megerősíthető vagy megcáfolható statisztikai módszerek alkalmazásával a mintaadatokra [1] .

Statisztikai hipotézisek

Definíciók

Tegyük fel, hogy egy (statisztikai) kísérletben megfigyelhető egy valószínűségi változó , amelynek eloszlása teljesen vagy részben ismeretlen. Ekkor minden állítást statisztikai hipotézisnek nevezünk . A hipotéziseket a bennük szereplő feltételezések típusa különbözteti meg: $x$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$

Egyszerűnek nevezzük azt a statisztikai hipotézist, amely egyedileg határozza meg az eloszlást , azaz hol van valamilyen konkrét törvény . $\mathbb {P}$ $H:\;\{{\mathbb {P}}={\mathbb {P}}_{0}\}$ ${\mathbb {P}}_{0}$

Egy olyan statisztikai hipotézist, amely azt állítja, hogy egy eloszlás egy bizonyos eloszláscsaládhoz tartozik, azaz olyan alakú , ahol egy eloszláscsalád, komplexnek nevezzük . $\mathbb {P}$ $H:\;\{{\mathbb {P}}\in {\mathcal {P}}\}$ ${\mathcal {P}}$

A gyakorlatban általában valamilyen konkrét és általában egyszerű hipotézis tesztelése szükséges . Az ilyen hipotézist nullhipotézisnek nevezzük . Ugyanakkor párhuzamosan mérlegelünk egy ennek ellentmondó hipotézist , amelyet versengőnek vagy alternatívnak neveznek . $H_{0}$ $H_1$

A feltett hipotézist igazolni kell, amit statisztikai módszerekkel hajtunk végre, ezért a hipotézist statisztikainak nevezzük. A hipotézis teszteléséhez kritériumokat használnak a hipotézis elfogadására vagy elutasítására.

A legtöbb esetben a statisztikai tesztek véletlenszerű , rögzített méretű eloszlású mintán alapulnak . A szekvenciális analízis során a minta maga a kísérlet során jön létre, ezért a mérete véletlenszerű változó (lásd Szekvenciális statisztikai teszt ). $(X_{1},X_{2},\pontok ,X_{n})$ $n\geq 1$ ${\mathbb P}$

Példa

Adjunk meg egy független mintát egy normális eloszlásból , ahol egy ismeretlen paraméter. Ekkor , ahol egy fix állandó , egy egyszerű hipotézis, a vele versengő pedig egy összetett. $(X_{1},\ldots ,X_{n})\sim {\mathcal {N))(\mu ,1)$ $\mu$ $H_{0}:\;\{\mu =\mu _{0}\}$ $\mu_{0}$ $H_{1}:\;\{\mu >\mu _{0}\}$

Statisztikai hipotézisek tesztelésének szakaszai

A főhipotézis és a versengő hipotézis megfogalmazása . $H_{0}$ $H_1$
Annak a szignifikanciaszintnek a beállítása , amelyen a jövőben a hipotézis érvényességére vonatkozó következtetés születik. Ez egyenlő az I. típusú hiba elkövetésének valószínűségével . $\alpha$
A kritériumstatisztika kiszámítása a következőképpen történik: $\phi$
- értéke a kezdeti mintától függ ; ${\mathbf {X}}=(X_{1},\ldots ,X_{n}):\;\phi =\phi (X_{1},\ldots ,X_{n})$
- értéke alapján következtetéseket vonhatunk le a hipotézis igazságosságára vonatkozóan ; $H_{0}$
- A statisztika egy valószínűségi változó függvényeként szintén valószínűségi változó , és engedelmeskedik valamilyen eloszlási törvénynek . $\phi$ $\mathbf {X}$
A kritikus régió építése. Az értéktartományból megkülönböztethető az ilyen értékek egy részhalmaza , amely felhasználható a feltételezéssel szembeni jelentős eltérések megítélésére. A méretét úgy választjuk meg, hogy az egyenlőség fennálljon . Ezt a halmazt kritikus régiónak nevezzük . $\phi$ ${\mathcal {C}}$ $P(\phi \in {\mathcal {C}})=\alpha$ ${\mathcal {C}}$
Következtetés a hipotézis igazságáról. A minta megfigyelt értékeit behelyettesítik a statisztikákba , és a kritikus terület eltalálásával (vagy el nem találásával) döntés születik a feltett hipotézis elutasításáról (vagy elfogadásáról) . $\phi$ ${\mathcal {C}}$ $H_{0}$

A kritikus régió típusai

Háromféle kritikus terület létezik:

A kétoldali kritikus tartományt két intervallum határozza meg , ahol a feltételekből található . $(-\infty ,\;x_{{\alpha /2)))\cup (x_{{1-\alpha /2}}\;+\infty )$ $x_{{\alpha /2}},\;x_{{1-\alpha /2}}$ $P(\phi <x_{\alpha /2})={\frac {\alpha }{2)),\quad P(\phi >x_{1-\alpha /2})=1-{ \frac {\alpha }{2}}$
A bal oldali kritikus régiót az intervallum határozza meg , ahol a feltételből található . $(-\infty ,\;x_{\alpha })$ $x_{\alpha }$ $P(\phi <x_{\alpha })=\alpha$
A jobb oldali kritikus régiót az intervallum határozza meg , ahol a feltételből található . $(x_{{1-\alpha }},\;+\infty )$ $x_{{1-\alpha}}$ $P(\phi <x_{{1-\alpha }})=1-\alpha$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Ivanovsky R. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Alapok, alkalmazott szempontok példákkal és feladatokkal a Mathcad környezetben. — 528 p. - (Oktatóanyag). - ISBN 978-5-9775-0199-6 .

Irodalom

Statisztikai hipotézis // Nagyorosz enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4077852-6 NKC : ph126614