Erdős-Strauss sejtés

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. március 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az Erdős-Strauss hipotézis  egy számelméleti hipotézis, amely szerint minden egész számra egy racionális szám három aliquot tört (a számlálóban egységgel rendelkező tört) összegeként ábrázolható , azaz három pozitív egész szám van. , és , úgy, hogy:

.

Erdős Pál és Ernst Strauss fogalmazta meg 1948 -ban [1] .

A számítógépes nyers erő igazolta a hipotézist minden számra [2] -ig , de az összes bizonyítása 2015-ig nyitott probléma marad .

Korlátozások

Egész számok , és nem kell különbözniük, de ha különböznek, akkor egy egyiptomi törtet alkotnak, amely a számot reprezentálja . Például két megoldás létezik:

.

Az és a számok pozitívságának korlátozása elengedhetetlen , mert ha negatív számokat engedélyeznének, a probléma triviálissá válna. Továbbá, ha összetett , akkor a megoldás a vagy a megoldásaiból azonnal megtalálható . Emiatt a legkisebb ellenpéldának, ha van, prímszámnak kell lennie, és egybe kell esnie a hat végtelen aritmetikai progresszió egyik tagjával, modulo 840 [3] .

Mert nem mindegy, hogy mindhárom , és számnak különböznie kell-e vagy sem - ha van megoldás bármelyik három egész számra , és , akkor van megoldás különböző értékekkel. Az esetre azonban létezik egy egyedi megoldás az összeg feltételeinek permutációjáig.

Történelem

A racionális számok aliquot törtek összegére való kiterjesztésének keresése az ókori Egyiptom matematikusaihoz nyúlik vissza , ahol az egyiptomi törteket a törtmennyiségek ábrázolására használták. Az egyiptomiak feltalálták a táblázatokat, például az Ahmesz papiruszból származó 2/n táblázatot , amely 2/ n -es törteket tartalmaz, amelyek többsége két vagy három kifejezést tartalmaz. Az egyiptomi törtek általában tartalmazzák azt a további megkötést, hogy minden törtnek külön kell lennie, de az Erdős-Strauss-sejtésnél ez nem számít - ha a 4/ n legfeljebb három aliquot törtként ábrázolható, akkor ez a szám összegként is ábrázolható. legfeljebb három különböző aliquot frakcióból.

Az egyiptomi törtek mohó algoritmusa , amelyet először Fibonacci 1202 -ben ír le az abakusz könyvében , olyan faktorizációt talál, amelyben minden egymást követő tag a legnagyobb alikvot tört, amely nem haladja meg a reprezentáció maradékát (az eredeti tört, mínusz a már kiszámított feltételek). A 2/ n vagy 3/ n formájú törtekhez a mohó algoritmus maximum két vagy három kifejezést használ. Megmutatható, hogy egy 3/ n alakú szám akkor és csak akkor rendelkezik kéttényezős felbontással, ha n - nek van egy 2-vel egybevágó tényezője 3, és a többi bővítésben három tört szükséges [4] .

Így a 2-es és 3-as számláló esetében teljesen megoldódott az a kérdés, hogy az egyiptomi tört összegének hány tagra van szükség, és a 4/ n alakú törtek az első olyan eset, amelyre az összeg szükséges tagszáma megmarad. ismeretlen. A mohó algoritmus két, három vagy négy tag összegét adja meg, n modulo 4 értékétől függően . Ha n kongruens 1 modulo 4 értékével, akkor a mohó algoritmus négytényezős faktorizációt ad. Így a legrosszabb esetben a 4/ n kiterjesztésének három vagy négy tagból kell állnia. Az Erdős-Strauss-sejtés azt állítja, hogy ebben az esetben, mint a 3-as számlálónál, a bővítésben a maximálisan szükséges tagszám három.

Modulo összehasonlítás

A 4/ n = 1/ x + 1/ y + 1/ z egyenlet mindkét oldalát nxyz -zel megszorozva a 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) egyenlethez jutunk [5] . Mivel egész változókat tartalmazó algebrai egyenlet , az egyenlet egy példa a diofantin egyenletre . A Hasse-féle diofantin-egyenletek elve kimondja, hogy egy diofantinuszi egyenlet egész megoldása megkapható egész megoldások kombinációjaként az összes lehetséges prímszám moduljára . Az elv keveset tesz az Erdős-Strauss-sejtésnél, mivel a 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) egyenlet könnyen megoldható bármely modulo tetszőleges prím kongruenciára. A moduláris aritmetika azonban fontos eszköze a sejtések tanulmányozásának.

Egy n értékre, amely kielégít néhány kongruenciát , közvetlenül az egyenletből találhatunk 4/ n kiterjesztést . Például, ha n ≡ 2 (mod 3), 4/ n -nek van egy dekompozíciója

Itt mindhárom nevező n , ( n − 2)/3 + 1 és n (( n − 2)/3 + 1) polinom n -ben , és mindegyik egész szám lesz, ha n ≡ 2 (mod 3). Az egyiptomi törtek mohó algoritmusa három vagy kevesebb tagból álló megoldást talál, ha n nem 1 vagy 17 (mod 24), de az n ≡ 17 (mod 24) esetet lefedi a 2. eset (mod 3), tehát az egyetlen eset amelyre egyik módszer sem ad három vagy kevesebb tagra való kiterjesztést, ez az eset n ≡ 1 (mod 24).

Ha egy másik modulra is sikerülne a fentiek szerinti megoldást találni, és így komplett összehasonlítási rendszert alkotni , akkor a probléma megoldódna. Azonban, amint Mordell [3] megmutatta, az r modulo p -vel egybevágó n -re megoldást adó egyenletek csak olyan r esetén létezhetnek , amely nem mod p másodfokú maradék . Például a 2 nem másodfokú maradék mod 3, így a 2-vel kongruens n változók azonosságának megléte modulo 3 nem mond ellent Mordell eredményének, de az 1 a mod 3 kvadratikus maradéka, tehát nem lehet hasonló azonosság a n értékek , amelyek kongruensek 1 modulo 3-mal.

Mordell felsorolt ​​olyan azonosságokat, amelyek 4/ n háromtényezős dekompozíciót biztosítanak az n ≡ 2 (mod 3) (mint fent), ≡ 3 (mod 4), ≡ 5 (mod 8), ≡ 2 vagy 3 (mod 5) esetekre ), ≡ 3, 5 vagy 6 (7. mód). Ezek az azonosságok minden olyan esetre kiterjednek, amikor a számok nem másodfokú maradékok a megadott bázisokban. Nagy bázisok esetében azonban nem ismert minden olyan nem kvadratikus maradék, amely lefedhető az ilyen típusú relációkkal. Mordell azonosságaiból arra lehet következtetni, hogy minden n -re vannak megoldások , esetleg 1, 121, 169, 289, 361 vagy 529 kivételével modulo 840. 1009 a legkisebb prímszám, amelyet nem fed le a kongruenciarendszer. A nagy modulusazonosságok kombinálásával Webb (és mások) kimutatta, hogy az [1, N ] intervallumban nevezővel rendelkező törtek száma , amely ellenpéldaként szolgálhatna a sejtésre, nullára hajlik, ahogy N a végtelenbe megy [6] .

Ellentétben Mordell identitások használatát korlátozó eredményeivel, van némi remény a moduláris aritmetika alkalmazására a sejtés bizonyítására. Egyetlen prímszám sem lehet négyzet, ezért a Hasse-Minkowski tétel szerint, ha p  prím, akkor van egy nagyobb q prím , így p nem másodfokú maradék mod q . A tétel bizonyításának egyik módja az, hogy minden p prímhez találunk egy nagyobb q prímet és egy kongruenciát, amely megoldja a 4/ n feladatot n ≡ p esetén (mod q ). Ha ez sikerülne, bebizonyosodik, hogy egyetlen prím sem lenne ellenpélda, és így a sejtés beigazolódna.

Számítási ellenőrzés

Különböző szerzők közvetlenül kerestek ellenpéldát. Ezek a keresések nagymértékben felgyorsíthatók, ha csak azokat a prímszámokat vesszük figyelembe, amelyeket nem fednek le az ismert modulo-összehasonlítási egyenletek [7] . Allan Swett kutatásai arra a következtetésre jutottak, hogy a hipotézis minden n -re igaz 10 14 -ig [2] .

Megoldások száma

Számítógépes kereséssel kis n -re is megtaláltuk a feladat különböző megoldásainak számát 4/ n esetén n függvényében , és kiderült, hogy a függvény némileg szabálytalanul nő. n = 3- ból kiindulva a különböző nevezőjű megoldások száma [8] :

1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ….

Még nagy n esetén is vannak olyan esetek, ahol viszonylag kevés a megoldás. Tehát n = 73 esetén csak hét megoldás létezik.

Elsholtz és Tao [9] kimutatta, hogy a 4/ n -es felbontási probléma megoldásainak átlagos száma (a prímszámok átlaga n -ig ) felülről polilogaritmikusan korlátos n -ben . Néhány más diofantusz-problémára a megoldás létezését be lehet bizonyítani úgy, hogy a megoldások számának aszimptotikus alsó korlátját találjuk , de ez a fajta bizonyítás főként a megoldások számának polinomiális növekedésével járó problémák esetén létezik, így Elsholtz és Tao eredménye valószínűtlenné teszi ezt a lehetőséget [10] . A megoldások számának korlátjának Elsholtz és Tao bizonyítása a Bombieri-Vinogradov tételen , a Brun-Tichmarsh tételen és a −c vagy −1/ c modulo -val kongruens n -re érvényes moduloegyenlőségek rendszerén alapul. 4 ab , ahol a és b  két pozitív pozitív egész szám, c pedig a + b  tetszőleges páratlan tényezője . Például, ha a = b = 1-et állítunk be, Mordell egyik azonosságát kapjuk, amely n ≡ 3(mod 4) esetén érvényes.

Megoldások negatív számokban

A pozitivitási kényszer , és elengedhetetlen. Negatív számokat feltételezve a megoldást triviálisan a következő két azonossággal kaphatjuk meg:

és

Páratlan n esetén van egy megoldás, amely három tagot tartalmaz, amelyek közül az egyik negatív [11] :

Általánosítások

A sejtés általánosított változata azt mondja, hogy bármely pozitív k -re van olyan N szám , hogy bármely n ≥ N esetén létezik a k / n = 1/ x + 1/ y + 1/ z egyenlet pozitív egész számainak megoldása . Ennek a sejtésnek a k = 5-re vonatkozó változatát Vaclav Sierpinski javasolta , a sejtés teljes változata pedig Andrzej Schinzelnek köszönhető [12] .

Még ha az általánosított hipotézis kudarcot vall is valamilyen k értékre , a k / n 1 és N közötti n értékkel rendelkező törtek számának szublineárisan növekednie kell N függvényében [6] . Különösen, ha maga az Erdős-Strauss-sejtés ( k = 4) hamis, akkor az ellenpéldák száma csak szublineárisan nő. Még erősebb, bármely rögzített k esetén csak n szublineáris számú értékéhez van szükség kettőnél több tagra az egyiptomi törtkiterjesztésben [13] . A sejtés általánosított változata egyenértékű azzal az állítással, hogy a felbonthatatlan törtek száma nem csak szublineáris, hanem korlátozott.

Ha n páratlan, akkor a páratlan egyiptomi törtek faktorálásának problémájával analóg módon megkérdezhetjük a k / n = 1/ x + 1/ y + 1/ z megoldásokat , amelyekben x , y és z különböző pozitív páratlan számok . Ismeretes, hogy ebben az esetben k = 3 esetén mindig léteznek megoldások [14] .

Jegyzetek

  1. ↑ Elsholtz, 2001 . A legkorábbi kiadvány Erdős, 1950
  2. ↑ 12 Allan Swett . Az Erdos-Straus sejtés. (nem elérhető link) 
  3. ↑ 12 Mordell , 1967 .
  4. ↑ Eppstein, 1995
  5. ↑ Lásd például: Sander, 1994 egy egyszerű diofantin-egyenlet megfogalmazásához, feltéve, hogy az x , y vagy z számok közül melyik osztható n -nel .
  6. ↑ 12 Webb , 1970 ; Vaughan, 1970 ; Li, 1981 ; Yang, 1982 ; Ahmadi, Bleicher, 1998 ; Elsholtz, 2001 .
  7. ↑ Obláth, 1950 ; Rosati, 1954 ; Kiss, 1959 ; Bernstein , 1962 Yamamoto , 1965 Terzi, 1971 ; Jollensten 1976 ; Kotsireas, 1999 .
  8. ↑ OEIS szekvencia A073101 _
  9. ↑ Elsholtz, Tao, 2011 .
  10. ↑ A 4/p = 1/n_1 + 1/n_2 + 1/n_3 megoldásainak számáról Archiválva : 2015. január 4., a Wayback Machine , Terence Tao, "Újdonságok", 2011. július 7..
  11. ↑ Jaroma, 2004 .
  12. ↑ Sierpiński, 1956 ; Vaughan, 1970 .
  13. ↑ Hofmeister, Stoll, 1985 .
  14. ↑ Schinzel, 1956 ; Suryanarayana, Rao, 1965 ; Hagedorn, 2000 .

Irodalom

Linkek