Bijekció

A bijekció olyan leképezés , amely egyszerre szürjektív és injektív . A bijektív leképezésben az egyik halmaz minden eleme pontosan egy másik halmaz egy elemének felel meg, és egy inverz leképezést definiálunk, amelynek ugyanaz a tulajdonsága. Ezért a bijektív leképezést egy az egyhez leképezésnek (megfelelésnek) is nevezik.

A bijektív leképezést, amely homomorfizmus , izomorf megfeleltetésnek nevezzük .

Ha két halmaz között egy-egy megfelelés (bijekció) állítható fel, akkor az ilyen halmazokat ekvivalensnek nevezzük . A halmazelmélet szempontjából az egyenlő erősségű halmazok megkülönböztethetetlenek.

Egy véges halmaz egy-egy leképezését önmagára a halmaz elemeinek permutációjának (vagy helyettesítésének) nevezzük .

Formálisan egy függvényt bijekciónak nevezünk (és jelöljük ), ha: $f\kettőspont X\Y-ra$ $f\colon X\leftrightarrow Y$

egy halmaz különböző elemeit képezi le egy halmaz különböző elemeire ( injektivitás ): $x$ $Y$ $\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Jobbra f(x_1) \ne f(x_2)$ .
bármely elemének megvan a maga előképe ( szürjektivitás ): $Y$ $\minden y\-ben Y,\;\létezik x\X\;f(x)=y$ .

Példák:

Az azonosságleképezés egy halmazon bijektív. $\mathrm {id} \colon X\to X$ $x$
$f(x)=x,\;f(x)=x^{3}$ bijektív függvények önmagukhoz képest; általában bármely páratlan fokú változójú monom önmagába való bijekció . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
$f(x)=e^{x}$ egy bijektív függvény től -ig . $\mathbb {R}$ $\mathbb{R} _{+}=(0,\;+\infty )$
$f(x)=\sin x$ nem bijektív függvény, ha feltételezzük, hogy mindenre definiálva van . $\mathbb {R}$
A szigorúan monoton és folytonos függvény szegmensről szegmensre történő bijekció . $f(x)$ $[a,b]$ ${\megjelenítési stílus [f(a),f(b)]}$

Egy függvény akkor és csak akkor bijektív, ha van olyan inverz függvény , amely: $f\kettőspont X\Y-ra$ $f^{{-1}}\kettőspont Y\-X$

\forall x\in X\;f^{{-1}}(f(x))=x

és

\forall y\in Y\;f(f^{{-1}}(y))=y.

Ha a és függvények bijektívek, akkor a függvények összetétele is bijektív, ebben az esetben tehát a bijekciók összetétele bijektív. Az általános esetben fordítva nem igaz: ha bijektív, akkor csak azt mondhatjuk, hogy injektív, de szürjektív. $f$ $g$ $g\circ f$ $(g\circ f)^{{-1}}=f^{{-1}}\circ g^{{-1}}$ $g\circ f$ $f$ $g$

Irodalom

Vereshchagin N. K., Shen A. 1. rész. A halmazelmélet kezdetei // Előadások a matematikai logikáról és az algoritmusok elméletéről. — 2. kiadás, javítva. - M. : MTSNMO , 2002. - 128 p.
Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Matematikai logika: Tankönyv. - 3. kiadás, sztereotípia .. - Szentpétervár. : Lan, 2004. - 336 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy orosz Nagy orosz Britannica (online)