Egyiptomi frakciók

Egyiptomi tört - a matematikában az alak több, páronként eltérő törtjének összege (az úgynevezett aliquot törtek ). Más szóval, az összeg minden törtrészének van egy számlálója , amely egyenlő eggyel, és egy nevezője , amely természetes szám . ${\frac {1}{n}}$

Példa: . ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}$

Az egyiptomi tört a / b alakú pozitív racionális szám ; például a fent írt egyiptomi tört 43/48-nak írható. Kimutatható, hogy minden pozitív racionális szám ábrázolható egyiptomi törtként (általában végtelen sokféleképpen [1] ). Ezt a fajta összeget a matematikusok használták tetszőleges törtek írásához az ókori Egyiptom idejétől a középkorig . A modern matematikában az egyiptomi törtek helyett egyszerű és tizedes törteket használnak , azonban az egyiptomi törteket továbbra is tanulmányozzák a számelméletben és a matematika történetében .

Történelem

Ókori Egyiptom

A témával kapcsolatos további információkért lásd: Egyiptomi számok , Matematika az ókori Egyiptomban .

Az egyiptomi frakciókat az ókori Egyiptomban találták fel és használták először . Az egyik legkorábbi ismert utalás az egyiptomi törtekre a Rhindai matematikai papirusz . Három régebbi szöveg, amely az egyiptomi törteket említi: az egyiptomi matematikai bőrtekercs , a moszkvai matematikai papirusz és az Akhmim fatábla. A Rinda papiruszt Ahmesz írnok írta a második köztes időszak korában ; tartalmazza a 2/ n alakú racionális számok egyiptomi törtek táblázatát , valamint 84 matematikai feladatot, azok megoldásait és válaszait egyiptomi törtekkel.

Az egyiptomiak a hieroglifát használták

( ep , "[egy] of" vagy re , rot) egy szám felett, hogy a hagyományos jelölésben egységnyi tört reprezentáljon, míg a hieratikus szövegekben egy sort használtak. Például:

={\frac {1}{3}}

={\frac {1}{10}}

Különleges szimbólumokkal is rendelkeztek az 1/2, 2/3 és 3/4 törtekhez (az utolsó két számjegy az egyetlen nem aliquot tört, amelyet az egyiptomiak használtak), amelyek más (1-nél nagyobb) törtek írásához is használhatók. /2).

={\frac {1}{2}}

={\frac {2}{3))

={\frac {3}{4))

Az egyiptomiak más jelölési formákat is használtak, amelyek a Hórusz szeme hieroglifán alapultak , hogy az 1/2 k ( k = 1, 2, ..., 6) formájú törtek egy speciális halmazát ábrázolják , azaz kettőt. -elem racionális számok . Ezeket a frakciókat az egyiptomi frakciók más formáival együtt a hekát ( ~4,785 liter ) felosztására használták, amely az ókori Egyiptomban a térfogat fő mértéke. Ezt a kombinált jelölést a gabona , a kenyér és a sör térfogatának mérésére is használták . Ha a mennyiségnek a Hórusz Szeme töredéke formájában történő rögzítése után maradt némi maradék, azt a szokásos formában rho többszöröseként , 1/320 hekátnak megfelelő mértékegységként vettük fel.

Például így:

={\frac {1}{331}}

Ugyanakkor a „száj” minden hieroglifa elé került.

Az ókor és a középkor

Az egyiptomi törteket az ókori Görögországban , majd a világ matematikusai is használták egészen a középkorig , az ókori matematikusok megjegyzései ellenére (például Claudius Ptolemaiosz az egyiptomi törtek használatának kényelmetlenségéről beszélt a babiloni rendszerhez képest ). Az egyiptomi törtek tanulmányozásával kapcsolatos fontos munkát Fibonacci 13. századi matematikus végzett „ Liber Abaci ” című munkájában.

A Liber Abaci fő témája a tizedes- és közönséges törtekkel végzett számítások, amelyek végül kiszorították az egyiptomi törteket. Fibonacci összetett jelölést használt a törtekhez, beleértve a vegyes alapú számok jelölését és a törtösszegek jelölését, és gyakran használták az egyiptomi törteket is. A könyvben algoritmusokat is kapott a közönséges törtek egyiptomi törtekre való konvertálására.

Fibonacci algoritmus

Fibonacci írta le a 13. században az első olyan általános módszert, amellyel egy tetszőleges tört egyiptomi komponensekre bontható . A modern jelöléssel az algoritmusa a következőképpen fogalmazható meg.

1. A tört két tagra bontható: ${\frac {m}{n}}$

{\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n){\bmod {m}}}{n\ lceil n/m\rceil }}.

Itt van az n m -vel való osztásának hányadosa, felfelé kerekítve a legközelebbi egész számra, és a (pozitív) maradéka −n osztásának m -rel . $\lceil n/m\rceil$ $(-n){\bmod {m))$

2. A jobb oldalon lévő első tag már egyiptomi tört alakban van. A képletből látható, hogy a második tag számlálója szigorúan kisebb, mint az eredeti törté. Hasonlóképpen, ugyanezzel a képlettel bővítjük a második tagot, és addig folytatjuk ezt a folyamatot, amíg meg nem kapjuk az 1-es számlálót.

A Fibonacci-módszer véges számú lépés után mindig konvergál, és megadja a kívánt kiterjesztést. Példa:

{\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{120}}.

Az ezzel a módszerrel kapott dekompozíció azonban nem biztos, hogy a legrövidebb. Egy példa a sikertelen alkalmazására:

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+ {\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\ ,225}},

míg a fejlettebb algoritmusok dekompozícióhoz vezetnek

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.

Modern számelmélet

A modern matematikusok továbbra is számos, az egyiptomi törtekkel kapcsolatos problémát vizsgálnak.

A 20. század végén becsléseket adtak egy tetszőleges tört egyiptomira való kiterjesztésének maximális nevezőjére és hosszára. Az x / y tört egyiptomi törtekké bővül, legfeljebb nevezővel

O\left({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\jobbra)

( Tenenbaum & Yokota 1990 ), és legfeljebb

O\left({\sqrt {\log y}}\right)

( Vose 1985 ).

Az Erdős-Graham sejtés azt állítja, hogy az 1-nél nagyobb egész számok bármilyen színezésére r > 0 színben létezik egy véges monokromatikus S egész számok részhalmaza, amelyre $\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.$

Ezt a sejtést Ernest Krut igazolta 2003 - ban .

Nyitott kérdések

Az egyiptomi törtek számos nehéz és a mai napig megoldatlan matematikai problémát vetnek fel.

Az Erdős-Strauss-sejtés azt állítja, hogy minden n ≥ 2 egész számra vannak x , y és z pozitív egészek , amelyek

{\frac 4n}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Számítógépes kísérletek azt mutatják, hogy a sejtés minden n ≤ 10 14 esetén igaz , de bizonyítékot még nem találtak. Ennek a sejtésnek az általánosítása azt állítja, hogy minden pozitív k esetén létezik N úgy, hogy minden n ≥ N esetén létezik egy dekompozíció

{\frac {k}{n}}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Ez a hipotézis Andrzej Schinzelé .

Jegyzetek

↑ R. Knott . Egyptian Fractions archiválva 2016. május 2-án a Wayback Machine -nél .

Irodalom

Van der Waerden. Az ébredő tudomány. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája. N. Veselovsky holland fordítása. Moszkva: Fizmatgiz, 1959, 456 p. (Reprint: M.: URSS, 2007)
Neugebauer O. Előadások az ókori matematikai tudományok történetéből (pre-görög matematika). T. 1. M.-L.: ONTI, 1937.
Neugebauer O. Pontos tudományok az ókorban. M.: Nauka, 1968. (Reprint: M.: URSS, 2003)
Raik A.E. Esszék az ókori matematika történetéről. Saransk, Mordov állam. kiadó, 1977.
Raik A.E. Az egyiptomi törtek történetéről. Történeti és Matematikai Kutatás, 23, 1978, p. 181-191.
Yanovskaya S. A. Az egyiptomi törtek elméletéről. A Természettudományi Intézet Közleményei, 1947. 1. o. 269-282.
Beeckmans, L. Az egyiptomi törtek felosztási algoritmusa (határozatlan) // Journal of Number Theory . - 1993. - T. 43 . - S. 173-185 .
Botts, Truman. Láncreakciós folyamat a számelméletben (neopr.) // Mathematics Magazine . - 1967. - S. 55-65 .
Breusch, R. Az egyiptomi törtek speciális esete, 4512-es haladó probléma megoldása // American Mathematical Monthly : Journal . - 1954. - 1. évf. 61 . - P. 200-201 .
Bruins, Evert M. Platon et la tablégyptienne 2/n (határozatlan) // Janus. - 1957. - T. 46 . - S. 253-263 .
Eves, Howard. Bevezetés a matematika történetébe, (angol) . – Holt, Reinhard és Winston, 1953.
Gillings, Richard J. Matematika a fáraók idejében (neopr.) . – Dover, 1982.
Graham, RL Különböző n - edik hatványok reciprokának véges összegeiről // Pacific Journal of Mathematics : Journal. - 1964. - 1. évf. 14 , sz. 1 . - 85-92 . o . Az eredetiből archiválva : 2009. november 22. Archiválva : 2009. november 22. a Wayback Machine -nél
Hultsch, Friedrich. Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung (német) . – Lipcse: S. Hirzel, 1895.
Knorr, Wilbur R. Törttechnikák az ókori Egyiptomban és Görögországban (angol) // Historia Mathematica : folyóirat. - 1982. - 1. évf. 9 . - 133-171 . o .
Luneburg, Heinz. Leonardi Pisani Liber Abbaci vagy Lesevergnügen eines Mathematikers (német) . – Mannheim: B.I. Wissenschaftsverlag, 1993.
Martin, G. Sűrű egyiptomi törtek (angol) // Transactions of the American Mathematical Society . - 1999. - 1. évf. 351 . - P. 3641-3657 .
Menninger, Karl W. Számszavak és számszimbólumok: A számok kultúrtörténete . – MIT Press , 1969.
Robins, meleg; Kuss, Charles. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text (angol) . – Dover, 1990.
Stewart, BM Különálló osztók összegei (határozatlan) // American Journal of Mathematics . - 1954. - T. 76 . - S. 779-785 .
Stewart, I. Az eltűnő teve rejtvénye // Scientific American . - Springer Nature , 1992. - Nem. június . - 122-124 . o .
Struik, Dirk J. A matematika tömör története (határozatlan) . - Dover, 1967. - S. 20-25 .
Takenouchi, T. Egy határozatlan egyenletről (neopr.) // Proc. Physico-Mathematical Soc. Japán, 3. sz.. - 1921. - 3. köt . - S. 78-92 .
Tenenbaum, G.; Yokota, H. Az egyiptomi törtek hossza és nevezői (határozatlan) // Journal of Number Theory . - 1990. - T. 35 . - S. 150-156 .
Vose, M. Egyiptomi törtek (határozatlan) // London Mathematical Society . - 1985. - T. 17 . - S. 21 .
Wagon, S. Mathematica in Action (neopr.) . - W. H. Freeman, 1991. - S. 271 -277.

Linkek

David Eppstein. Egyiptomi frakciók . Az eredetiből archiválva : 2012. február 19. (határozatlan)
Egyiptomi frakciók . Az eredetiből archiválva : 2012. február 19. (határozatlan)
Matematika az egyiptomi papiruszokban (2000). Az eredetiből archiválva : 2012. február 19. (határozatlan)
Weisstein, Eric W. Egyptian Fraction (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Brown, Kevin. RMP 2/nth táblázat (nem elérhető link) . Letöltve: 2006. december 24. Az eredetiből archiválva : 2006. október 16.. (határozatlan)

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán