Papirusz ahmes

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az Ahmesz matematikai papirusza (más néven Rinda papirusz vagy Rhind papirusz ) egy ókori egyiptomi aritmetikai és geometriai tankönyv a Középbirodalom tizenkettedik dinasztiájából (Kr. e. 1985-1795), amelyet az uralkodás 33. évében írtak át. Apopi király (1550 körül). Kr. e.) egy Ahmes nevű írnok által egy papirusztekercsen [ 1] . Egyéni kutatók[ ki? ] azt sugallják, hogy a XII. dinasztia papiruszát a Kr.e. III. évezred még ősibb szövege alapján lehetne összeállítani. e. Nyelv: közép-egyiptomi , írás: hieratikus .

Az Ahmesz papiruszt 1858-ban fedezték fel Thébában , és első tulajdonosa után gyakran nevezik Rhind (Rhind) papirusznak. 1887-ben G. Robinson és K. Schute [2] megfejtette, lefordította és kiadta a papiruszt . A kézirat nagy része jelenleg a British Museumban van . Két részből áll: BM 10057 (32 cm × 295,5 cm) és BM 10058 (32 cm × 199,5 cm). Közöttük kell lennie egy körülbelül 18 cm hosszú darabnak, ami elveszett. Néhány, ezt a hiányt részben pótló töredéket 1922-ben fedeztek fel a New York-i Történelmi Társaság [3] múzeumában .

A feladatok jellemzői

Az Ahmesz papirusza 84 probléma feltételeit és megoldásait tartalmazza, és a legteljesebb egyiptomi problémakönyv, amely máig fennmaradt. A Puskin Állami Szépművészeti Múzeumban található Moszkvai Matematikai Papirusz teljességében (25 feladatból áll) alulmúlja az Ahmes papiruszát, de korában felülmúlja azt.

Ahmesz papiruszának bevezető részében elmagyarázzák, hogy „minden dolgok tökéletes és alapos tanulmányozásának, lényegük megértésének, titkaik ismeretének” szentelték. A szövegben szereplő valamennyi feladat valamilyen szinten gyakorlatias jellegű, és alkalmazható az építkezésben, a telkek lehatárolásában és az élet és termelés egyéb területein. Ezek többnyire a háromszög, a négyszög és a kör területeinek megkeresésére, különböző egész számokkal és aliquot törtekkel végzett műveletekre , arányos osztásra, arányok megállapítására vonatkozó feladatok. Ezek közül sok megoldására általános szabályokat dolgoztak ki.

Ugyanakkor a papiruszban számos bizonyíték található arra vonatkozóan, hogy az ókori Egyiptomban a matematika túlnőtt a kizárólag gyakorlati szakaszon, és elméleti jelleget kapott. Tehát az egyiptomi matematikusok képesek voltak gyökeret verni és hatalomra emelni ismerik az aritmetikai és geometriai progressziót (az Ahmesz-papirusz egyik feladata a geometriai haladás tagjainak összegének megtalálása). Sok olyan probléma, amely az ismeretlennel rendelkező egyenletek (beleértve a négyzeteseket is) megoldásához vezet, egy speciális hieroglifa "halmaz" (a latin analógja , hagyományosan a modern algebrában) használatához kapcsolódik az ismeretlen jelölésére, amely a tervezést jelzi. az algebra alapjairól . $x$

Az Ahmesz papirusz a moszkvai matematikai papiruszhoz hasonlóan azt mutatja, hogy az ókori egyiptomiak könnyen megbirkóztak egy háromszög területének mérésével, és viszonylag pontosan határozták meg a szám közelítését , míg az egész ókori Közel-Keleten háromnak tekintették. . A papirusz azonban az egyiptomi matematika hiányosságairól is tanúskodik. Például egy tetszőleges négyszög területét bennük úgy számítják ki, hogy megszorozzák két szemközti oldalpár hosszának fele összegét , ami csak speciális esetekben igaz (például egy téglalapban). A trapéz esetében ez a képlet helytelen, de az egyiptomiak ismerték és használták a helyes képletet. Emellett fel kell hívni a figyelmet arra a tényre is, hogy az egyiptomi matematikus csak aliquot törteket használ (az alakból , ahol természetes szám). Más esetekben a fajtört helyett egy szám és egy aliquot tört szorzata szerepelt , ami gyakran megnehezítette a számításokat, bár egyes esetekben megkönnyítette azokat. $\pi$ ${\frac {256}{81}}\kb. 3.16$ ${\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}$ ${\frac {1}{n}}$ $n$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ ${\frac {1}{n}}$

Az egyiptomi aritmetika jellemzői. Alapfogalmak

Egyiptomi kifejezések az aritmetikai műveletekhez

Az egyiptomiak szorzást és osztást végeztek összegezéssel, duplázással és felezéssel . A kivonást úgy végeztük el, hogy a kivonatot hozzáadtuk a minuendhez. [4] Mindezen cselekvések jelölésére az egyiptomi nyelvben egy wAH igét használtak

(feltételesen olvassa el a „wah” vagy „wah” kifejezést, és azt jelenti, hogy „tedd”; „folytatás” stb.). Az xpr igét a számokkal végzett műveletek eredményének jelzésére használták.

(feltételesen olvasva: "heper", jelentése "megjelenni") vagy a dmD főnév

(feltételesen olvasva: "demage", jelentése "teljes"). A kívánt számot az aHa főnévvel jelöltük

(feltételesen olvasva "aha", jelentése "szám", "készlet").

Aritmetikai műveletek

Az egyiptomiak matematikai módszereinek értékelése előtt beszélni kell gondolkodásuk jellemzőiről. Jól kifejezi őket a következő kijelentés: "Annak ellenére, hogy a görögök az egyiptomiaknak tulajdonították a filozófusok bölcsességét, egyetlen nép sem idegenkedett az elvont elmélkedésektől, és nem volt olyan őszintén az anyagi érdekeknek szentelve, mint az egyiptomiak." A tudományok közül ez az állítás az egyiptomiak matematikájára a legalkalmasabb. Az egyiptomi nem úgy beszél és nem gondol a „nyolc” számról, mint elvont számról, hanem nyolc kenyérre vagy nyolc bárányra gondol. Kiszámolja a piramis oldalának dőlését, de egyáltalán nem azért, mert az érdekes, hanem azért, mert el kell magyaráznia a kőművesnek, hogyan kell majd a követ faragni (az 52 fokos ún. „szent szög” a határérték, amelynél a mészkő bélés nem esik le a piramis lépcsőiről saját súlya alatt). Ha felbomlik -ra , az egyáltalán nem azért van, mert tetszik neki, hanem egyszerűen azért, mert előbb-utóbb összeadáskor törttel találkozik, és mivel nem tudja, hogyan kell összeadni azokat a törteket, amelyek számlálója nagyobb egynél, szüksége lesz a fent megadott lebontás . [5] ${\frac {2}{13}}$ ${\frac {1}{8}}+{\frac {1}{52}}+{\frac {1}{104}}$ ${\frac {2}{13}}$

Mivel az ókori egyiptomiak még nem ismerték a szorzótáblát , minden számítás rendkívül nehézkes volt, és több lépésben végezték el. Az olyan műveletek végrehajtásához, mint a szorzás vagy osztás, a következő módszert használták [4] :

Szorzás

Például 22 x 60 =?

Először egy olyan számsort írtak le, hogy minden következő számot az előző megkettőzésével kaptunk, például: 1, 2, 4, 8, 16 ... Egyes feladatoknál a számolás egyszerűsítése érdekében az első számsort kezdődhetett egytől eltérő számmal is, de a korábbi szám megduplázásának elve megmaradt a későbbi oktatás számára.
Az egységgel szemben a halmazból a legnagyobb számot írtuk (példánkban ez a 60-as szám), majd ezzel a számmal ugyanazt a progressziót hoztuk létre, így minden következő számot az előző megduplázásával kaptunk. Ilyen számsort írtak az elsővel szemben. Ennek megfelelően a 2-vel szemben 120 (azaz 60 x 2), szemben 4 - 240 (vagyis 120 x 2), 8 - 480 (azaz 240 x 2), szemben 16 - 960 (vagyis 480 x 2) ...
A legkisebb számot (példánkban 22) bontottuk fel az első sorból származó számok minimális számára (1, 2, 4, 8, 16 ...). Ebből a célból először a 22-hez legközelebb eső számot vettük fel, ez a 16, a maradékkal hasonló műveletet hajtottak végre: 22 - 16 \u003d 6, az első sor szám, amely értékben legközelebb van a 6 - 4-hez stb. ., amíg az első sorból kiválasztott számok összege nem egyenlő 22-vel, vagyis a halmaz legkisebb számával. A következőt kapjuk: 22 = 16 + 4 + 2.
Ezután a második sorból választottuk ki a számokat, amelyek szemben álltak azokkal a számokkal, amelyeket korábban az első sorból választottunk. Az első sorból 16, 4 és 2-t választottunk, a második sorban ezek a 960, 240 és 120 számoknak felelnek meg.
A 22 és 60 számok szorzata egyenlő volt a második sorból kiválasztott számok összegével, azaz 960 + 240 + 120 = 1320.

osztály

Például 30/20 = ?

Először egy olyan számsort írtak le, hogy minden következő számot az előző megkettőzésével kaptunk, például: 1, 2, 4 ... Egyes feladatoknál a számolás egyszerűsítése érdekében az első számsor kezdődhetett egy egytől eltérő szám, de megmaradt az az elve, hogy az előző számot megduplázzák a következőhöz.
Az egységgel szemben a legkisebb számot írtuk, esetünkben ez 20, majd ezzel a számmal ugyanazt a progressziót hoztuk létre, így minden következő számot az előző megduplázásával kaptunk. Ilyen számsort írtak az elsővel szemben. Ennek megfelelően a 2-vel szemben 40-et (azaz 20 x 2-t), a 4-et - 80-at (azaz 40 x 2-t) írtak ...
A második sorból választottunk ki egy számot, amely értékében a legközelebb volt a 30-hoz, vagyis a példánkban a legnagyobb szám. 20 van.
Az első sorban lévő 20-as szám az 1-esnek felelt meg. Ezeket a számokat megjegyeztük.
Mivel a 30 nagyobb volt, mint 20 és kisebb, mint 40 (vagyis a második sor számjegyeinek összege nem adott 30-at), ezután a felezést alkalmaztuk.
Ehhez egy olyan számsort írtak fel 1/2-vel kezdődően, hogy minden következő szám fele az előzőnek: 1/2, 1/4, 1/8 ... Más példákra egy másik tört is lehet. használtuk, de megmaradt az az elv, hogy az előzőt fel kell osztani számokkal a következő képződéséhez.
Ellenkezőleg, 1/2-t írtunk a legkisebb szám felére (mintha a törtet megszoroztuk volna egy számmal), esetünkben 20/2 = 10, akkor ezzel a számmal ugyanazt a progressziót hoztuk létre, így minden következő szám fele volt az előzőnek. Ilyen számsort írtak az elsővel szemben. Ennek megfelelően, ellenkezőleg, az 1/4-et 5-nek írták (vagyis 10/2-nek) ... Ha nem lehetett tovább osztani (a második sorban csak egész számok legyenek!), akkor szükség esetén (ha a megoldást még nem találtak), egy új, hasonló sorozatot állítottak össze ugyanazon vagy más törtek felhasználásával (például 5 nem osztható 2-vel, hanem osztható 5-tel), amíg a második sorból származó számok nem választották a maradékot az összegből a probléma állapotának megfelelően nagyobb számra.
Ezután a második sorból olyan minimális számot kellett találni, amely a korábban talált 20-as számmal együtt 30-at adna, vagyis a példánkban a legnagyobb számot. Ez a szám 10 (20 + 10 = 30).
A második sor 10-es száma az első sor 1/2-ének felelt meg.
A 30 és 20 aránya megegyezett az első sorból kiválasztott számok összegével, azaz 1 + 1/2 (= 1,5)

Az osztást nem mindig a törtszámok keresésével társították, ebben az esetben a második sorból azt a minimális számot választottuk ki, amely összességében a feladat feltételei és a feladat megoldása által adott legnagyobb számot adná. ebben az esetben az első sor megfelelő számainak összege lenne.

További műveletek

Néha a duplázással és a felezéssel együtt szorzást és osztást 5-tel és 10-zel, valamint 50-zel, 100-zal stb. alkalmaztak (mint a decimális mérési rendszer tulajdonsága).
A törtekkel végzett műveleteknél a 2/n típusú törtek kanonikus kiterjesztését használták (ezeket fejből kellett ismerni, mivel nagyon gyakran használták őket, például 1/3 + 1/3 = 1/2 + 1 /6; 1/9 + 1/9 = 1/6 + 1/18 stb.), valamint a „piros szám” módszert (a törthez hozzáadott további számokat pirossal írtuk tinta). Ezt a módszert nagy frakciókra alkalmazták. [6] en:Red segédszám Például a 2/43-at aliquot törtek összegeként kellett kifejezni (mivel az ókori egyiptomiak csak egy számlálóval rendelkező törteket használtak). Ehhez a számlálót és a nevezőt megszorozták 42-vel (azaz 43 - 1), így 84/1806 lett. Ugyanazzal a módszerrel, mint a szorzásnál vagy osztásnál, meghatároztuk és piros tintával felírtuk azokat a számokat, amelyek a nevező többszörösei (1806): 43, 42, 21, 14, 7, 6, 4, 3, 2, 1, majd az ilyen piros számok minimális száma úgy, hogy összegük egyenlő legyen a számlálóval (84), ezek 43, 21, 14 és 6. Végül a 2/43 törtet a következőképpen írtuk fel: (43 + 21 + 14 + 6)/ 1806 = 43/1806 + 21/1806 + 14/1806 + 6/1806 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. A bontás befejeződött.

Egyiptomi törtek

Az egyiptomi törteket a rokonságot kifejező r elöljárószó közvetítette . Hieroglifán ezt az elöljárószót a jel továbbította

Például így írták: ${\frac {1}{4))$

Az egyiptomi frakciókat alikvotokra osztották fel . Kivételként az ókori egyiptomiak két szimbólummal jellemezték a törteket és : ${\frac {3}{4))$ ${\frac {2}{3))$

és

illetőleg.

Frakcióbővítés en:RMP 2/n táblázat

2/3 = 1/2 + 1/6	2/5 = 1/3 + 1/15	2/7 = 1/4 + 1/28
2/9 = 1/6 + 1/18	2/11 = 1/6 + 1/66	2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
2/15 = 1/10 + 1/30	2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68	2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114
2/21 = 1/14 + 1/42	2/23 = 1/12 + 1/276	2/25 = 1/15 + 1/75
2/27 = 1/18 + 1/54	2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232	2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155
2/33 = 1/22 + 1/66	2/35 = 1/30 + 1/42	2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296
2/39 = 1/26 + 1/78	2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328	2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301
2/45 = 1/30 + 1/90	2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470	2/49 = 1/28 + 1/196
2/51 = 1/34 + 1/102	2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795	2/55 = 1/30 + 1/330
2/57 = 1/38 + 1/114	2/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531	2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
2/63 = 1/42 + 1/126	2/65 = 1/39 + 1/195	2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
2/69 = 1/46 + 1/138	2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710	2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
2/75 = 1/50 + 1/150	2/77 = 1/44 + 1/308	2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
2/81 = 1/54 + 1/162	2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498	2/85 = 1/51 + 1/255
2/87 = 1/58 + 1/174	2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890	2/91 = 1/70 + 1/130
2/93 = 1/62 + 1/186	2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570	2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
2/99 = 1/66 + 1/198	2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606

A törtek összeadásának folyamata nem különbözött a közös nevezőre hozásuk modern módjától. A tört alá piros tintával írták a rendelkezésre álló nevezők közül a legnagyobbkal való szorzás eredményét, és nem kellett egész számokat kapni. Aztán összeadódott az eredmény.

Feladatok

1-6. problémák

El kell osztani 10 ember között 1, 2, 6, 7, 8, 9 kenyeret. Mivel az ókori egyiptomi törtek alikvot részek voltak, minden 1-nél nagyobb számlálóval rendelkező tört (kivételek kivételével) a számlálóban 1-gyel rendelkező törtek összegeként került kifejezésre. A papiruszban található érvelést felhasználva a következő megoldásokat kapjuk:

1/10 = 1/10, vagyis ha 1 kenyeret 10 ember között szeretne elosztani, 10 részre kell osztania, és mindegyiknek egyet kell adnia.
2/10=1/5, vagyis ha 2 cipót szeretne elosztani 10 ember között, minden cipót 5 részre kell osztani, és mindegyiket oda kell adni.
6/10=1/2+1/10, azaz 5 cipót ketté kell osztani, és mindegyik felét oda kell adni, majd a maradék kenyeret 10 részre osztani, és mindegyiket oda kell adni.
7/10=2/3+1/30, vagyis először minden kenyeret 3 részre kell osztani, és mindkettőt kettőre kell adni, majd a maradék harmadot 10 részre osztani, és mindegyiknek egyet kell adni.
8/10=2/3+1/10+1/30, azaz először 7 cipót kell 3 részre osztani és mindkettőt kettőt adni, majd a maradék kenyeret 10 részre osztani és mindegyiknek adni egyet, majd elosztani a a maradék harmadot 10 részre osztjuk, és mindegyiket adjuk egyet.
9/10=2/3+1/5+1/30, azaz 7 cipót 3 részre kell osztani, és mindkettőt kettőre kell adni, majd a maradék 2 cipót öt részre osztani, és mindegyiket oda kell adni, majd , a maradék harmadot 10 részre kell osztanod, és mindegyiknek egyet kell adni .

Probléma # R26

Az aHa-t is tartalmazó 1/4-hez hozzáadjuk az ismeretlen számot ( aHa ), és az eredmény 15, azaz. $x+{\frac {1}{4}}\cdot x=15.$

Első lépés: az ókori matematikus 4-gyel helyettesíti az "x"-et. Nyilvánvalóan ez a szám nem alkalmas a megoldásra, : $4+{\frac {1}{4}}\cdot 4\not =15$

✔	egy	négy
✔	1/4	egy

	1+1/4	5

Eredmény: 5.

Második lépés: Az első lépésben 15 helyett csak 5-öt kaptunk. Mi a kapcsolat a két szám között?

✔	egy	5
✔	2	tíz

	3	tizenöt

Ha 5-öt megszorozunk 3-mal, 15-öt kapunk. Az önkényesen felvett „4”-et és a kapott „3”-at megszorozzuk, így megkapjuk a kívánt aHa , azaz 4 x 3 = aHa .

Harmadik lépés: 4 x 3 kiszámítása:

	egy	3
	2	6
✔	négy	12

	négy	12

Válasz: 12.

Negyedik lépés: Ellenőrizze számításaink eredményét, pl. $12+{\frac {1}{4}}\cdot 12=15.$

✔	egy	12
✔	1/4	3

	1+1/4	tizenöt

A kívánt aHa szám 12.

Probléma # R44

Az R44 feladat azt jelzi, hogy az egyiptomiak ismerték a négyszögletes paralelepipedon térfogatának meghatározására szolgáló képletet : ahol L , S és H a hossza, szélessége és magassága. $V=L\cdot S\cdot H,$

„Példa egy négyzet alakú gabonapajta térfogatának kiszámítására. Hossza 10, szélessége 10, magassága 10. Hány szem fér bele? Szorozzuk meg 10-et 10-zel. Ez 100. Szorozzuk meg 100-at 10-zel. Ez 1000. Vegyük 1000 felét, ez 500. Ez 1500. A mennyiséget zacskókban kapja. Szorozd meg az 1/20-at 1500-zal. 75-öt kapsz. Váltsd át ezt a gabonamennyiséget hekátra (vagyis szorozd meg 100-zal), és megkapod a választ: 7500 hekát gabona."

Egy zsák vagy "har" 75,56 liternek felelt meg, és 10 hekátból állt.

Probléma # R48

	egy	8. fejezet
	2	16. fejezet
	négy	32 ülés
✔	nyolc	64 ülés

és

✔	egy	9. fejezet
	2	18. fejezet
	négy	36. fejezet
✔	nyolc	72 ülés

		81

Egy sechat vagy arura (görög név) 100 négyzetméter. könyök, azaz 0,28 ha. A valóságban ez egy nem 10 x 10 sing méretű földdarab volt, hanem 1 x 100 sing. Egy könyök 52,5 cm volt, és 7 tenyérből állt, és mindegyik tenyér 4 ujjból állt.

A feladat bonyolultsága abban rejlik, hogy a papiruszban nem találhatók hozzá magyarázó szövegek. Csak két számtábla és egy ábra áll előttünk. Az ábrán nyolcszögre vagy négyzetbe írt körre emlékeztető alak látható.

Az egyik elmélet szerint az ábrán egy négyzet látható, amelynek oldalai megegyeznek a beírt kör átmérőjének hosszával. A nyolcszög területét a következő képlettel számítjuk ki: , ebben az esetben a kör területe 64 [7] . $9^{2}-2\cpont 3^{2}=63$

A második elmélet, amelyet Michel Guillemot javasolt, pontosabban magyarázza a rajzot. Az elmélet szerint az ábra egy szabálytalan nyolcszöget mutat, amelynek területe egyenlő egy négyzetbe írt körrel. Egy ilyen nyolcszög területét a következő képlet határozza meg: . De Michel Guillemot tovább ment, és azt javasolta, hogy az ókori egyiptomiaknak volt egy elképzelésük a kör négyzetesítéséről, és egy adott kör területe alapján egyenlő négyzetet építhettek. $9^{2}-(3^{2}+2\cdot 4)=64$

Ludwig Borchardt nagyon hasonló rajzot talált a luxori templom falain.

Probléma # R50

"Vannak 9 kalapból álló körök. Mekkora a kör területe? Ki kell vonni egyet 9-ből. Marad 8. Szorozd meg 8-at 8-cal. Ez 64 lesz. Itt a válasz - a kör területe 64 szakasz. Részletes számítási folyamat:"

	1 x 9	= 9
✔	1/9 x 9	= 1

"Kivonás után 8."

	1 x 8	= 8
	2x8	= 16
	4x8	= 32
✔	8x8	= 64

"Egy kör területe 64".

1 kalap 100 könyökből állt és 52,5 m-nek felelt meg, egy sechat pedig 0,28 ha-nak felelt meg.

Nyilvánvalóan ebben az esetben a következő képletet használták: . Itt úgy tűnik, hogy az átmérője 9 kalap. Ugyanezt azonban másképpen is fel lehetne írni: . A kör területének kiszámításának modern képlete: vagy . A tudósok úgy vélik, hogy az egyiptomiak idejükre nagy sikereket értek el a matematikában - meghatározták a kör kerületének és átmérőjének hosszához viszonyított arányát (vagy ) egyenlő , azaz 3,1605. Ez nagyon közel áll az igazsághoz (szám ). Az "R50 probléma" azonban azt jelzi, hogy az egyiptomiak nem tudtak a konstans létezéséről . $Aire=\left(d-\left({\frac {1}{9}}\right)\cdot d\right)^{2}$ $Aire={\frac {64}{81}}\cdot d^{2}$ $\pi \cdot r^{2}$ ${\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}$ $\pi$ ${\frac {256}{81}}$ $\pi =3.1415926535897932384626433832795...$ $\pi$

Probléma # R51

Példa a háromszög területének kiszámítására . Ha valaki azt mondja neked: "A háromszögnek 10 kalapból álló "mryt" van, és az alapja 4 kalapból áll. Mekkora a területe?" Ki kell számolni a 4 felét. Ezután szorozd meg 10-et 2-vel. Íme a válasz.

A "mryt" szó valószínűleg magasságot jelent.

A={\frac {base}{2}}{mryt}

Az egyiptomiak képlete megegyezik a modernéval:

S={\frac {ah}{2}}

Probléma # R52

Az R52 feladat egy trapéz területének kiszámításáról szól .

„Mekkora egy csonka háromszög területe, ha a magassága 20 kalap, az alapja 6 kalap, a felső alapja pedig 4 kalap? Hajtsa be a trapéz alsó alját a felső részével. Szerezzen 10-et. Oszd ketté a 10-et. Majd szorozzuk meg 5-öt 20-zal. Ne feledje, hogy 1 kalap = 100 könyök. Számold ki a válaszod."

	1x1000	= 1000
	1/2 x 1000	= 500


✔	1x1000	= 2000
	2x1000	= 4000
✔	4x1000	= 8000

		10000 (azaz 100 sechat )

Ez a megoldás a következő képlettel írható fel: . $A={\frac {1}{2}}\cdot (4+6)\cdot 20$

Probléma # R56

Az R56, R57, R58 és R59 feladatok részletesen tárgyalják a piramis meredekségének kiszámítását.

Az ókori egyiptomi " seked " kifejezés modern szempontból egy szög kotangensét jelentette ( ctg α ). Az ókorban egy szakasz hosszában mérték a goniométer mérővonalzója mentén, amelyet "sekednek" is neveztek. A hosszt tenyérben és ujjakban mértük (1 tenyér = 4 ujj). Matematikailag az alap felének a magassághoz viszonyított arányával találták meg.

„Egy olyan piramis kiszámításának módszere, amelynek alapja 360 sing, magassága 250 sing. Ahhoz, hogy kiderítsük, 360-nak a felét kell venni, ami 180. Ezután 180-at el kell osztani 250-zel, így kapjuk: 1/2, 1/5, 1/50 könyök (azaz 0,72 könyök). Mivel egy könyök 7 tenyér, az eredményt meg kell szorozni 7-tel (=5,04 tenyér)."

	1/2 × 7 ;	7/2 = 3 1/2 _ _ _
	1/5 × 7 ;	7/5 = 1 1/4 és 1 1/5 _ _ _ _
	1/50 × 7 ;	7/50 = 1/10 és 1/25 _ _ _ _ _ _

Ma ennek a feladatnak a megoldása során a szög kotangensét keresnénk az alap felének és az apotémának ismeretében [8] . Általában az egyiptomi képlet a piramis sekedének kiszámítására így néz ki: ahol b a piramis alapjának 1/2-e, h pedig a magassága. Maga a szög fokban kiszámítható az arctangens inverz trigonometrikus függvényével vagy - a Bradis táblázat szerint . $Seqed={\frac {b}{h}}\cdot 7$

A hajlásszög és a dőlésszög aránya:

Seked, ujjak	Seked, pálmák	Szög, fok	Lépés fokban ujjonként
tizenöt	3.75	61,82°
16	négy	60,26°	1,56°
17	4.25	58,74°	1,52°
tizennyolc	4.5	57,26°	1,47°
19	4.75	55,84°	1,42°
húsz	5	54,46°	1,38°
21	5.25	53,13°	1,33°
22	5.5	51,84°	1,29°
23	5.75	50,60°	1,24°
24	6	49,40°	1,20°
25	6.25	48,24°	1,16°
26	6.5	47,12°	1,12°
27	6.75	46,04°	1,08°
28	7 (=1 könyök)	45,00°	1,04°
29	7.25	43,99°	1,01°
harminc	7.5	43,03°	0,97°
31	7.75	42,09°	0,94°
32	nyolc	41,19°	0,90°
33	8.25	40,31°	0,87°
34	8.5	39,47°	0,84°
35	8.75	38,66°	0,81°

Probléma # R64

Az R64-es feladat azt mondja, hogy az ókori Egyiptomban aritmetikai progressziót használtak a számításokban .

"Példa a részekre osztásra. Ha valaki azt mondja: 10 emberre 10 hekát búzánk van, de van köztük különbség 1/8 hekát búzában. Ez átlagosan 1 hekát. Vonja le az 1-et 10-ből , akkor 9-et kapunk. Vegyük a különbség felét, azaz 1/16-ot. Szorozzuk meg 9-cel. Ezután adjunk hozzá 1/2 és 1/16 hekátot az átlagértékhez, és vonjunk le 1/8 hekátot minden következő személyből. amiről beszélünk: ".

	1 1/2 1/16
	1 1/4 1/8 1/16
	1 1/4 1/16
	1 1/8 1/16
	1 1/16
	1/2 1/4 1/8 1/16
	1/2 1/4 1/16
	1/2 1/8 1/16
	1/2 1/16
	1/4 1/8 1/16

	tíz

Magyarázat : A feladat 10 heqat búza szétosztása 10 ember között. Jelöljük ki a személyeket: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 és H10. S a teljes mennyiség, azaz 10 hekata búza. N az alkatrészek száma. Mindenkinek más a hekatája. Ugyanakkor mindegyik 1/8 hekttal több, mint az előző. Legyen H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 stb., ez utóbbiban van a legtöbb búza. A progresszió lépése R = 1/8.

Megtaláljuk a mindenkire kiosztott átlagos hekatszámot, azaz S/N = 10/10 = 1.

Ezután kiszámítjuk a különbséget, amely a következő osztásból adódik. Azaz N-1 = 10-1, egyenlő 9-cel. Tehát R/2 = 1/16, és R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. A legnagyobb számot a következő képlettel számítjuk ki: R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

Elosztás 10 részre:

	H10 = 1 + 1/2 + 1/16.
	H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16
	H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16
	H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16
	H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16
	H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
	H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16
	H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16
	H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16
	H1 = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16

	Összesen = 10

Nagyon valószínű, hogy ennek a probléma megoldásának volt gyakorlati alkalmazása.

A megoldást képletek formájában írhatja le:

$\ H_{N}=(S/N)+(N-1)*R/2$

$\ H_{n-1}=H_{n}-r$

Probléma # R79

Az R79-es feladat azt mondja, hogy az ókori Egyiptomban geometriai progressziót használtak a számításokban . Azt azonban csak tudjuk, hogy az egyiptomiak a "2" és az "1/2" számokat használták a progresszióhoz, vagyis olyan értékeket kaphattak, mint: 1/2, 1/4, 1/8 ... és 2, 4, 8, 16 … A geometriai progresszió gyakorlati alkalmazásának kérdése az ókori Egyiptomban szintén nyitott marad.

✔	egy	2801
✔	2	5602
✔	négy	11204

	7	19607

	házak	7
	macskák	49
	Egerek	343
	Maláta	2401 (az írnok tévedésből 2301-et írt)
	Hekat	16807

		19607

Lásd még

Jegyzetek

↑ A Rhind matematikai papirusz . britishmuseum.org . Letöltve: 2019. december 10. Az eredetiből archiválva : 2020. november 12.
↑ London, The British Museum Press, 1987
↑ BM 10058
↑ 1 2 I. Ya. Depman, History of aritmetic. Útmutató tanároknak - M .: 1965 (második kiadás, átdolgozott), 196. o.
↑ S. Clark, R. Engelbach, Építés és építészet az ókori Egyiptomban. ISBN 978-5-9524-4351-8
↑ A matematika története az ókortól a 19. század elejéig, szerk. A. P. Juskevics.- M.: 1970, 25. o
↑ K. Vogel, Vorgriechische Mathematik , 66. o
↑ Apothem - egy szabályos piramis oldallapjának magassága.

Irodalom

Bobynin V.V. Az ókori egyiptomiak matematikája (a Rinda papirusz alapján). - M. , 1882.
Van der Waerden B.L. Ébredéstudomány: Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája. — M .: Fizmatgiz , 1959. (Reprint: M .: URSS , 2007)
Vygodsky M. Ya. Aritmetika és algebra az ókori világban. - M .: Nauka , 1967.
Raik A.E. Esszék az ókori matematika történetéről. - Saransk: Mordov állam. kiadó, 1977.
Rinda papirusz // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
Gillings RJ Matematika a fáraók idejében. – Cambridge: MIT Press , 1972.
Peet T.E. The Rind matematikai papirusz. - Liverpool University Press, L .: Hodder & Stoughton, 1923.
Robins G., Shute CCD The Rhind matematikai papirusz: ókori egyiptomi szöveg. – N. Y .: Dover, 1987.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4735890-7

Az ókori Egyiptom nyelve és írása

Nyelv	korai egyiptomi régi egyiptomi közép-egyiptomi új egyiptomi népies ptolemaioszi kopt
Levél	írásfajták: hieroglifák hieratika népies az egyiptomi írásból származik: kopt Meroitikus Régi núbiai

Az ókori Egyiptom irodalma

Tanítások	Vezír utasítása Merikar tanítása Kagemni tanításai Ptahhotep tanításai Az ékesszóló paraszt meséje Heti tanítása Amenemope tanításai Amenemhat tanításai Harjedef tanítása Hűséges Tanítás Hahaperraceneb tükörképe
Legendák, próféciák, siralmak	A Lelkéből kiábrándultak beszélgetése Sinuhe meséje Ipuver azt mondja Yupa elfogása Pentaura vers Unu-Amon utazásai Neferkare és Sisin parancsnok története Apepi és Seqenenre veszekedése Viharsztélé Éhség Sztélé Stela Bentresh Neferti próféciája Demotic Chronicle bárány jósda Potter jóslata
Mesék, dalok	A hajótöröttek meséje halálra ítélt herceg Song of the Harper Mese két testvérről Igazság és hazugság Mese Kheopsz király udvaráról Khonsemheb és a szellem Setna herceg meséi ( Setna II.)
Értekezések	papirusz ahmes papirusz fáj Könyv Kemit Egyiptomi matematikai bőrtekercs Moszkvai matematikai papirusz Matematikai papirusz Lahunból Berlin Papyrus 6619 Ahmim Reisner Papyrus papirusz kahuna Papirusz Edwin Smith Papirusz Ebers papirusz London orvosi papirusz Carlsberg Beatty Brooklyn Papyrus Papyrus Brugsha Papyrus Erman X Ramesseum onomasticon
Vallási szövegek	papirusz ani Amduat Himnusz az Atenhez Papirusz Goleniscseva halottak könyve Gates könyve Az égi tehén könyve A szarkofágok szövegei Örökkévalóság útikönyv Breath Books föld könyv barlangok könyve Ra litániája sztélé Piramis szövegek
A dokumentumok	Torinói királyi papirusz Amarna archívum Torinói bírói papirusz Papyrus Harris Papyrus Abbott Torino papirusz térkép Ptolemaioszi rendeletek Egyiptomi-hettita békeszerződés Merneptahi Sztélé Nagy karnaki felirat Dél-Szakkarából származó kő
Vegyes	az ókori egyiptomi papiruszok listája Ismet-Ahom felirat Stockholmi papirusz Torino erotikus papirusz

Az egyiptomi hieroglifák osztályozása (A. H. Gardiner szerint)

A - egy férfi és foglalkozásai

B - nő és foglalkozásai

C - antropomorf istenségek

D - az emberi test részei

E - emlősök

F - emlősök testrészei

G - madarak

H - madarak testrészei

I - kétéltűek és hüllők

K - hal és hal testrészei

L - gerinctelenek

M - fák és növények

N - ég, föld, víz

O - épületek és részeik

P - hajók és hajók részei

Q - háztartási és kempingeszközök

R - templomi edények és szent emblémák

S - koronák, ruhák, botok stb.

T - katonai, vadászfegyverek stb.

U - mezőgazdasági és különféle kézműves eszközök

V - kosarak, táskák, kötéltermékek stb.

W - kő- és cserépedények

X - különböző típusú kenyér

Y - író- és játékkellékek, hangszerek

Z - különböző vonalak és geometriai formák

Aa – besorolhatatlan

nyelvtanok

"klasszikus" - A. Erman
G. Lefebvre
A. H. Gardiner

"standard" - H. Ya. Polotsky

„modern” – J. Allen
J. Borhouts
V. Schenkel