Propozíciós logika

A propozíciós logika , a propozíciós logika ( lat. propositio - „állítás” [1] ) vagy a propozíciós kalkulus [2] , egyben nulladrendű logika, a szimbolikus logika egy része , amely az egyszerűekből képzett összetett állításokat és azok összefüggéseit vizsgálja. A predikátumlogikával ellentétben a propozíciós logika nem veszi figyelembe az egyszerű állítások belső szerkezetét, csak azt veszi figyelembe, hogy milyen kötőszavakkal és milyen sorrendben kombinálódnak az egyszerű állítások összetettekké [3] .

Fontossága és széles hatóköre ellenére a propozíciós logika a legegyszerűbb logika, és nagyon korlátozott eszközökkel rendelkezik az ítéletek tanulmányozására [2] .

A propozíciós logika nyelve

A propozíciós logika nyelve (propozíciós nyelv [4] ) egy formalizált nyelv , amelyet összetett állítások logikai szerkezetének elemzésére terveztek [1] .

A propozíciós logika szintaxisa

Kezdő szimbólumok, vagy a propozíciós logikai nyelv ábécéje [5] :

propozíciós változók halmaza (propozíciós betűk):

Var=\{p,q,r...\}

propozíciós kötőszavak (logikai kötőszavak):

Szimbólum	Jelentése
$\neg$	Negatív jel
$\föld$ vagy &	Kötőjel (" logikai ÉS")
$\vee$	Diszjunkciós jel ("logikai VAGY")
$\jobb nyíl$	implikációs jel

Segédkarakterek: bal zárójel (, jobb zárójel ). [6]

Állítási képletek

A propozíciós formula egy szó a propozíciós logika nyelvében [7] , vagyis az alfabetikus karakterek véges sorozata, amelyet az alábbiakban meghatározott szabályok szerint szerkesztenek meg, és teljes kifejezést alkotnak a propozíciós logika nyelvén [1] .

A propozíciós logikai formulák halmazának induktív definíciója : [4] [1] $fm$

Ha , akkor (minden propozíciós változó egy képlet); $p\in Var$ $p\in Fm$
ha képlet, akkor szintén képlet; $A$ $\neg A$
ha és tetszőleges képletek, akkor , , is képletek. $A$ $B$ $(A\ék B)$ $(A\vee B)$ $(A\-B)$

A propozicionális logika nyelvében nincs más képlet.

A propozíciós logika szintaxisát meghatározó Backus-Naur forma a következő jelöléssel rendelkezik:

$A::=p\;|\;(\neg A)\;|\;(A\land A)\;|\;(A\vagy A)\;|\;(A\-tól A-ig )$

A nagy latin betűk és mások , amelyeket a képlet meghatározásában használnak, nem a propozíciós logika nyelvéhez tartoznak, hanem annak metanyelvéhez, vagyis ahhoz a nyelvhez, amelyet magának a propozíciós logika nyelvének leírására használnak. A fémbetűket és másokat tartalmazó kifejezések nem propozíciós formulák, hanem képletsémák. Például egy kifejezés egy séma, amely megfelel a képleteknek és másoknak [1] . $A$ $B$ $\neg A$ $(A\-B)$ $(A\ék B)$ $(p\ék q)$ $(p\wedge (r\vee s))$

A propozicionális logika nyelvének bármely alfabetikus karaktersorozata tekintetében eldönthető, hogy képlet-e vagy sem. Ha ez a sorozat a bekezdésekkel összhangban felállítható. 1-3 képlet definíció, akkor képlet, ha nem, akkor nem képlet [1] .

Zárójel-konvenciók

Mivel a definíció szerint összeállított képletekben túl sok zárójel van, ami néha nem szükséges a képlet egyértelmű megértéséhez, van egy konvenció a zárójelekre vonatkozóan, amely szerint a zárójelek egy része elhagyható. A kihagyott zárójelekkel ellátott rekordok visszaállítása a következő szabályok szerint történik.

Ha a külső zárójeleket kihagyjuk, akkor azok visszaállnak.
Ha két kötőszó vagy diszjunkció van egymás mellett (például ), akkor a bal szélső rész kerül először zárójelbe (azaz ezek a konjunkciók asszociatívak maradnak ). $A\ék B\ék C$
Ha különböző kötegek vannak a közelben, akkor a zárójelek prioritások szerint vannak elrendezve: és (a legmagasabbtól a legalacsonyabbig). $\neg ,\wedge ,\vee$ $\nak nek$

Amikor egy képlet hosszáról beszélünk , akkor az implikált (visszaállított) képlet hosszát jelentik, nem pedig a rövidített jelölést.

Például: a bejegyzés képletet jelent , hossza pedig 12. $A\vee B\wedge\neg C$ $(A\vee (B\ék (\neg C)))$

Formalizálás és értelmezés

Mint minden más formalizált nyelv , a propozíciós logika nyelve is úgy tekinthető, mint az összes szó halmaza, amelyet ennek a nyelvnek az ábécéjével alkotnak meg [8] . A propozíciós logika nyelve mindenféle propozíciós képlet halmazának tekinthető [4] . A természetes nyelvű mondatok lefordíthatók a propozicionális logika szimbolikus nyelvére, ahol a propozíciós logika képletei lesznek. Azt a folyamatot, amikor egy állítást képletre fordítanak a propozíciós logika nyelvén, formalizálásnak nevezik. A propozíciós változók konkrét propozíciók helyettesítésének fordított folyamatát interpretációnak nevezzük [9] .

A propozíciós logika formális rendszerének axiómái és következtetési szabályai

A propozicionális logika ( Hilbert-féle ) axiomatizálásának egyik lehetséges változata a következő axiómarendszer:

$A_{1}:A\jobbra nyíl (B\jobbra nyíl A)$ ;

$A_{2}:(A\jobbra nyíl (B\jobbra C))\jobbra ((A\jobbra B)\jobbra (A\jobbra C))$ ;

$A_{3}:A\ék B\jobbra nyíl A$ ;

$A_{4}:A\ék B\jobbra nyíl B$ ;

$A_{5}:A\jobbra nyíl (B\jobbra nyíl (A\ék B))$ ;

$A_{6}:A\jobbra nyíl (A\vee B)$ ;

$A_{7}:B\jobbra nyíl (A\vee B)$ ;

$A_{8}:(A\jobbra C)\jobbra ((B\jobbra C)\jobbra ((A\vee B)\jobbra C))$ ;

$A_{9}:\neg A\jobbra nyíl (A\jobbra nyíl B)$ ;

$A_{{10}}:(A\jobbra nyíl B)\jobbra nyíl ((A\jobbra \neg B)\jobbra \neg A)$ ;

$A_{{11}}:A\vee \neg A$ .

az egyetlen szabállyal együtt:

${\frac {A\quad (A\jobbra nyíl B)}{B}}$ ( modus ponens )

A propozíciószámítás helyességi tétele kimondja, hogy az összes fent felsorolt axióma tautológia , és a modus ponens szabályt alkalmazva csak igaz állítások nyerhetők igaz állításokból. Ennek a tételnek a bizonyítása triviális, és közvetlen igazolásra redukálódik. Sokkal érdekesebb az a tény, hogy az összes többi tautológia az axiómákból levonható a következtetés szabályával – ez a propozíciós logika úgynevezett teljességi tétele.

Az alapvető műveletek igazságtáblázatai

A propozíciós logika fő feladata egy képlet igazságértékének megállapítása, ha a benne szereplő változók igazságértékei adottak. A képlet igazságértékét ebben az esetben induktív módon határozzuk meg (a képlet összeállításánál használt lépésekkel) konnektív igazságtáblázatok segítségével [ 10 ] .

Legyen az összes igazságérték halmaza, és legyen a propozíciós változók halmaza. Ekkor a propozíciós logikai nyelv értelmezése (vagy modellje) leképezésként ábrázolható $\mathbb {B}$ $\{0,1\}$ $Var$

M\colon Var\to \mathbb {B}

amely az egyes propozíciós változókat egy igazságértékkel társítja [10] . $p$ $M(p)$

A negációs pontszámot a táblázat adja meg: $\negp$

$p$	$\negp$
$0$	$egy$
$egy$	$0$

A kettős logikai konnektívumok (implikáció), (diszjunkció) és (konjunkció) értékei a következők: $\jobb nyíl$ $\vee$ $\ék$

$p$	$q$	$p\rightarrow q$	$p\ék q$	$p\vee q$
$0$	$0$	$egy$	$0$	$0$
$0$	$egy$	$egy$	$0$	$egy$
$egy$	$0$	$0$	$0$	$egy$
$egy$	$egy$	$egy$	$egy$	$egy$

Azonosan igaz formulák (tautológiák)

Egy képlet azonosan igaz , ha az alkotóváltozóinak bármely értékére igaz (vagyis bármilyen értelmezésre) [11] . Íme néhány jól ismert példa az azonosan igaz propozíciós logikai képletekre:

de Morgan törvényei :

\neg (p\vee q)\balra jobbra nyíl (\neg p\wedge \neg q)

;

\neg (p\wedge q)\balra jobbra nyíl (\neg p\vee \neg q)

;

ellentmondás törvénye :

(p\jobbra q)\balra jobbra (\neg q\jobbra \neg p)

;

abszorpciós törvények :

p\vee (p\wedge q)\bal jobbra nyíl p

;

p\wedge (p\vee q)\bal jobbra nyíl p

;

elosztási törvények :

p\wedge (q\vee r)\balra jobbra nyíl (p\wedge q)\vee (p\wedge r)

;

p\vee (q\wedge r)\bal jobbra nyíl (p\vee q)\wedge (p\vee r)

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 6 Chupakhin, Brodsky, 1977 , p. 203-205.
↑ 1 2 Kondakov, 1971 , „Propozíciós kalkulus” cikk.
↑ NFE, 2010 .
↑ 1 2 3 Gerasimov, 2011 , p. 13.
↑ Voishvillo, Degtyarev, 2001 , p. 91-94.
↑ Ershov Yu. L. , Paljutyin E. A. Matematikai logika. - M. , Nauka , 1979. - p. 24
↑ Edelman, 1975 , p. 130.
↑ Edelman, 1975 , p. 128.
↑ Igoshin, 2008 , p. 32.
↑ 1 2 Gerasimov, 2011 , p. 17-19.
↑ Gerasimov, 2011 , p. 19.

Irodalom

Kondakov N. I. Logikai szótár / Gorsky D. P. - M . : Nauka, 1971. - 656 p.
Edelman S. L. Matematikai logika. - M . : Felsőiskola, 1975. - 176 p.
Chupakhin I. Ya., Brodsky IN Formális logika. - Leningrád: Leningrádi Egyetemi Kiadó , 1977. - 357 p.
Voishvillo E. K. , Degtyarev M. G. Logic. - M. : VLADOS-PRESS, 2001. - 528 p. — ISBN 5-305-00001-7 .
Igoshin VI Matematikai logika és algoritmusok elmélete. - 2. kiadás, sztereotípia .. - M . : "Akadémia" Kiadóközpont, 2008. - 448 p. - ISBN 978-5-7695-4593-1 .
A. S. Karpenko. Propozíciós logika // Új filozófiai enciklopédia : 4 kötetben / előz. tudományos-szerk. V. S. Stepin tanácsa . — 2. kiadás, javítva. és további - M . : Gondolat , 2010. - 2816 p.
Gerasimov AS Matematikai logika és a kiszámíthatóság elmélete . - Szentpétervár. : "LEMA" kiadó, 2011. - 284 p. - ISBN 978-5-98709-292-7 .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online) Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4136098-9 NKC : ph127455

Logikák

Filozófia • Szemantika • Szintaxis • Történelem

Logikai csoportok

klasszikus logika	Arisztotelészi logika propozíciós logika Elsőrendű logika Másodrendű logika magasabb rendű logika
matematikai logika	halmazelmélet Modellelmélet Kiszámíthatóság elmélet Bizonyításelmélet és konstruktív matematika Lineáris logika formális rendszer természetes következtetés Sorozatszámítás Logikai algebra Releváns logika Deontikus logika intuicionista logika Lambek kalkulus
Nem klasszikus logika	intuicionizmus zavaros logika Szubstrukturális logika logika Leírás logika Többértékű logika Logikai szintézis Kötési logika Időbeli logika Modális logika ( Hibrid logika ) episztemikus logika
Filozófiai logika	Kritikus gondolkodás informális logika deduktív érvelés

Alkatrészek

Logikai szimbólumok listája