A matematika története

A matematika története
Fő téma matematika
Stack Exchange webhely hsm.stackexchange.com
 Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon
Tudománytörténet
Téma szerint
Matematika
Természettudományok
Csillagászat
Biológia
Növénytan
Földrajz
Geológia
talajtudomány
Fizika
Kémia
Ökológia
Társadalomtudományok
Sztori
Nyelvészet
Pszichológia
Szociológia
Filozófia
Gazdaság
Technológia
Informatika
Mezőgazdaság
A gyógyszer
Navigáció
Kategóriák

Ez a cikk áttekintést nyújt a matematika történetének főbb eseményeiről és irányzatairól az ókortól napjainkig.

A matematika történetében a matematika történetének több osztályozása létezik, ezek egyike szerint a matematikai tudás fejlődésének több szakaszát különböztetik meg:

  1. A geometriai alakzat és szám fogalmának kialakítása valós tárgyak és homogén objektumok halmazainak idealizálásaként . A számlálás és mérés megjelenése, amely lehetővé tette a különböző számok, hosszúságok, területek és térfogatok összehasonlítását.
  2. Az aritmetikai műveletek feltalálása. Az aritmetikai műveletek tulajdonságairól , egyszerű alakzatok és testek terület- és térfogatmérési módszereiről ismeretek empirikus (próba-hibával) felhalmozása . Az ókor sumér-babiloni , kínai és indiai matematikusai messze haladtak ebben az irányban .
  3. Az ókori Görögországban egy deduktív matematikai rendszer megjelenése, amely megmutatta, hogyan lehet új matematikai igazságokat szerezni a meglévők alapján. Az ókori görög matematika megkoronázó vívmánya lett az Euklidész elemei , amely két évezreden át a matematikai szigorúság mércéjét játszotta .
  4. Az iszlám országainak matematikusai nemcsak megőrizték az ősi vívmányokat, hanem szintetizálni is tudták azokat az indiai matematikusok felfedezéseivel, akik a számelméletben előrébb jutottak, mint a görögök.
  5. A 16-18. században az európai matematika újjászületett és messze fejlődött. Koncepcionális alapja ebben az időszakban az a meggyőződés volt, hogy a matematikai modellek az Univerzum egyfajta ideális vázát képezik [1] , ezért a matematikai igazságok felfedezése egyben a való világ új tulajdonságainak felfedezése is. A fő siker ezen az úton a változók függésének matematikai modelljeinek ( függvény ) és az általános mozgáselméletnek ( infinitezimálok elemzése ) kifejlesztése volt. Az összes természettudományt újonnan felfedezett matematikai modellek alapján építették újjá, és ez kolosszális fejlődésükhöz vezetett .
  6. A 19. és 20. században világossá válik, hogy a matematika és a valóság kapcsolata korántsem olyan egyszerű, mint amilyennek korábban látszott. Nincs általánosan elfogadott válasz egyfajta " matematika filozófia alapkérdésére " [2] : meg kell találni az okát a "matematika felfoghatatlan hatékonyságának a természettudományokban" [3] . Ebben, és nem csak ebben a tekintetben, a matematikusok számos vitaiskolára oszlottak . Számos veszélyes irányzat alakult ki [4] : túlzottan szűk specializáció, elzárkózás a gyakorlati problémáktól stb. Ugyanakkor a matematika ereje és presztízse, amelyet alkalmazásának hatékonysága is alátámaszt, minden eddiginél magasabb.

A nagy történelmi érdeklődés mellett a matematika evolúciójának elemzése nagy jelentőséggel bír a matematika filozófiája és módszertana fejlődése szempontjából . Gyakran a történelem ismerete is hozzájárul bizonyos matematikai tudományágak előrehaladásához; például az ókori kínai probléma (tétel) a maradékokról a számelmélet egész szakaszát alkotta - a kongruenciák elméletét modulo [5] .

Az aritmetika és a geometria megjelenése

A matematika az emberi tudás rendszerében egy olyan rész, amely olyan fogalmakkal foglalkozik, mint a mennyiség , a szerkezet , az arány stb. A matematika fejlődése a vonalak , felületek és térfogatok számolásának és mérésének gyakorlati művészetének megalkotásával kezdődött .

A természetes számok fogalma fokozatosan alakult ki és bonyolódott azáltal, hogy a primitív ember képtelen volt elválasztani a numerikus absztrakciót a konkrét ábrázolásától. Ennek eredményeként a beszámoló sokáig csak anyag maradt - ujjakat, kavicsokat, jeleket stb.. B. A. Frolov régész igazolja a beszámoló létezését már a felső paleolitikumban [6] .

A számlálás nagyobb mennyiségre való elterjedésével felmerült az ötlet, hogy ne csak egységek szerint számoljunk, hanem úgymond például 10 tárgyat tartalmazó egységcsomagokkal is. Ez a gondolat azonnal tükröződött a nyelvben, majd az írásban is. A szám elnevezésének vagy ábrázolásának (számozás) elve lehet [7] :

Az elszámolás eredményeinek emlékezetére bevágásokat, csomókat stb. használtak Az írás feltalálásával betűket vagy speciális ikonokat kezdtek használni a nagy számok rövidítésére. Ilyen kódolással általában ugyanazt a számozási elvet reprodukálták, mint a nyelvben.

A kettőtől (zwei, two, duo, deux, dvi, two ...) a tízig, valamint a tízesek és a 100-as számok nevei hasonlóak az indoeurópai nyelvekben . Ez arra utal, hogy az absztrakt szám fogalma nagyon régen, még e nyelvek szétválása előtt megjelent. A legtöbb népnél a számok képződésében a 10-es szám különleges helyet foglal el, így egyértelmű, hogy az ujjakon való számolás elterjedt volt. Innen származik a mindenütt jelenlévő decimális számrendszer . Bár vannak kivételek: a 80 franciául quatre-vingt (azaz 4 húsz), a 90 pedig quatre-vingt-dix (4 * 20 + 10); ez a használat az ujjakon és lábujjakon való számolásra nyúlik vissza. Hasonlóan vannak elrendezve a dán, oszét és abház nyelvek számai is. A grúz nyelvű húszra számolás még egyértelműbb. A sumérokat és aztékokat – a nyelvből ítélve – eredetileg ötösnek tekintették.

Vannak egzotikusabb lehetőségek is. A babilóniaiak a hatszázalékos rendszert használták tudományos számításokhoz . És a Torres-szoros szigeteinek őslakosai - bináris [7] :

Urapun (1); Okoza (2); Okoza-Urapun (3); Okoza-Okoza (4); Okoza-Okoza-Urapun (5); Okoza-Okoza-Okoza(6)

Amikor az absztrakt szám fogalma végül kialakult, a számokkal végzett műveletek lettek a következő lépések. A természetes szám homogén , stabil és oszthatatlan objektumok (emberek, birkák, napok stb.) véges  halmazának idealizálása [8] . A számláláshoz matematikai modellekkel kell rendelkeznie olyan fontos eseményekről, mint több halmaz egyesítése vagy fordítva, egy halmaz egy részének szétválasztása. Így jelentek meg az összeadás és kivonás műveletei [9] . A természetes számok szorzása úgymond kötegösszeadásként jelent meg [10] . A műveletek tulajdonságait és összefüggéseit fokozatosan fedezték fel.

Egy másik fontos gyakorlati művelet – a részekre osztás – végül a negyedik aritmetikai műveletbe – osztásba – absztrahálódtak [ 11] . A 10 részre osztás nehézkes, ezért az összetett számításoknál kényelmes tizedes törtek viszonylag későn jelentek meg. Az első törtek nevezője általában 2, 3, 4, 8 vagy 12 volt. Például a rómaiaknál a standard tört uncia (1/12) volt. A középkori monetáris és mérőrendszerek az ősi nem tizedesjegyek egyértelmű lenyomatát viselik: 1 angol penny \u003d 1/12 shilling , 1 hüvelyk \u003d 1/12 láb , 1 láb \u003d 1/3 yard stb.

A számokkal nagyjából egy időben az ember elvonatkoztatta a lapos és térbeli formákat. Általában a hozzájuk hasonló valós tárgyak nevét kapták: például a görögöknél a " rombusz" csúcsot jelent, " trapedsion " - asztalt ( trapéz ), " gömb " - labdát [12] .

A méréselmélet jóval később jelent meg, és gyakran tartalmazott hibákat: tipikus példa erre az a téves doktrína, hogy az ábrák területei egyenlők a kerületük egyenlőségével , és fordítva. Ez nem meglepő: mérőeszközként csomós vagy jelű mérőkötél szolgált, így a kerületet nehézség nélkül lehetett mérni, és általában nem volt eszköz vagy matematikai módszer a terület meghatározására. A mérések szolgáltak a törtszámok legfontosabb alkalmazásaként és elméletük fejlesztésének forrásaként.

Ókori Kelet

Egyiptom

A legrégebbi egyiptomi matematikai szövegek a Kr.e. 2. évezred elejére nyúlnak vissza. e. A matematikát ekkor használták a csillagászatban, a navigációban, a földmérésben, házak, gátak, csatornák és katonai erődítmények építésénél. Egyiptomban nem voltak pénzbeli elszámolások, mint maga a pénz. Az egyiptomiak papiruszra írtak, amely gyengén megőrzött, ezért jelenleg sokkal kevesebb ismerete van Egyiptom matematikájáról, mint Babilon vagy Görögország matematikájáról. Valószínűleg jobban kidolgozott, mint a hozzánk jutott dokumentumokból elképzelhető, amit az a tény is megerősít, hogy görög matematikusok együtt tanultak az egyiptomiakkal [C 1] .

A fő fennmaradt források az Ahmesz-papirusz , más néven a Rinda-papirusz (84 matematikai feladat) és a moszkvai Goleniscsev-papirusz (25 feladat), mindkettő a Középbirodalomból , az ókori egyiptomi kultúra virágkorából származik. A szöveg szerzői számunkra ismeretlenek.

Ahmesz papiruszából (Kr. e. 1650 körül íródott) minden feladat a természetben alkalmazott, és az építkezés gyakorlatához, a telkek lehatárolásához stb. kapcsolódik. A feladatok nem módszerek, hanem tantárgyak szerint vannak csoportosítva. Ezek többnyire háromszög, négyszög és kör területeinek megkeresésére, különböző egész számokkal és aliquot törtekkel végzett műveletekre , arányos osztásra, aránykeresésre, különböző hatványokra emelésre, számtani átlag meghatározására , számtani progressziókra , egyenletek megoldására vonatkozó feladatok. első és másodfokú egy ismeretlennel [13] .

Egyáltalán nincs semmiféle magyarázat vagy bizonyíték. A kívánt eredményt vagy közvetlenül megadják, vagy megadják a kiszámításához egy rövid algoritmust .

Ez az ókori keleti országok tudományára jellemző előadásmód arra utal, hogy a matematika ott olyan induktív általánosítások és sejtések útján fejlődött, amelyek nem alkottak általános elméletet. Ennek ellenére számos bizonyíték található a papiruszban arra vonatkozóan, hogy az akkori ókori Egyiptomban a matematika elméleti jelleget öltött, vagy legalábbis kezdett elsajátítani. Tehát az egyiptomi matematikusok tudták, hogyan kell gyököket kinyerni és hatványra emelni, egyenleteket megoldani, ismerték az aritmetikai és geometriai progressziót , és még az algebra alapjait is birtokolták : az egyenletek megoldása során egy speciális hieroglifa „kupac” jelölte az ismeretlent.

A geometria területén az egyiptomiak pontos képleteket ismertek a téglalap , a háromszög és a trapéz területére . Egy tetszőleges a, b, c, d oldalú négyszög területét körülbelül a következőképpen számítottuk ki

Ez a durva képlet elfogadható pontosságot ad, ha az ábra közel van egy téglalaphoz. A kör területét a feltételezés alapján számítottuk ki

= 3,1605 (1%-nál kisebb hiba) [14] .

Az egyiptomiak pontos képleteket ismertek a paralelepipedon és a különböző hengeres testek, valamint a piramis és a csonka gúla térfogatára. Legyen egy szabályos csonka gúlánk az alsó alap oldala a , a felső b és a magassága h ; akkor a térfogatot az eredeti, de pontos képlet szerint számítottuk ki:

.

A matematika korábbi egyiptomi fejlődéséről nincs információ. Körülbelül később, egészen a hellenizmus koráig  - szintén. A Ptolemaiosok csatlakozása után az egyiptomi és a görög kultúrák rendkívül gyümölcsöző szintézise veszi kezdetét.

Babilon

A babilóniaiak ékírásos jelekkel írtak agyagtáblákra, amelyek a mai napig jelentős számban (több mint 500 ezer, ebből mintegy 400 a matematikához kötődnek) fennmaradtak. Ezért meglehetősen teljes képünk van a babiloni állam tudósainak matematikai eredményeiről . Megjegyzendő, hogy a babiloni kultúra gyökereit nagyrészt a suméroktól örökölték – az  ékírást, a számolási technikákat stb.

A babilóniai számítástechnika sokkal tökéletesebb volt, mint az egyiptomi , és a megoldandó feladatok köre is sokkal szélesebb volt. Másodfokú egyenletek, geometriai progressziók megoldására vannak feladatok . A megoldás során arányokat , számtani átlagokat és százalékokat használtunk. A progresszióval való munkavégzés módszerei mélyebbek voltak, mint az egyiptomioké . A lineáris és másodfokú egyenleteket már Hammurapi korában megoldották ; míg a geometriai terminológiát használták (az ab szorzatot területnek, az abc -t  térfogatnak nevezték stb.). A monomiális ikonok közül sok sumér volt, amiből következtetni lehet ezen algoritmusok ősiségére ; ezeket a jeleket az ismeretlenek betűjeleiként használták algebránkban. Léteznek köbös egyenletek és lineáris egyenletrendszerek is . A planimetria koronája a Pitagorasz-tétel volt , amelyet már Hammurapi korában ismertek.

A sumérok és babilóniaiak a 60-as helyzetszámrendszert használták, amelyet a kör 360°-ra, az órát 60 percre, a percet pedig 60 másodpercre való felosztásunkban örökítettünk meg . A szorzáshoz egy terjedelmes táblázatkészletet használtak. A négyzetgyökök kiszámításához a babiloniak iteratív eljárást találtak ki: az előzőből új közelítést kaptak a Newton-módszer képletével :

A geometriában ugyanazokat az alakzatokat vették figyelembe, mint Egyiptomban , plusz egy körszakaszt és egy csonka kúpot . A korai dokumentumok azt sugallják ; később a 25/8 = 3,125 közelítéssel találkozunk. A babilóniaiak tudták, hogyan kell kiszámítani a szabályos sokszögek területét ; Nyilvánvalóan ismerték a hasonlóság elvét. A szabálytalan négyszögek területén ugyanazt a hozzávetőleges képletet használták, mint Egyiptomban :

.

Mindazonáltal a babiloni matematika gazdag elméleti alapjainak nem volt holisztikus jellege, és különböző technikák halmazává redukálták, amelyek nélkülözték a bizonyítékokat. A matematika szisztematikus demonstratív megközelítése csak a görögöknél jelent meg .

Kína

Az ókori Kínában a számokat speciális hieroglifákkal jelölték , amelyek az ie 2. évezredben jelentek meg. e., és védjegyüket végül az ie III. e. Ezeket a hieroglifákat ma is használják. A kínai számírási mód eredetileg szorzós volt. Például az 1946-os szám bejegyzése, amely hieroglifák helyett római számokat használ, feltételesen 1M9S4X6-ként ábrázolható. A gyakorlatban azonban a számításokat számlálótáblán végezték, ahol a számok jelölése eltérő volt - helyzeti, mint Indiában, és a babilóniaiaktól eltérően decimális [15] .

A számításokat egy speciális suanpan számlálótáblán végezték (lásd a fotót), a használati elv szerint, hasonlóan az orosz számlákhoz . A nullát először üres hely jelezte, egy speciális hieroglifa a Kr.u. 12. század környékén jelent meg. e. A szorzótábla memorizálására volt egy speciális dal, amit a diákok megjegyeztek.

Az ókori Kína legjelentősebb matematikai munkája a Matematika kilenc könyvben .

A kínaiak sokat tudtak, többek között: minden alapvető aritmetikát (beleértve a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös megtalálását is ), a törtekkel, arányokkal, negatív számokkal végzett műveleteket, az alapfigurák és testek területeit és térfogatait, a Pitagorasz-tételt és a kiválasztási algoritmust. Pitagorasz hármasok , másodfokú egyenletek megoldása . Még egy fan-cheng módszert is kifejlesztettek tetszőleges számú lineáris egyenletrendszer megoldására - a klasszikus európai Gauss-módszer analógja . Bármilyen fokozatú egyenleteket numerikusan oldottak meg - a tian-jüan módszerrel, amely a Ruffini-Horner módszerre emlékeztet a polinom gyökereinek megtalálására.

Az ókori Görögország

A matematika a szó mai értelmében Görögországban született. Hellas korabeli országaiban a matematikát vagy a mindennapi szükségletek kielégítésére (számítások, mérések), vagy éppen ellenkezőleg, az istenek akaratának kiderítésére irányuló mágikus rituálékhoz használták ( asztrológia , numerológia stb.). Nem létezett matematikai elmélet a szó teljes értelmében, az ügy empirikus szabályok összességére korlátozódott, amelyek gyakran pontatlanok vagy akár tévesek is voltak.

A görögök más oldalról közelítették meg a dolgot.

Először is a Pythagorean School előterjesztette a „ Számok uralják a világot ” tézist [C 2] . Vagy ahogy ugyanez a gondolat két évezreddel később megfogalmazódott: " A természet a matematika nyelvén beszél hozzánk " ( Galileo ). Ez azt jelentette, hogy a matematika igazságai bizonyos értelemben a valódi lét igazságai.

Másodszor, a püthagoreusok teljes módszertant dolgoztak ki az ilyen igazságok felfedezésére. Először összeállítottak egy listát az elsődleges, intuitíven nyilvánvaló matematikai igazságokról ( axiómák , posztulátumok ). Aztán a logikai érvelés segítségével (amelynek szabályai is fokozatosan egységesültek) ezekből az igazságokból új állításokat vezettek le, amelyeknek szintén igazaknak kell lenniük. Így született meg a deduktív matematika.

A görögök számos területen tesztelték ennek a tételnek az érvényességét: csillagászatban , optikában , zenében , geometriában és később a mechanikában . Lenyűgöző sikereket figyeltek meg mindenhol: a matematikai modell tagadhatatlan előrejelző ereje volt.

A püthagoreusok azon kísérlete, hogy a világharmóniát egész számokra (és azok arányaira) alapozzák, az irracionális számok felfedezése után megkérdőjeleződött . A platóni iskola (Kr. e. 4. század) más, geometriai alapot választott a matematikához ( Knidusi Eudoxus ). Ezen az úton érték el az ókori matematika legnagyobb sikereit ( Eukleidész , Arkhimédész , Pergai Apollóniosz és mások).

A görög matematika elsősorban tartalmi gazdagságával nyűgöz le. A New Age sok tudósa megjegyezte, hogy felfedezéseik indítékait a régiektől tanulták. Az analízis kezdetei Arkhimédésznél, az algebra gyökerei Diophantosnál , az analitikus geometria Apollóniosznál stb. észrevehetők. De nem ez a lényeg. A görög matematika két eredménye messze túlélte alkotóit.

Először is, a görögök a matematikát holisztikus tudományként építették fel saját módszertanukkal, amely jól meghatározott logikai törvényeken alapult (garantálva a következtetések igazságát, feltéve, hogy a premisszák igazak).

Másodszor azt hirdették, hogy a természet törvényei az emberi elme számára érthetőek, és a matematikai modellek jelentik tudásuk kulcsát.

Ebben a két vonatkozásban az ókori görög matematika meglehetősen rokon a modernnel.

India

Az indiai számozás (a számírás egyik módja) eredetileg kifinomult volt. A szanszkrit nyelvben egészen a számok elnevezésére volt lehetőség . A számokhoz először a szír-föníciai rendszert használták, és a Kr. e. 6. századtól. e. - " brahmi " helyesírása, külön karakterekkel az 1-9 számokhoz. Némi változás után ezek az ikonok modern számokká váltak, amelyeket arabnak hívunk , és maguk az arabok - indiaiak .

Kr.u. 500 körül. e. a nagy indiai matematikus, számunkra ismeretlen, feltalált egy új számjelölési rendszert - a decimális pozíciórendszert . Ebben az aritmetikai műveletek elvégzése mérhetetlenül egyszerűbbnek bizonyult, mint a régieknél, ügyetlen betűkódokkal, mint a görögök , vagy hatszázalékos , mint a babilóniaiak . Később az indiánok a helyzetmegjelölésre adaptált számlálótáblákat használtak. Komplett algoritmusokat fejlesztettek ki minden aritmetikai művelethez, beleértve a négyzet- és kockagyökök kinyerését is.

Aryabhata kiváló indiai matematikus és csillagász munkái az 5-6. századra nyúlnak vissza . "Aryabhatiam" című munkájában számos megoldás található a számítási problémákra. Egy másik híres indiai matematikus és csillagász, Brahmagupta a 7. században dolgozott . Brahmaguptától kezdve az indiai matematikusok szabadon kezelik a negatív számokat, adósságként kezelve azokat.

A középkori indiai matematikusok a számelmélet és a numerikus módszerek területén érték el legnagyobb sikereiket . Az indiánok nagyon fejlettek az algebrában; szimbolikájuk gazdagabb, mint Diophantusé , bár kissé nehézkes (szavakkal zsúfolt). A geometria kisebb érdeklődést váltott ki az indiánok körében. A tételek bizonyítása egy rajzból és a "nézd" szóból állt. Valószínűleg a görögöktől örökölték a terület- és térfogatképleteket, valamint a trigonometriát .

Az iszlám országai

A keleti matematika a göröggel ellentétben mindig is gyakorlatiasabb volt. Ennek megfelelően a számítási és mérési szempontok voltak a legnagyobb jelentőségűek. A matematika fő alkalmazási területei a kereskedelem , építőipar , földrajz , csillagászat és asztrológia , mechanika , optika voltak .

A 9. században élt al-Khwarizmi , egy zoroasztriánus pap  fia , akit ezért al-Majusinak (a mágusnak) becéztek. Az indiai és görög ismeretek tanulmányozása után megírta az "Indiai számláról" című könyvet, amely hozzájárult a pozíciórendszer népszerűsítéséhez az egész kalifátusban, egészen Spanyolországig. A XII. században ezt a könyvet latinra fordították, szerzője nevében az " algoritmus " szavunk innen származik (első alkalommal Leibniz használta szoros értelemben ). Al-Khwarizmi egy másik munkája, " A rövid könyv al-Dzsabr és al-Mukabala kalkulusáról " nagy hatást gyakorolt ​​az európai tudományra, és egy másik modern " algebra " kifejezést eredményezett.

Az iszlám matematikusok nemcsak az algebrára, hanem a geometriára és a trigonometriára is nagy figyelmet fordítottak (főleg csillagászati ​​alkalmazásokhoz). Nasir al-Din al-Tusi ( 13. század ) és Al-Kashi ( 15. század ) kiemelkedő műveket publikált ezeken a területeken.

Összességében elmondható, hogy az iszlám országainak matematikusainak számos esetben sikerült a félig empirikus indiai fejleményeket magas elméleti szintre emelniük, és ezáltal hatalmukat kiterjeszteni. Bár az eset a legtöbb esetben erre a szintézisre korlátozódott. Sok matematikus volt a klasszikus módszerek mestere, de kevés új eredmény született.

Oroszország

1136 - ban Kirik novgorodi szerzetes matematikai és csillagászati ​​munkát írt a világ teremtésének dátumának részletes kiszámításával. Művének teljes címe a következő: „Kirika a novgorodi Antoniev-kolostor diakónusának és házigazdájának megtanítja őket, hogy mondják meg az embernek az összes év számát” [16] . A kronológiai számítások mellett Kirik példát hozott egy geometriai progresszióra , amely egy nap egyre kisebb törtekre való felosztásából fakad; Kirik megállt az egymilliomodiknál, és kijelentette, hogy "ilyenből több nem történik" [2] .

1701-ben császári rendelettel matematikai és navigációs iskolát hoztak létre a Szuharev-toronyban , ahol L. F. Magnyitszkij tanított . I. Péter megbízásából írt (egyházi szláv nyelven) egy ismert számtani tankönyvet ( 1703 ), később navigációs és logaritmikus táblázatokat adott ki. Magnyitszkij akkori tankönyve kivételesen megalapozott és informatív volt. A szerző gondosan kiválasztotta mindazt a legjobbat, ami az akkoriban létező tankönyvekben szerepelt, az anyagot áttekinthetően, számos példával és magyarázattal adta elő.

M. M. Szperanszkij reformjai erőteljes lendületet adtak az orosz tudomány fejlődésének . A 19. század elején létrehozták a Közoktatási Minisztériumot , oktatási körzetek jöttek létre, és elkezdtek gimnáziumok nyílni Oroszország minden nagyobb városában. Ugyanakkor a matematika kurzus tartalma meglehetősen kiterjedt volt - algebra, trigonometria, fizika alkalmazások stb.

A 19. században a fiatal orosz matematika már világszínvonalú tudósokat hozott előre.

Az első közülük Mihail Vasziljevics Osztrogradszkij volt . Mint a legtöbb orosz matematikus előtte, ő is elsősorban alkalmazott elemzési problémákat dolgozott ki . Munkája a hő terjedését, a hullámegyenletet , a rugalmasság elméletét , az elektromágnesességet kutatja . Számelméletet is tanult . Öt világakadémia akadémikusa. Fontos alkalmazott munkát végzett Viktor Jakovlevics Bunyakovszkij , rendkívül sokoldalú matematikus, feltaláló, a számelmélet és a valószínűségszámítás elismert szaktekintélye , A matematikai valószínűségelmélet alapjai című alapmű szerzője.

A matematika alapvető kérdéseivel Oroszországban a 19. század első felében csak Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij foglalkozott , aki szembeszállt az euklideszi tér dogmájával. Megépítette a Lobacsevszkij-geometriát , és mélyen feltárta szokatlan tulajdonságait. Lobacsevszkij annyira megelőzte korát, hogy csak sok évvel halála után ítélték meg érdemei szerint.

Sofia Kovalevskaya számos fontos általános felfedezést tett . Ő lett az első nő a világon és a történelemben, aki matematikaprofesszor lett. 1874-ben a Göttingeni Egyetemen megvédte „A differenciálegyenletek elméletéről” című disszertációját, és Ph.D fokozatot szerzett. 1881-ben a Moszkvai Matematikai Társaság Privatdozent tagjává választották. 1889-ben Sofia Kovalevskaya nagy díjat kapott a Párizsi Akadémiától egy nehéz aszimmetrikus felső forgatásával kapcsolatos kutatásáért [17] .

A 19. század második felében az orosz matematika általános alkalmazott torzítással is jó néhány alapvető eredményt publikált. Pafnuty Lvovich Chebisev , az univerzális matematikus számos felfedezést tett a matematika legkülönfélébb, egymástól távol eső területein - számelmélet, valószínűségszámítás, a függvények közelítésének elmélete. Andrej Andrejevics Markov a valószínűségszámítás terén végzett első osztályú munkájáról ismert, de más területeken is kiemelkedő eredményeket ért el - számelméletben és matematikai elemzésben. A 19. század végére két aktív hazai matematikai iskola alakult - Moszkva és Szentpétervár.

Nyugat-Európa

Középkor, 4-15. század

Az V. században eljött a Nyugat-Római Birodalom vége , és Nyugat-Európa területe sokáig a hódítókkal és rablókkal ( hunokkal , gótokkal , magyarokkal , arabokkal , normannokkal stb.) vívott, szakadatlan harcok terepévé változott. A tudomány fejlődése megállt. A matematika iránti igény a számtanra és az egyházi ünnepek naptárának kiszámítására korlátozódik, a számtan tanulmányozása pedig Geraz Nikomakhosz ősi tankönyve szerint történik Boethius latinra rövidített fordításában .

A kevés magasan képzett ember közül kiemelhető az ír Beda Tiszteletreméltó (a naptáron, a húsvétokon , a kronológián, az ujjakon számolás elméletén dolgozott) és Herbert szerzetes, aki 999 -től II. Szilveszter  pápa , a tudományok mecénása; több csillagászati ​​és matematikai mű szerzője nevéhez fűződik. Az angolszász költő és tudós, Alcuin (VIII. század) publikált egy népszerű matematikai feladatgyűjteményt.

Az európai kultúra stabilizálódása és helyreállítása a 11. században kezdődött . Megjelennek az első egyetemek ( Salerno , Bologna ). Bővül a matematika oktatása: a hagyományos quadriviumba a számtan, a geometria, a csillagászat és a zene is beletartozott.

Az európai tudósok első megismerkedése az ősi felfedezésekkel Spanyolországban történt. A 12. században itt fordították le a nagy görögök és iszlám tanítványaik fő műveit (görögről és arabról latinra) . A 14. század óta Bizánc a tudományos eszmecsere fő helyévé vált . Az Euklidész elemeit különösen szívesen fordították és publikálták ; fokozatosan benőtték a helyi geométerek megjegyzései. Az egyetlen viszonylag jelentős matematikus Bizánc teljes poszt-antik történetében Maximus Planud volt, Diophantus kommentátora és a decimális rendszer népszerűsítője .

A 12. század végén több szerzetesi iskola alapján megalakult a Párizsi Egyetem , ahol Európa szerte több ezer diák tanult; Nagy-Britanniában szinte egyidejűleg keletkezett Oxford és Cambridge . A tudomány iránti érdeklődés növekszik, ennek egyik megnyilvánulása a számrendszer változása. Európában sokáig római számokat használtak . A XII-XIII. században jelentek meg Európában a decimális helyzetjelölési rendszer első ismertetései (előbb al-Khwarizmi fordításai , majd saját kézikönyvei), és megkezdődött annak alkalmazása. A 14. századtól már a sírköveken is indo-arab számok kezdik felváltani a rómaiakat. Csak a csillagászatban használták sokáig a hatszoros babiloni aritmetikát.

A középkori Európa első jelentős matematikusa a 13. században Pisai Leonardo volt, akit Fibonacci becenéven ismertek . Fő műve: " The Book of the Abacus " ( 1202 , második javított kiadás - 1228 ). Abacus Leonardo aritmetikai számításoknak nevezte. Fibonacci jól ismerte (arab fordításokból) a régiek vívmányait, és ezek jelentős részét rendszerezte könyvében. Teljességében és mélységében bemutatott előadása azonnal magasabb lett minden ősi és iszlám prototípusnál, és sokáig felülmúlhatatlan volt. Ennek a könyvnek óriási hatása volt a matematikai ismeretek elterjedésére, az indiai számok és a decimális rendszer népszerűségére Európában.

Jordan Nemorarius "Aritmetika" és "Az adott számokról" című könyvében a szimbolikus algebra kezdetei láthatók, egyelőre nem különülnek el a geometriától [18] .

Robert Grosseteste és Roger Bacon ugyanakkor egy olyan kísérleti tudomány létrehozását szorgalmazta, amely képes lenne matematikai nyelven leírni a természeti jelenségeket [19] .

A 14. században szinte minden nagyobb országban megjelentek egyetemek ( Prága , Krakkó , Bécs , Heidelberg , Lipcse , Bázel stb.).

Az Oxford Merton College filozófusai, akik a 14. században éltek, és az úgynevezett oxfordi számológépek csoportjába tartoztak , kidolgozták a tulajdonságok megerősítésének és gyengítésének logikai-matematikai tanát. Ugyanennek a tannak egy másik változatát Nicholas Oresme dolgozta ki a Sorbonne-on . Bevezette a függőség képét gráf segítségével, a sorozatok konvergenciáját vizsgálta . [20] Az algebrai munkákban törtkitevőket vett figyelembe .

A 15. század kiemelkedő német matematikusa és csillagásza , Johann Müller Regiomontanus néven  , szülővárosának, Königsbergnek latinosított neve alatt vált széles körben ismertté [C 3] . Megjelent az első kifejezetten a trigonometriának szentelt munkát Európában . Az arab forrásokhoz képest kevés az újdonság, de külön kiemelendő a szisztematikus és teljes bemutatás.

Luca Pacioli , a 15. század legfontosabb algebraistája, Leonardo da Vinci barátja világos (bár nem túl kényelmes) vázlatot adott az algebrai szimbolizmusról.

16. század

A 16. század fordulópont volt az európai matematikában. Miután teljesen magába olvasztotta elődei vívmányait, számos erőteljes rántással messze előretört [21] .

Az első jelentős eredmény egy általános módszer felfedezése volt a harmadik és negyedik fokú egyenletek megoldására. Del Ferro , Tartaglia és Ferrari olasz matematikusok olyan problémát oldottak meg, amelyet a világ legjobb matematikusai évszázadokig nem tudtak megoldani [22] . Ugyanakkor azt találták, hogy a negatív számokból származó "lehetetlen" gyökök néha megjelentek a megoldásban . A helyzet elemzése után az európai matematikusok ezeket a gyököket " képzetes számoknak " nevezték, és kezelési szabályokat dolgoztak ki, amelyek a helyes eredményhez vezettek. Így léptek be először a komplex számok a matematikába .

1585- ben a flamand Simon Stevin kiadja a " Tizedik " című könyvet a tizedes törtekkel való cselekvés szabályairól, amely után a tizedes rendszer nyeri el a végső győzelmet a törtszámok terén. A decimális elválasztót még nem találták fel, és az érthetőség kedvéért Stevin minden számjegy fölé (vagy utána) jelezte a körbe zárt számjegyet, amely pozitív az egész részre, negatív a mantisszára. A vessző használatával törtíráskor először 1592-ben találkoztak. Stevin a racionális és irracionális számok , valamint (bizonyos fenntartásokkal) és negatív számok teljes egyenlőségét is hirdette [23] .

A legfontosabb lépést az új matematika felé a francia François Viet tette meg . Az 1591-ben megjelent Bevezetés az elemző művészetbe című művében végül megfogalmazta az aritmetikai, szó szerinti algebra szimbolikus metanyelvét [24] . Megjelenésével megnyílt a lehetőség soha nem látott mélységű és általánosságban álló kutatások lefolytatására. Ebben a könyvben Vieta példákat mutatott be az új módszer erejére a híres Vieta formulák megtalálásával . Vieta szimbolikája még nem hasonlított a ma elfogadotthoz, modern változatát később Descartes javasolta [25] .

Ezzel párhuzamosan a matematika presztízse növekszik, és rengeteg megoldandó gyakorlati probléma jelenik meg - a tüzérség, a hajózás, az építőipar, az ipar, a hidraulika, a csillagászat, a térképészet, az optika stb. a tudósok nem riadtak vissza az ilyen feladatoktól. Valójában nem voltak tisztán elméleti matematikusok. Megjelennek az első Tudományos Akadémiák. A 16-17. században az egyetemi tudomány szerepe lecsökkent, sok nem hivatásos tudós jelent meg: Stevin hadmérnök, Viet és Fermat  ügyvédek, Desargues és Ren  építészek, Leibniz  tisztviselő, Napier, Descartes, Pascal .  magánszemélyek voltak [26] .

17. század

A 17. században a matematika rohamos fejlődése tovább folytatódott, és a század végére a tudomány arca gyökeresen megváltozott.

A 17. század első nagy felfedezése a logaritmusok feltalálása volt . 1614-ben John Napier skót amatőr matematikus latin nyelvű esszét adott ki "A logaritmusok csodálatos táblázatának leírása" (lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio) címmel. Tartalmazta a logaritmusok és tulajdonságaik rövid leírását, valamint a szinuszok, koszinuszok és érintők logaritmusainak 8 számjegyű táblázatait, 1' lépéssel. A Napier által javasolt logaritmus kifejezés meghonosodott a tudományban. Napier a logaritmuselméletet vázolta másik könyvében, a „Csodálatos logaritmustáblázat felépítése” (lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio) című könyvében, amelyet fia, Robert posztumusz adott ki 1619-ben. Az összetett számításokat sokszor leegyszerűsítették, és a matematika új, nem klasszikus függvényt kapott, sokféle alkalmazással.

Rene Descartes a „ Geometria ” című értekezésében (1637) kijavította az ókori matematikusok stratégiai hibáját, és helyreállította a szám algebrai megértését (a geometria helyett) [27] . Sőt, megjelölt egy módot a geometriai állítások algebrai nyelvre történő lefordítására ( koordinátarendszer segítségével ), ami után a tanulmányozás sokkal könnyebbé és hatékonyabbá válik. Így született meg az analitikus geometria . Descartes számos olyan példát vett figyelembe, amelyek az új módszer nagy erejét illusztrálják, és sok olyan eredményt ért el, amelyet a régiek nem ismertek. Különösen figyelemre méltó az általa kifejlesztett matematikai szimbolika , amely közel áll a modernhez.

Descartes analitikai módszerét Wallis , Fermat és sok más kiemelkedő matematikus azonnal átvette [28] .

Pierre Fermat, Huygens és Jacob Bernoulli megalkotta a matematikának egy új ágát, amely nagy jövő elé állított – a valószínűségelméletet . Jacob Bernoulli megfogalmazta a nagy számok törvényének első változatát [29] .

És végül megjelent egy nem túl világos, de mély ötlet - tetszőleges sima görbék elemzése azáltal, hogy azokat egyenes vonalak végtelenül kicsi szegmenseire bontja. Ennek az elképzelésnek az első megvalósítása az oszthatatlanok nagyrészt tökéletlen módszere volt ( Kepler [30] , Cavalieri [31] , Fermat [32] ), és már sok új felfedezés született a segítségével. A 17. század végén Newton [33] és Leibniz [34] jelentősen kibővítette az oszthatatlanok gondolatát , és megjelent egy rendkívül hatékony kutatási eszköz - a matematikai elemzés . Ez a matematikai irány lett a fő irányvonal a következő, XVIII. században .

A negatív számok elmélete még gyerekcipőben járt. Például egy furcsa arányt aktívan tárgyaltak  - ebben a bal oldali első tag nagyobb, mint a második, a jobb oldalon pedig fordítva, és kiderül, hogy a nagyobb egyenlő a kisebbel (" Arnaud paradoxon ") [35] .

A komplex számokat fiktívnek tekintették, a kezelésük szabályait végül nem dolgozták ki. Sőt, az sem volt világos, hogy minden „ képzetes szám ” felírható-e a + bi alakban, vagy mondjuk egy gyök kivonásakor olyan képzetek jelenhetnek meg, amelyeket nem lehet erre a formára redukálni (még Leibniz is így gondolta). Csupán a 18. században állapította meg d'Alembert és Euler , hogy a komplex számok minden művelet alatt zártak, beleértve bármely fok gyökének felvételét is.

A 17. század második felében olyan tudományos folyóiratok jelentek meg, amelyek még nem specializálódtak a tudománytípusokra. London és Párizs lerakta az alapot, de különösen fontos szerepet játszott az Acta Eruditorum folyóirat ( 1682 , Lipcse , latinul). A Francia Tudományos Akadémia 1699 óta adja ki Emlékiratait . Ezeket a folyóiratokat ritkán adták ki, és a levelezés továbbra is az információterjesztés nélkülözhetetlen eszköze volt.

18. század

A 18. század a matematikában röviden az elemzés évszázadaként jellemezhető , amely a matematikusok erőfeszítéseinek fő tárgyává vált. Hozzájárulva a természettudományok rohamos fejlődéséhez, az elemzés maga is előrehaladt, egyre összetettebb feladatokat kapott tőlük. Ennek az eszmecserének a metszéspontjában született meg a matematikai fizika .

Az infinitezimális módszer rossz érvényessége miatti kritika gyorsan elhallgatott az új megközelítés diadalmas sikereinek nyomása alatt. A tudományban Newtonnak köszönhetően a mechanika uralkodott  - minden más kölcsönhatást másodlagosnak, a mechanikai folyamatok következményeinek tekintettek. Az elemzés és a mechanika fejlődése szoros összefonódásban ment végbe; Euler volt az első, aki ezt az egyesítést hajtotta végre , aki eltávolította az archaikus konstrukciókat a newtoni mechanikából , és analitikai alapokat adott a dinamikának ( 1736 ). Azóta a mechanika az elemzés alkalmazott ágává vált. A folyamatot Lagrange fejezte be , akinek az "Analytical Mechanics" [36] demonstratív módon egyetlen rajzot sem tartalmaz. Ezzel egy időben az elemzés algebraivá vált, és végül (Eulertől kezdve) elvált a geometriától és a mechanikától.

A természet megismerésének fő módszere a differenciálegyenletek összeállítása és megoldása . Egy pont dinamikája után egy merev test dinamikáján volt a sor, majd a folyadéké és a gázé. Ezen a területen az előrehaladást nagymértékben elősegítette a húrral kapcsolatos vita , amelyben Európa vezető matematikusai is részt vettek.

Newton gravitációs elmélete kezdetben nehézségekbe ütközött a Hold mozgásának leírása során , de Clairaut , Euler és Laplace [37] munkái egyértelműen kimutatták, hogy az égi mechanikában nincsenek további erők Newtonon kívül .

Az elemzés egy összetett területre terjed ki. A legtöbb függvény analitikus folytatása nem okozott problémát, a standard függvények között váratlan kapcsolatokat találtak ( Euler-képlet ) [38] . Az összetett logaritmusnál nehézségekbe ütköztek , de Euler sikeresen leküzdötte azokat. Bevezettük a konformális leképezéseket , és felvettük az analitikus folytatás egyediségére vonatkozó sejtést. Az összetett függvények még az alkalmazott tudományokban is alkalmazásra találtak – a hidrodinamika, az oszcillációelmélet (D'Alembert, Euler).

Az integráció elmélete és technikája messzire fejlődött . A több integrált (Euler, Lagrange) széles körben használják, és nem csak derékszögű koordinátákban. Felületi integrálok is megjelennek (Lagrange, Gauss ). A differenciálegyenletek elmélete, mind a közönséges, mind a részleges, intenzív fejlesztés alatt áll. A matematikusok kivételes találékonyságot mutatnak a parciális differenciálegyenletek megoldásában, saját módszereiket találják ki az egyes problémák megoldására. Kialakult a határérték-probléma fogalma , és felmerültek az első megoldási módszerek.

A 18. század végén lefektették a potenciál általános elméletének kezdetét (Lagrange, Laplace, Legendre). A gravitációra a potenciált Lagrange vezette be ( 1773 , a kifejezést Green javasolta 1828 -ban ). Hamarosan Laplace felfedezte a kapcsolatot a potenciál és a Laplace-egyenlet között, és bevezette az ortogonális gömbfüggvények fontos osztályát .

Egy ígéretes variációs számítás és a fizika variációs elvei merülnek fel (Euler, Lagrange).

A 18. században a matematikusok vezetője Euler volt, akinek kivételes tehetsége rányomta bélyegét a század összes jelentősebb matematikai vívmányára [39] . Ő tette az elemzést tökéletes kutatási eszközzé. Euler jelentősen gazdagította a függvények körét , fejlesztette az integrációs technikát, és a matematika szinte minden területét továbbfejlesztette. Maupertuis - szal együtt ő fogalmazta meg a legkisebb cselekvés elvét, mint a természet legmagasabb és egyetemes törvényét.

A számelméletben a képzeletbeli számokat végül legalizálják, bár a teljes elméletük még nem született meg. Az algebra alaptétele bizonyítva (még nem teljesen szigorúan) . Euler kidolgozta az egész számok oszthatóságának elméletét és az összehasonlítások (maradékok) elméletét, amelyet Gauss tett ki. Euler bevezette a primitív gyök fogalmát , bebizonyította létezését bármely prímszámra , és megtalálta a primitív gyökök számát, felfedezte a reciprocitás másodfokú törvényét . Ő és Lagrange publikálták a folytonos törtek általános elméletét , és segítségükkel számos problémát megoldottak a diofantin elemzésben. Euler azt is megállapította, hogy az analitikai módszerek számos számelméleti problémára alkalmazhatók .

A lineáris algebra gyorsan fejlődik . A lineáris rendszerek általános megoldásának első részletes leírását 1750-ben Gabriel Cramer adta . A modernhez közel álló szimbolizmust és a meghatározó tényezők mélyreható elemzését Alexander Theophilus Vandermonde (1735-1796) adta . Laplace 1772 -ben a kiskorúak determinánsának kiterjesztését adta . A determinánsok elmélete gyorsan sok alkalmazást talált a csillagászatban és a mechanikában (világi egyenlet), az algebrai rendszerek megoldásában, a formák tanulmányozásában stb.

Új ötletek születnek az algebrában, amelyek már a 19. században csúcsosodnak ki a Galois -elméletben és az absztrakt struktúrákban. Lagrange az ötödik és magasabb fokú egyenletek tanulmányozása során közel áll a Galois-elmélethez ( 1770 ), miután rájött, hogy "az egyenletek igazi metafizikája a helyettesítések elmélete ".

Új szakaszok jelennek meg a geometriában: görbék és felületek differenciálgeometriája , leíró geometria ( Monge ), projektív geometria ( Lazar Carnot ).

A valószínűségelmélet megszűnik egzotikus lenni, és bebizonyítja hasznosságát az emberi tevékenység legváratlanabb területein. De Moivre és Daniel Bernoulli felfedezik a normális eloszlást . Megjelenik a valószínűségi hibaelmélet és a tudományos statisztika. A valószínűségszámítás fejlődésének klasszikus szakaszát Laplace munkái zárták be [40] . Azonban a fizikára való alkalmazása akkoriban szinte hiányzott (nem számítva a hibaelméletet).

A többnyire állami tulajdonú Tudományos Akadémiák a matematikai kutatás központjaivá váltak. Az egyetemek jelentősége csekély (kivéve azokat az országokat, ahol még nincs akadémia), hiányoznak még a fizika és a matematika tanszékek. A főszerepet a Párizsi Akadémia játssza . Az angol iskola Newton után elválik, és egy egész évszázadra lerontja a tudományos szintet; a 18. századi Angliában a kiemelkedő matematikusok száma kicsi - de Moivre (francia hugenotta emigráns), Coates , Taylor , Maclaurin , Stirling .

A matematikusokból profik lesznek, az amatőrök szinte eltűnnek a színről.

A 18. század végén megjelentek a matematikai szakfolyóiratok, megnőtt a tudománytörténet iránti érdeklődés. Megjelenik Montucla kétkötetes Matematikatörténete ( posztumusz újranyomva és 4 kötetre bővítve). Bővül a népszerű tudományos irodalom kiadása.

19. század

A matematika természettudományi felhasználásának vitathatatlan hatékonysága arra késztette a tudósokat, hogy azt gondolják, hogy a matematika, úgymond, beépült az univerzumba, annak ideális alapja. Más szóval, a matematikai tudás a való világ tudásának része. Sok 17-18. századi tudós nem kételkedett ebben. Ám a 19. században a matematika evolúciós fejlődése megszakadt, és ez a látszólag megingathatatlan tézis megkérdőjeleződött.

Általánosságban elmondható, hogy a 19. században érezhetően nőtt a matematika természettudományi és közgazdasági szerepe, presztízse, és ennek megfelelően nőtt az állami támogatottsága is. A matematika ismét túlnyomórészt egyetemi tudomány lesz. Megjelennek az első matematikai társaságok: londoni , amerikai , francia , moszkvai , valamint palermói és edinburghi társaságok .

Röviden tekintsük át a matematika főbb területeinek fejlődését a XIX.

Geometria

Ha a 18. század az elemzés évszázada volt, akkor a 19. század par excellence a geometria évszázada . A 18. század végén megalkotott leíró geometria ( Monge [42] , Lambert ) és az újjáéledő projektív geometria (Monge, Poncelet , Lazare Carnot ) gyorsan fejlődött . Új szakaszok jelennek meg: vektorszámítás és vektoranalízis , Lobacsevszkij-geometria , többdimenziós Riemann-geometria , transzformációs csoportelmélet . A geometria intenzív algebraizálása megy végbe - a csoportelmélet módszerei behatolnak abba, és megjelenik az algebrai geometria . A század végén létrehozták a "minőségi geometriát" - a topológiát .

A differenciálgeometria erőteljes lendületet kapott Gauss "General Investigations on Curved Surfaces" ( 1822 ) című, rendkívül informatív munkájának [43] publikálása után, ahol a metrika ( az első másodfokú forma ) és a hozzá tartozó felület belső geometriája először került kifejtésre . meghatározott . A kutatást a párizsi iskola folytatta. 1847- ben Frenet és Serret közzétették Frenet híres képleteit a görbe differenciális attribútumaira [44] .

A legnagyobb eredmény a vektor és a vektormező fogalmának bevezetése volt . Kezdetben a vektorokat W. Hamilton vezette be kvaternióikkal kapcsolatban (mint azok háromdimenziós képzeletbeli része). Hamiltonnak már megvolt a pont és kereszt szorzata . Ezenkívül Hamilton bevezette a differenciáloperátort (" nabla ") és a vektoranalízis sok más fogalmát, beleértve a vektorfüggvény és a tenzorszorzat meghatározását .

A Maxwell korai írásaiban használt vektorszimbolika tömörsége és változatlansága felkeltette a fizikusok érdeklődését; Hamarosan megjelent Gibbs Elements of Vector Analysis (1880-as évek), majd Heaviside ( 1903 ) modern megjelenést kölcsönzött a vektorszámításnak.

A projektív geometria másfél évszázados feledés után ismét felkeltette a figyelmet - először Monge, majd tanítványai - Poncelet és Lazar Carnot. Carnot megfogalmazta a "folytonosság elvét", amely lehetővé teszi az eredeti figura egyes tulajdonságainak azonnali kiterjesztését a belőle folyamatos transzformációval kapott figurákra (1801-1806). Valamivel később Poncelet egyértelműen meghatározta a projektív geometriát az ábrák projektív tulajdonságainak tudományaként, és szisztematikus kifejtését adta annak tartalmáról ( 1815 ). A Ponceletben a végtelenül távoli pontok (még a képzeletbeliek is) már teljesen legalizáltak. Megfogalmazta a dualitás elvét (egyenesek és pontok a síkon).

Az 1820-as évek vége óta Németországban kialakult a projektív geometriák iskolája ( Möbius , Plücker , Hesse , Steiner és mások). Angliában Cayley számos művet adott ki . Ezzel egy időben elkezdték alkalmazni az analitikai módszereket, különösen azután, hogy Möbius felfedezte a homogén projektív koordinátákat , beleértve a végtelenben lévő pontot is. Franciaországban Poncelet munkáját Michel Chall folytatta .

Riemann híres beszéde ( 1854 ) "A geometria alapjául szolgáló hipotézisekről" [45] nagy hatással volt a matematika fejlődésére . Riemann az n-dimenziós sokaság általános fogalmát és metrikáját egy tetszőleges pozitív határozott másodfokú formaként határozta meg . Riemann tovább általánosította a Gauss-felületek elméletét a többdimenziós esetre; ebben az esetben megjelenik a híres Riemann görbülettenzor és a Riemann geometria egyéb fogalmai. A nem euklideszi metrika létezése Riemann szerint vagy a tér diszkrétségével, vagy valamilyen fizikai kapcsolódási erővel magyarázható. A század végén G. Ricci befejezi a klasszikus tenzorelemzést .

A 19. század második felében Lobacsevszkij geometriája végre felkeltette az általános figyelmet. Az a tény, hogy még a klasszikus geometriának is van alternatívája, hatalmas benyomást tett az egész tudományos világra. Emellett ösztönözte a matematikában és a fizikában kialakult számos sztereotípia újraértékelését.

A geometria fejlődésének másik fordulópontja 1872 -ben következett be , amikor Felix Klein bemutatta " Erlangen Programját ". A geometriai tudományokat az alkalmazott transzformációk csoportja szerint osztályozta – forgatások, affin, projektív, általános folytonos stb. A geometria minden ága a megfelelő transzformációcsoport invariánsait vizsgálja . Klein az izomorfizmus (strukturális identitás) legfontosabb fogalmát is tekintette , amelyet „transzfernek” nevezett. Így a geometria algebrazásának új szakasza, Descartes után a második körvonalazódott .

1872-1875 között Camille Jordan publikált egy sor tanulmányt az n-dimenziós tér (görbék és felületek) analitikus geometriájáról, és a század végén általános mértékelméletet javasolt .

A század legvégén megszületett a topológia , először analízis situs néven . A topológiai módszereket Euler, Gauss, Riemann, Jordan és mások számos írásában alkalmazták Felix Klein Erlangen-programjában meglehetősen világosan írja le az új tudomány tárgyát. A kombinatorikus topológia végül Poincaré (1895-1902) munkáiban öltött testet.

Matematikai elemzés

Az elemzés a 19. században egy gyors, de békés evolúció során fejlődött ki.

A legjelentősebb változás az elemzés alapjainak megteremtése volt ( Cauchy , majd Weierstrass ). Cauchynak [46] köszönhetően a tényleges infinitezimális misztikus fogalma eltűnt a matematikából (bár a fizikában még mindig használják). A megkérdőjelezhető akciók eltérő sorozatokkal szintén a tudományon kívülre kerültek. Cauchy a newtoni felfogáshoz közel álló határelméletre építette az elemzés alapjait, és megközelítése általánosan elfogadottá vált; az elemzés kevésbé algebrai, de megbízhatóbb lett. Ennek ellenére Weierstrass tisztázása előtt számos előítélet élt: például Cauchy úgy vélte, hogy a folytonos függvény mindig differenciálható, és a folytonos függvények sorozatának összege folytonos.

A komplex változók analitikus függvényeinek elmélete a legszélesebb körben fejlődött, amelyen Laplace , Cauchy, Abel , Liouville , Jacobi , Weierstrass és mások dolgoztak. A speciális funkciók, különösen az összetett funkciók osztálya jelentősen bővült. A fő erőfeszítések az Abeli-függvények elméletére irányultak, amely nem igazolta teljes mértékben a hozzájuk fűzött reményeket, de ennek ellenére hozzájárult az elemzési eszközök gazdagodásához, általánosabb elméletek megalkotásához a 20. században.

Számos alkalmazott probléma aktívan ösztönözte a differenciálegyenletek elméletét , amely hatalmas és gyümölcsöző matematikai tudományággá nőtte ki magát. Részletesen megvizsgáljuk a matematikai fizika alapegyenleteit, bizonyítjuk a megoldásokra vonatkozó létezési tételeket, és megalkotjuk a differenciálegyenletek kvalitatív elméletét ( Poincaré ).

A század végére bekövetkezik az analízis némi geometrizációja - megjelenik a vektoranalízis , a tenzoranalízis , a végtelen dimenziós függvénytereket tanulmányozzák (lásd Banach tér , Hilbert tér ). A differenciálegyenletek kompakt invariáns jelölése sokkal kényelmesebb és áttekinthetőbb, mint a nehézkes koordinátajelölés.

Algebra és számelmélet

Euler analitikai módszerei számos nehéz számelméleti probléma megoldásában segítettek ( Gauss [47] , Dirichlet és mások). Gauss megadta az algebra alaptételének első hibátlan bizonyítékát . Joseph Liouville bebizonyította a végtelen számú transzcendentális szám létezését ( 1844 , további részletek 1851 -ben ), kellő jelet adott a transzcendenciának, és példákat konstruált az ilyen számokra egy sorozat összegeként. 1873- ban Charles Hermite bizonyítékot adott ki az e Euler-szám transzcendenciájára , 1882 -ben pedig Lindemann hasonló módszert alkalmazott a számra .

W. Hamilton felfedezte a kvaterniók csodálatos, nem kommutatív világát .

Megjelent egy geometriai számelmélet ( Minkowski ) [ 48] .

Evariste Galois , korát megelőzve, tetszőleges fokozatú egyenletek megoldásának mélyreható elemzését mutatja be [49] . A tanulmány kulcsfogalmai a permutációs csoport algebrai tulajdonságai és az egyenlethez tartozó kiterjesztési mezők . Galois befejezte Ábel munkáját , aki bebizonyította, hogy a 4. fokozatnál nagyobb egyenletek gyökökben megoldhatatlanok .

Ahogy Galois gondolatai asszimilálódtak, a század második felétől az általános algebra gyorsan fejlődött . Joseph Liouville publikálja és kommentálja Galois munkáját. Az 1850-es években Cayley bevezette az absztrakt csoport fogalmát . A "csoport" kifejezés általánosan elfogadottá válik, és behatol a matematika szinte minden területére, a 20. században pedig a fizikába és a kristálytanba.

A lineáris tér fogalma formálódik ( Grassmann és Cayley , 1843-1844 ) . 1858- ban Cayley kiadta a mátrixok általános elméletét , műveleteket definiált rajtuk, és bevezette a karakterisztikus polinom fogalmát . 1870 - re a lineáris algebra összes alaptétele bizonyítást nyert , beleértve a redukciót Jordan normál alakra .

1871 - ben Dedekind bemutatja a gyűrű , modul és ideál fogalmát . Ő és Kronecker megalkotják az oszthatóság általános elméletét .

A 19. század végén a hazugságcsoportok belépnek a matematikába .

Valószínűségszámítás

A hibák elmélete, a statisztika és a fizikai alkalmazások az első helyen állnak. Ezt Gauss , Poisson , Cauchy végezte . A normális eloszlás , mint korlátozó eloszlás fontossága számos valós helyzetben feltárult.

Minden fejlett országban vannak statisztikai osztályok/társaságok. Karl Pearson munkájának köszönhetően hipotézisvizsgálattal és paraméterbecsléssel matematikai statisztikák születnek .

Ennek ellenére a valószínűségszámítás matematikai alapjait a 19. században még nem teremtették meg, és Hilbert a 20. század elején ezt a tudományágat az alkalmazott fizikának tulajdonította [50] .

Matematikai logika

Leibniz "Universal Characterization" projektjének kudarca után másfél évszázad telt el, mire megismétlődött a logikai algebra létrehozására tett kísérlet. De új alapon megismétlődött: az igazsághalmaz fogalma lehetővé tette a matematikai logika mint osztályelmélet felépítését, halmazelméleti műveletekkel. Az úttörők Augustus (Augustus) de Morgan és George Boole brit matematikusok voltak .

A "Formális logika" című művében ( 1847 ) de Morgan leírta az univerzum fogalmát és a logikai operátorok szimbólumait, leírta a jól ismert " de Morgan törvényeit ". Később bevezette a matematikai reláció általános fogalmát és a relációkra vonatkozó műveleteket.

George Boole önállóan kidolgozta az elmélet saját, sikeresebb változatát. 1847-1854 közötti munkáiban lefektette a modern matematikai logika alapjait, és leírta a logika algebráját ( Boole-algebra ). Megjelentek az első logikai egyenletek, bevezették az alkotóelemek (egy logikai képlet dekompozíciói) fogalmát.

William Stanley Jevons folytatta Boole rendszerét, sőt felépített egy „logikai gépet”, amely képes megoldani a logikai problémákat [51] . Ernest Schroeder 1877- ben megfogalmazta a kettősség logikai elvét. Ezután Gottlob Frege készített egy propozíciós kalkulust . Charles Peirce a 19. század végén felvázolta a kapcsolatok és a propozíciós függvények általános elméletét , és bevezette a kvantorokat is . A szimbolika modern változatát Peano javasolta . Ezt követően Hilbert iskolájában minden készen állt a bizonyításelmélet fejlesztésére .

A matematika indoklása

A 19. század elejére már csak az euklideszi geometriának volt viszonylag szigorú logikai (deduktív) indoklása, bár szigorúságát már akkor is joggal tartották elégtelennek. Az új objektumok tulajdonságait (például komplex számok , infinitezimális számok stb.) egyszerűen úgy tekintették, hogy nagyjából megegyeznek a már ismert objektumok tulajdonságaival; Ha egy ilyen extrapoláció lehetetlen volt, a tulajdonságokat empirikusan választottuk ki.

A matematika alapjainak felépítése az elemzéssel kezdődött. 1821- ben Cauchy kiadta az Algebrai Analízist, ahol egyértelműen meghatározta az alapfogalmakat a határ fogalma alapján. Ennek ellenére számos hibát követett el, például a sorozatokat tagonként integrálta és differenciálta, anélkül, hogy bizonyította volna az ilyen műveletek megengedhetőségét. Az elemzés megalapozását Weierstrass tette teljessé, aki tisztázta az egységes kontinuitás fontos fogalmának szerepét . Ezzel egyidejűleg Weierstrass (1860-as évek) és Dedekind (1870-es évek) a valós számok elméletének magyarázatát adta .

1837 : William Hamilton megépíti a komplex számok modelljét valós párokként.

Az 1870 -es években legalizálták a nem euklideszi geometriákat . Az euklideszi téren alapuló modelljeik ugyanolyan konzisztensnek bizonyultak, mint Euklidész geometriája.

1879 : Frege közzéteszi a matematikai logika axiómarendszerét .

1888 : Dedekind egy axiómarendszer vázlatát javasolja a természetes számok számára. Egy évvel később Peano egy teljes axiómarendszert javasolt .

1899 : Megjelenik Hilbert A geometria alapjai című könyve .

Ennek eredményeként a század végére szinte minden matematika szigorú axiomatika alapján épült fel. A matematika fő ágainak (az aritmetika kivételével) konzisztenciája szigorúan bizonyított (pontosabban az aritmetika konzisztenciájára redukálva). A valószínűségszámítás és a halmazelmélet axiomatikus megalapozása később, a XX. században jelent meg.

Halmazelmélet és antinómiák

1873- ban Georg Cantor bevezette a tetszőleges számhalmaz fogalmát, majd a halmaz általános fogalmát  , a matematika legelvontabb fogalmát. Egy az egyhez leképezések segítségével bevezette a halmazok ekvivalenciájának fogalmát , majd meghatározta a több-kevesebb kardinalitások összehasonlítását , végül a halmazokat számosságuk szerint osztályozta: véges, megszámlálható , folytonos stb.

Kantor a hatványok hierarchiáját az egész számok ( transzfinit számok ) hierarchiájának (sorrendjének) folytatásának tekintette . Így a tényleges végtelent bevezették a matematikába, ezt a  fogalmat a korábbi matematikusok óvatosan kerülték.

Eleinte a halmazelméletet sok matematikus jóindulatú fogadtatásban részesítette. Segített a jordán mértékelmélet általánosításában , sikeresen alkalmazták a Lebesgue-integrál elméletében , és sokak szerint az összes matematika jövőbeli axiomatikájának alapja. A későbbi események azonban azt mutatták, hogy a szokásos logika nem alkalmas a végtelenség tanulmányozására, és az intuíció nem mindig segít a helyes választásban.

Az első ellentmondás a legnagyobb halmaz, az összes halmaz halmazának figyelembevételekor derült ki ( 1895 ). Ki kellett zárni a matematikából, mint elfogadhatatlan. Megjelentek azonban más ellentmondások (antinómiák) is.

Henri Poincare , aki eleinte elfogadta a halmazelméletet, sőt kutatásai során felhasználta, később határozottan elutasította, és "a matematika súlyos betegségének" nevezte. A matematikusok egy másik csoportja azonban, köztük Bertrand Russell , Hilbert és Hadamard , felállt a "kantorizmus" védelmében [52] .

A helyzetet súlyosbította a „ választás axiómájának ” ( 1904 , Zermelo ) felfedezése, amelyet, mint kiderült, öntudatlanul is alkalmaztak számos matematikai bizonyításban (például a valós számok elméletében). Ez az axióma egy halmaz létezését nyilvánítja ki, amelynek összetétele ismeretlen, és számos matematikus ezt a körülményt teljesen elfogadhatatlannak tartotta, különösen azért, mert a választási axióma egyes következményei ellentmondtak az intuíciónak ( a Banach-Tarski paradoxon stb.).

A 20. század elején sikerült megállapodni a halmazelmélet egy korábban felfedezett ellentmondásoktól mentes változatában ( osztályelmélet ), így a legtöbb matematikus elfogadta a halmazelméletet. A matematika egykori egysége azonban megszűnt, egyes tudományos iskolák alternatív nézeteket kezdtek kialakítani a matematika igazolásáról [53] .

20. század

A matematika szakma presztízse a XX. században érezhetően megnőtt. A matematika exponenciálisan fejlődött, és lehetetlen teljes mértékben felsorolni a felfedezéseket, de a legjelentősebb eredmények közül néhányat az alábbiakban említünk.

Új irányok

A 20. században a matematika arca jelentősen megváltozott [54] .

  1. Mind a matematika tantárgy, mind alkalmazási köre jelentősen bővült. Új szakaszok jelentek meg, váratlan kapcsolatokat fedeztek fel a szakaszok között (például a számelmélet és a valószínűségszámítás között [55] ).
  2. Új általánosító fogalmak jelentek meg, a matematika az absztrakció magasabb szintjére emelkedett, és ebből a magasságból világosabbá válik a matematikai tudomány egysége. Ebben különös szerepe volt a matematika szinte valamennyi szakaszának alapjainak halmazelméleti alapokra fordításának. A geometria már a legelvontabb tereket veszi figyelembe, az algebra elvonatkoztatott a numerikus aritmetikától, és a legszokatlanabb tulajdonságokkal rendelkező műveleteket teszi lehetővé.
  3. Mély elemzés készült a matematika alapjairól és a matematikai logika lehetőségeiről a matematikai állítások bizonyítása kapcsán.

1900- ban David Hilbert 23 megoldatlan matematikai problémát tartalmazó listát mutatott be a Második Nemzetközi Matematikus Kongresszuson . Ezek a problémák a matematika számos területére kiterjedtek, és a 20. századi matematikusok erőfeszítéseinek középpontjába kerültek. Mára a listán szereplő tíz kérdés megoldódott, hét részben megoldódott, két kérdés pedig még nyitott. A maradék négy túlságosan általános ahhoz, hogy a megoldásukról legyen értelme beszélni.

A 20. században a matematika új területei különleges fejlődésnek indultak; a számítógépes igények mellett ez nagyrészt a vezérléselmélet , a kvantumfizika és más alkalmazott tudományágak követelményeinek köszönhető.

A matematika számos "régi" területe is gyorsan fejlődött.

Matematikai logika és a matematika alapjai

1931 -ben Kurt Gödel kiadta két befejezetlenségi tételét , amelyek megállapították a matematikai logika korlátait . Ezzel véget vetett David Hilbert tervének , hogy a matematika alapjainak teljes és következetes rendszerét hozza létre. Valamivel korábban, Löwenheim és Skolem 1915-1920-as tanulmányaiban ( Löwenheim-Skolem tétel ) egy másik elrettentő tényt fedeztek fel: egyetlen axiomatikus rendszer sem lehet kategorikus . Más szóval, akármilyen körültekintően is megfogalmazunk egy axiómarendszert, mindig lesz egy olyan értelmezés, amely teljesen más, mint amelyre ezt a rendszert tervezték. Ez a körülmény is aláássa az axiomatikus megközelítés egyetemességébe vetett hitet.

Mindazonáltal a formális axiomatika szükségesnek tekinthető annak érdekében, hogy tisztázza azokat az alapvető elveket, amelyeken a matematika ágai alapulnak. Ezenkívül az axiomatizálás segít azonosítani a nem nyilvánvaló kapcsolatokat a matematika különböző részei között, és így hozzájárul ezek egységesítéséhez [56] .

A tőkeeredményeket az algoritmusok elméletében kapjuk meg . Bebizonyosodott, hogy egy tétel lehet helyes, de algoritmikusan megoldhatatlan (pontosabban nincs feloldó eljárás, Church , 1936 ).

1933- ban Andrej Kolmogorov befejezte a valószínűségszámítás (ma már általánosan elfogadott) axiomatikáját .

1963- ban Paul Cohen bebizonyította, hogy Cantor kontinuum-hipotézise bizonyíthatatlan (a halmazelmélet szokásos axiomatikájában ).

Algebra és számelmélet

A század elején Emmy Noether és Van der Waerden befejezte az általános algebra alapjainak felépítését, amelynek szerkezetei ( csoportok , mezők , gyűrűk , lineáris terek stb.) mára áthatja az egész matematikát. A csoportelmélet hamarosan nagy sikerrel bekerült a fizikába és a krisztallográfiába . Egy másik fontos felfedezés a század elején a p-adikus számok gyümölcsöző elméletének megalkotása és fejlesztése volt .

Az 1910-es években Ramanujan több mint 3000 tételt fogalmazott meg, beleértve a számmegosztási függvény tulajdonságait és aszimptotikus becsléseit . Fontos eredményeket ért el a gammafüggvény , a moduláris formák , a divergens sorozatok , a hipergeometrikus sorozatok és a prímszámok elméletének tanulmányozásában is .

Andrew Wiles 1995 -ben bebizonyította Fermat utolsó tételét , ezzel lezárva egy évszázados problémát.

Matematikai elemzés és matematikai fizika

A 20. század elején Lebesgue és Borel általánosították a jordán mértékelméletet; ennek alapján épült fel a Lebesgue-integrál . A funkcionális elemzés megjelent Hilbert iskolájában , és hamarosan közvetlen alkalmazásra is talált a kvantumfizikában .

Az 1960-as években Abraham Robinson kifejtette a nem szabványos elemzést  , amely egy alternatív megközelítés a számítások tényleges infinitezimálisok alapján történő igazolására .

A többdimenziós sokaságok elméletét intenzíven fejlesztik , a fizika igényei ( GR , húrelmélet stb.) ösztönözve.

Geometria és topológia

Az általános topológia gyorsan fejlődik, és a matematika különböző területein alkalmazható. A Benoit Mandelbrot ( 1975 ) által felfedezett fraktálok tömeges érdeklődést váltottak ki.

Hermann Minkowski 1907 - ben kidolgozta a speciális relativitáselmélet kinematikájának geometriai modelljét, amely később az általános relativitáselmélet (GR) alapjául szolgált . Mindkét elmélet ösztönzésként szolgált az önkényes sima sokaságok többdimenziós differenciálgeometriájának gyors fejlődéséhez,  különös tekintettel a Riemann- és az ál-Riemann-féleségekre .

Diszkrét és számítógépes matematika

A 20. század második felében a számítógépek megjelenése miatt a matematikai erőfeszítések jelentős átrendeződése következett be. Jelentősen megnőtt az olyan szekciók szerepe, mint a numerikus módszerek , az optimalizálás elmélete , a nagyon nagy adatbázisokkal való kommunikáció, a mesterséges intelligencia utánzás , az audió és videó adatok kódolása stb. Új tudományok jelentek meg - kibernetika , számítástechnika , mintafelismerés , elméleti programozás, automatikus fordításelmélet, számítógépes modellezés, audio- és videoinformáció kompakt kódolása stb.

Számos régi problémát sikerült megoldani számítógépes bizonyítással [57] . Wolfgang Haken és Kenneth Apel számítógép segítségével oldotta meg a négy szín problémáját ( 1976 ).

21. század

2000-ben a Clay Mathematical Institute összeállított egy listát a hét legfontosabb matematikai problémáról , „a fontos klasszikus problémákról, amelyeket hosszú évek óta nem sikerült megoldani”. 2003-ban Grigory Perelman megoldotta az ezredforduló egyik feladatát - a Poincaré-hipotézist .

A 21. században a legtöbb matematikai folyóiratnak van online változata, és néhány folyóirat csak az interneten jelenik meg. Egyre nagyobb a törekvés a nyílt hozzáférésű közzétételre, amelyet először az arXiv népszerűsített . Egyre növekszik az elosztott számítástechnika népszerűsége , ami lehetőséget ad a kutatóknak arra, hogy a világ minden tájáról származó személyi számítógépek hatalmas számítási teljesítményét felhasználva különböző matematikai hipotéziseket numerikusan teszteljenek, például a PrimeGrid projekt speciális prímszámokat keres . Emellett a számítógépes eszközök képességei is bővülnek, az ember-gép bizonyításhoz és a bizonyítások automatikus ellenőrzéséhez például 2014- ben számítógépes rendszerrel igazolták a Kepler-hipotézis bizonyítását.

Lásd még

Jegyzetek

Hozzászólások
  1. ↑ "A legtöbb vélemény szerint a geometriát először Egyiptomban fedezték fel, és a területek méréséből jött létre" // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum commentarii. - Lipcse, 1873. - S. 64.
  2. ↑ „...az úgynevezett pitagoreusok, akik felvették a matematikát, először fejlesztették ki, és miután elsajátították, kezdték minden létező kezdetének tekinteni ... úgy tűnt számukra, hogy minden más egyértelműen a természetben a számokhoz hasonlítják, és hogy a számok az elsők az egész természetben, akkor azt feltételezték, hogy a számok elemei minden létező elemei, és hogy az egész égbolt harmónia és szám” // Arisztotelész. Metafizika, ötödik fejezet. - M. - L. , 1934. - S. 26-27.
  3. ↑ Ez nem a jelenlegi Kalinyingrádra vonatkozik, hanem a bajorországi Königsbergre .
Források
  1. ↑ Kline M. Matematika. A bizonyosság elvesztése, 1984 , p. 44-47.
  2. ↑ Young V. N. Esszék a matematika igazolásáról. - M . : Uchpedgiz, 1958. - S. 7.
  3. ↑ Wigner EP A matematika ésszerűtlen hatékonysága a természettudományokban  // Kommunikáció a tiszta és alkalmazott matematikáról. - 1960. - 13. sz . - S. 1-14 . Lásd az orosz fordítást az Etudes on Symmetry című könyvben . - M . : Mir, 1971. vagy az UFN-ben 1968. márciusra A Wayback Machine 2012. március 23-i archív példánya .
  4. ↑ Kline M. Matematika. A bizonyosság elvesztése, 1984 , p. 323-407.
  5. ↑ Ireland K., Rosen M. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe. - Moszkva: Mir, 1987. - S. 53. - 428 p.
  6. ↑ Frolov B. A. Számok a paleolit ​​grafikában. - Novoszibirszk: Nauka, 1974. - 240 p.
  7. ↑ 1 2 Matematikatörténet, 1970-1972 , I. kötet, p. 12-13.
  8. ↑ Mach E. Kogníció és téveszme // Albert Einstein és a gravitáció elmélete. - M . : Mir, 1979. - S. 74 (lábjegyzet). — 592 p. : "mielőtt a szám fogalma felmerül, meg kell tapasztalni, hogy bizonyos értelemben azonos értékű objektumok többszörösek és változatlanok ."
  9. ↑ Andronov, 1959 , p. 40-54.
  10. ↑ Andronov, 1959 , p. 60-77.
  11. ↑ Andronov, 1959 , p. 77-94.
  12. ↑ A matematika története, 1970-1972 , I. kötet, 1. o. tizennégy.
  13. ↑ A matematika története, 1970-1972 , I. kötet, 1. o. 21-33.
  14. ↑ A matematika története, 1970-1972 , I. kötet, 1. o. 30-32.
  15. ↑ A matematika története, 1970-1972 , I. kötet, 1. o. 158.
  16. ↑ Az ókori Oroszország természettudományi ismeretei (XI-XV. század) . www.portal-slovo.ru. Letöltve: 2019. május 19. Az eredetiből archiválva : 2020. szeptember 24.
  17. ↑ Szofja Kovalevszkaja: a világ első női matematikaprofesszora  // www.rosimperija.info. Archiválva : 2019. május 18.
  18. ↑ Nemorary. Ezekről a számokról / Per. és kb. S. N. Schrader. Szerk. I. N. Veselovsky // Történelmi és matematikai kutatás. - 1959. - T. XII . - S. 559-678 .
  19. ↑ Zubov V.P. A középkori atomizmus történetéből // A Természettudományi Történeti Intézet közleménye. - 1947. - T. I. - S. 293 .
  20. ↑ Orem N. Értekezés a minőségek konfigurációjáról // Történeti és matematikai kutatás / Per. V. P. Zubova . - M. , 1958. - Issue. 11 . - S. 601-732 .
  21. ↑ Alexandrov A. D. Matematika, tartalma, módszerei és jelentése (három kötetben). - Szovjetunió Tudományos Akadémia, 1956. - T. 1. - S. 39-40. — 296 p.
  22. ↑ Gindikin S. G. Történetek fizikusokról és matematikusokról . - M . : Nauka, 1982. - (Bibl. "Quantum", 14. szám).
  23. ↑ A matematika története, 1970-1972 , I. kötet, 1. o. 304-305.
  24. ↑ Fr. Viete . Bevezetés a l'art analique. Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche e phisiche, v. én, 1868.
  25. ↑ Descartes R. Geometry Archív másolat 2007. november 13-án a Wayback Machine -nél // Beszélgetés a módszerről, alkalmazásokkal / Fordította, G. G. Slyusarev és A. P. Juskevics cikkei és megjegyzései. M.-L.: Szerk. Szovjetunió Tudományos Akadémia, 1953.
  26. ↑ A matematika története, 1970-1972 , II. kötet, 1. o. 21.
  27. ↑ Juskevics A. P. Descartes és a matematika. // R. Descartes. Geometria. M.-L.: 1938. S. 255-294.
  28. ↑ Descartes R. Geometria. P. Fermat válogatott műveinek alkalmazásával és Descartes levelezésével / A. P. Juskevics fordítása, jegyzetei és cikke. M.-L.: 1938.
  29. ↑ Bernoulli J. A nagy számok törvényéről / Per. Ja. V. Uszpenszkij. A. A. Markov előszava. Moszkva: Nauka, 1986.
  30. ↑ I. Kepler. Boroshordók új sztereometriája Archiválva : 2013. február 8., a Wayback Machine / Per. és G. N. Sveshnikov előszava. M. Ya. Vygodsky bevezető cikke. M.-L.: GTTI, 1935. S. 109.
  31. ↑ Cavalieri B. Geometria, új módon megfogalmazva folytonos oszthatatlanok segítségével, az oszthatatlanok algebrai hatványokra való alkalmazásáról szóló "IV. kísérlet" alkalmazásával / Ford., bevezető cikk és S. Ya. Lurie megjegyzései. M.-L.: 1940.
  32. ↑ Fermat P. Bevezetés a sík és térbeli helyek tanulmányozásába. A maximumról és a minimumról. Részletek a Descartes-szal folytatott levelezésből // R. Descartes. Geometria. M.-L.: 1938. S. 137-196.
  33. ↑ I. Newton. Matematikai munkák / D. D. Mordukhai-Boltovsky fordítása, cikkei és megjegyzései. M.-L.: 1937.
  34. ↑ Leibniz G. V. Válogatott szövegrészek matematikai munkákból / Összeállította és fordította A. P. Juskevics. - Sok sikert, Math. Tudományok, 1948. T. III. V. I (23). 165-204.o.
  35. ↑ Antoine Arnault . A geometria új kezdetei ( francia  Nouveaux elements de geometrie ), Párizs, 1667.
  36. ↑ J. Lagrange. Analytical Mechanics, I. kötet, II. 2008. augusztus 1-i archív példány a Wayback Machine -nél / Per. V. S. Gokhman, szerk. L. G. Loitsyansky és A. I. Lurie. M.-L.: 1950.
  37. ↑ Laplace P. S. Állítás a világ rendszeréről. - L .: Nauka, 1982. 376 p.
  38. ↑ L. Euler. Bevezetés a végtelen elemzésébe. I. kötet Archiválva : 2013. május 1., a Wayback Machine / Per. E. L. Patsanovsky, A. Speiser cikke, szerk. I. B. Pogrebyssky. S. 109.
  39. ↑ Kotek V. V. Leonhard Euler. M.: Uchpedgiz, 1961
  40. ↑ Laplace P. Tapasztalatok a valószínűségszámítás filozófiájában / Per. AIB; szerk. A. K. Vlasova. M.: 1908.
  41. ↑ Panov V. F. Ősi és fiatal matematika. - Szerk. 2., javítva. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 477. - 648 p. — ISBN 5-7038-2890-2 .
  42. ↑ G. Monge. Leíró geometria / Per. V. F. Gaze, szerkesztette D. I. Kargip. M.: 1947.
  43. ↑ Gauss K. F. Általános kutatás ívelt felületekről Archivált : 2014. március 5. a Wayback Machine -nél // A geometria alapjai. M.: GITTL, 1956.
  44. ↑ Stroyk D. Esszé a differenciálgeometria történetéről. M.; L.: Gostekhizdat, 1941.
  45. ↑ Riemann B. Művek archiválva : 2013. május 1., a Wayback Machine M.-L.: OGIZ. GITTL, 1948.
  46. ↑ O. L. Cauchy. Algebrai elemzés / Per. F. Ewald, V. Grigorjev, A. Iljin. Lipcse: 1864. S. VI.
  47. ↑ K. F. Gauss Proceedings in number theory 2011. szeptember 14-i archív példány a Wayback Machine -nél / Per. B. B. Demyanova, általános szerk. I. M. Vinogradov, B. N. Delaunay megjegyzései. M.: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Kiadója, 1959.
  48. ↑ Cassels J. Bevezetés a számok geometriájába M.: Mir, 1965.
  49. ↑ Galois E. Művek. M.-L.: ONTI, 1936.
  50. ↑ Hilbert Issues archiválva : 2013. június 1., a Wayback Machine / Szerk. P. S. Alexandrova. M.: "Nauka", 1969. S. 34.
  51. ↑ Jevons S. A tudomány alapjai. Szentpétervár: 1881.
  52. ↑ Kline M. Matematika. A bizonyosság elvesztése, 1984 , p. 228-250.
  53. ↑ Kline M. Matematika. A bizonyosság elvesztése, 1984 , p. 251-299.
  54. ↑ Alexandrov A. D. Matematika, tartalma, módszerei és jelentése (három kötetben). - Szovjetunió Tudományos Akadémia, 1956. - T. 1. - S. 59-60. — 296 p.
  55. ↑ Postnikov A. G. Számok valószínűségszámítása. - M . : Tudás, 1974. - 64 p. - (Új az életben, a tudományban).
  56. ↑ Weil G. A matematika fél évszázada, 1969 , p. 7-8.
  57. ↑ Graham, Ronald. Matematika és számítógépek: problémák és kilátások // Kvant . - 2016. - 3. sz . - P. 2-9.

Irodalom

egész történelmi korszak Ókori történelem Új idő, XVI-XVIII. század XIX-XX században

Linkek

 A matematika története
Országok és korszakok
Tematikus
szakaszok
Lásd még