Erdős-Graham hipotézis

Az Erdős–Graham- sejtés a kombinatorikus számelmélet egy sejtése, amely az egynél nagyobb egészek halmazának véges számú részhalmazokra való particionálására vonatkozik, amelyek közül az egyik felhasználható egy egyiptomi egységet reprezentáló tört képzésére. Erdős és Graham úgy sejtették, hogy az egynél nagyobb egész számok tetszőleges színezése esetén létezik ezeknek az egészeknek egy véges monokromatikus részhalmaza, amely: $r>0$ $r$ $S$

\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1

a halmaz maximális eleme pedig valamely -től független állandó értékre korlátozható . Ismeretes, hogy ennek az állításnak a helyességéhez szükséges, hogy ne legyen kisebb, mint a szám . $S$ $b^r$ $b$ $r$ $b$ $e$

A hipotézist Ernest S. Croot , III 2003 - ban igazolta , a becslés nagyon magas -- a szám nem lehet több , mint . Kroot eredménye egy általánosabb tételből következik, amely azt állítja, hogy létezik egy egyiptomi tört formájú egységábrázolás sima számok halmazaira a forma intervallumaiban , ahol kellően sok olyan számot tartalmaz, amelyek reciprok összege legalább hat. Ebből az eredményből származik az Erdős-Graham sejtés úgy, hogy találunk egy intervallumot, amelyben az összes sima szám reciprokának összege legalább . Így, ha az egész számok -színűek, akkor egy monokromatikus részhalmaznak kell lennie , amely kielégíti a Kroot-tétel feltételét. $b$ $e^{167000}$ $C$ $[X,X^{1+\delta }]$ $C$ $6r$ $r$ $C$

Jegyzetek

Linkek

Croot, Ernest S., III. Egységtörtek. - Georgiai Egyetem , Athén, 2000.
Croot, Ernest S., III. Egy színező sejtésről az egységtörtekről // Annals of Mathematics . - 2003. - T. 157 , sz. 2 . - S. 545-556 . doi : 10.4007 / annals.2003.157.545 . - arXiv : math.NT/0311421 .
Erdős Pál , Ronald L. Graham . Régi és új problémák és eredmények a kombinatorikus számelméletben // L'Enseignement Mathématique . - 1980. - T. 28 . - S. 30-44 .
Ernie Croot weboldala archiválva : 2009. április 9. a Wayback Machine -nél