Schweitzer egyenlőtlensége

Schweitzer egyenlőtlensége a következőket mondja

Az intervallumhoz tartozó valós számokra , ahol , a következő egyenlőtlenség érvényesül: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]\;$ $M\geqslant m>0$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} .

Sőt, ha furcsa, akkor $\;n$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} -{\frac {(mM)^{2}}{4mM}}.

Történelem

Ezt az egyenlőtlenséget 1914-ben publikálta Schweitzer Miklós magyar matematikus cikkében [1] . Ennek a cikknek angol fordítása található a [2] mellékletében . Mivel az angol fordítás megjelenése előtt kevesen ismerték Schweitzer cikkét, az egyenlőtlenséget (második részét) általában Alexandru Ioan Lupaš nevéhez kötik [3] , aki Schweitzernél csaknem 60 évvel később bizonyította [4] ezt az egyenlőtlenséget.

Egyenértékű egyenlőtlenségek

( V. Sierpinski [5] ) Bármilyen pozitív szám esetén, $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant \left({\frac {A}{G}}\right)^{n}n^{2} ,

ahol A és G jelöli a számtani és a geometriai átlagot . $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$

Következmények

( O. Shisha [6] ) A szegmenshez tartozó minden valós számra , ahol , az egyenlőtlenség igaz: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$

{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}-{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}} +{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq (Mm)^{2}.

(Z.-C. Hao). A valós számok a , ahol . Feltétel és a következő egyenlőtlenség teljesül: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$ $0<q\leqslant p<1$ $p+q=1$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)^{p}\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\jobbra)^{q}\leqslant {\frac {n(pM+qm)}{m^ {q}M^{q}}}.

Általánosítások

Kantorovich

Jegyzetek

↑ Schweitzer P. Egy egyenlőtlenség az arithmetikai középértékről (neopr.) // Math. es. Phys. Lapok.. - 1914. - T. 23 . - S. 257-261 . (Hung.) ("A számtani átlagot tartalmazó egyenlőtlenség")
↑ Watson GS, Alpargu G., Styan GPH Néhány megjegyzés a közönséges legkisebb négyzetek egy regresszoros hatástalanságához kapcsolódó hat egyenlőtlenséghez // Lineáris algebra és annak alkalmazása. : folyóirat. - 1997. - 1. évf. 264 . - P. 13-54 . - doi : 10.1016/S0024-3795(97)00228-0 .
↑ Mitrinović DS, Pečarić JE, Fink AM Klasszikus és új egyenlőtlenségek az elemzésben. A matematika és alkalmazásai . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1993. - Vol. 61. - (Kelet-európai sorozat).
↑ Lupaş A. Megjegyzés a Schweitzer- és Kantorovich-egyenlőtlenséghez (neopr.) // Publ. Elek. Fak. Univ. Beograde Ser. Mat. i Fiz .. - 1972. - T. 381-409 . - S. 13-15 .
↑ Sierpiński W. Über eine auf das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel sich beziehende Ungleichung (német) // Warsch. Sitzungsber. : bolt. - 1909. - Bd. 2 . - S. 354-367 . (Német)
↑ Shisha O. Egyenlőtlenségek I. - New York-London, 1967. - S. 293-308.

Forrás

A. Hrabrov. Schweitzer egyenlőtlensége // Szo. A szentpétervári iskolások matematikaolimpia feladatai, 2005. Nyevszkij nyelvjárás, 2005. - S. 89--96 .. Archiválva : 2006. május 20.