Golyós számológép

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. szeptember 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzésekhez 10 szerkesztés szükséges .

Abacus ( orosz abakusz ) - egyszerű mechanikus eszköz (csontokkal ellátott számlálótábla) aritmetikai számítások elvégzésére , az egyik változat szerint a kínai suanpan számlálókészülékből származnak , a másik szerint valójában orosz eredetűek.

Egy bizonyos számú küllővel rendelkező keretet ábrázol ; csülök vannak felfűzve rájuk, amelyek általában 10 darabból állnak. A számlák az egyik legkorábbi számítástechnikai eszköz , és a 20. század végéig széles körben használták a kereskedelemben és a számvitelben , amíg fel nem váltották őket a számológépekkel . Ma nagyon ritkán használják például falusi és vidéki boltokban [1] .

Történelem

A legrégebbi abakuszt (húsz elefántcsontból készült pálcikát) Mongóliában végzett régészeti ásatások során fedezték fel. Az elemzés eredményei szerint kiderült, hogy több mint háromezer évvel ezelőtt készültek [2] .

Nikolaas Witsen valamikor a Suanpannal való külső hasonlóság alapján azt sugallta, hogy az abakuszok Kínából érkeztek az Aranyhorda tatárjai révén a 14. században [3] , sőt meg is nevezi azt, aki először honosította meg őket Oroszországban – az elsőt Sztroganovok [4] . I. G. Spassky azonban felhívja a figyelmet a suanpantól való eltérésekre , különösen arra, hogy a számlákban a decimális számrendszert használták [5] . Úgy vélte, hogy az abakusz a "táblaszámla" eszközből származik , amely feltételezése szerint a moszkvai államban keletkezett a 16. században [6] .

A számlák első ismert említése a Nikon pátriárka házkincstárának népszámlálási könyvében található, amelyet 1658 -ban állítottak össze , ahol ezeket "számláknak" [7] [8] nevezik .

Számrendszer és kódrendszer

Az orosz számlákban helyzeti decimális számrendszert használnak , az egyes számjegyeken belül nem pozicionális unáris kódolással .

A csontok minden sora egy numerikus számjegyet jelöl, amely a négy csont tűtől felfelé egytől millióig növekszik (hét egész sorral), lefelé pedig tizedről ezredre csökken. Az egyes sorok maximális értéke a számjegy súlyának tízszerese (az egységszámjegyeknél a maximális érték 10, ha az összes lapka balra van, a tízeseknél 100, és így tovább). A szám "készletét" úgy hajtják végre, hogy a csontokat a rúd jobb szélétől balra tolják.

A rudat, amelyen csak 4 csont van, fele- fele arányban használták a számításokhoz . Az egyik fele egy pénz felével , vagyis egy negyed fillérrel egyenlő . Ennek megfelelően négy csülök egy kopekkát tett ki [9] . Ezenkívül ezt a rudat fontok fontokra való átváltására használták ( 1 pud = 40 font) . Ezenkívül ez a rúd a számlákon beírt szám egész és tört részei elválasztóként szolgálhat, és nem használják a számításokhoz.

Így az abakuszra hét egész sorral a maximális pontszám 11 111 111,110 .

A tizedik csont egy bitjének kilenc csonthoz való hozzáadása után egy átviteli egységnek a következő bithez való írása történik, amely három műveletből áll:

1. az egyik csukló balra tolásával a tizedik csukló hozzáadódik kilenc csuklóhoz;
2. mind a tíz csukló jobbra eltolása az előző bitet nullára állítja;
3. eltolás az egyik csuklótól balra a következő számjegyre, egy átviteli egység kerül rögzítésre.

Ennek a szabálynak a betartásával a számok bármilyen kétértelmű ábrázolása kizárt. A számrendszerek elmélete szempontjából egy exponenciális egységkódolt decimális helyzetszámrendszerben végzett cselekvésekhez kilenc csont is elegendő, ahogy Ya. I. Perelman is írja [10] , míg az átvitel írásának művelete az egység három művelet helyett két műveletben hajtható végre:

1. az egyik csuklótól balra tolva a következő bitre, egy átviteli egység kerül rögzítésre;
2. kilenc csont jobbra tolásával az előző számjegy nullára áll vissza;

de a számlálás kényelme érdekében (különösen annak érdekében, hogy kényelmesen hozzá lehessen adni a 10-hez, ami szükséges a mentesítés átviteléhez a kivonáskor), az orosz számlákban a tíz csuklószámot választották.

Számlálási szabályok

Általános megjegyzések

A számlák segítségével, kapacitásukon belül, minden alapvető számtani műveletet elvégezhet: összeadás, kivonás, szorzás, osztás . A gyakorlatban azonban kényelmes és gyors csak összeadás és kivonás: a tetszőleges számmal való szorzás művelete meglehetősen bonyolult, és az osztás általában több időt vesz igénybe, mint ugyanazt a műveletet papíron végrehajtani „ oszloposztás ” segítségével. . Azonban meglehetősen sok olyan speciális eset van, amikor az abakusz nagyon jól használható szorzásra és osztásra.

Ezenkívül a következő szempontokat kell figyelembe venni:

• A fiókokat elvileg nem negatív számokkal történő manipulációra szánják. Ezért minden műveletet pozitív számokra kell csökkenteni, és ha szükséges, az előjelet egyszerűen külön kell figyelembe venni.
• A szorzási és osztási műveleteknél meglehetősen kényelmetlen mindkét operandus esetében figyelembe venni a decimális elválasztó pozícióját . Ennek eredményeként a tizedes törtek szorzása és osztása során vagy csak a második, vagy mindkét operandus egész számra redukálódik, vagyis a tizedes elválasztót egyszerűen figyelmen kívül hagyja. A művelet befejezése után a tizedeselválasztó pozíciója manuálisan visszaáll.

"Set" számok

A számlákon lévő számok ábrázolását és a tárcsázási sorrendet fentebb ismertettük. Csak annyit kell megjegyezni, hogy a számjegyek vezetékeken való elhelyezésére vonatkozó szabályt (vagyis egy számjegy hibátlan elhelyezését egy négycsontú vezeték előtt) a gyakorlati számításokban gyakran nem szükséges betartani. . Sőt, a számítások során néha kényelmes egy szám újragépelése helyett egyszerűen gondolatban áthelyezni az egész és a tört részek elválasztóját egy másik helyre.

Néhány abakuszszámítási kézikönyv a következő "javítást" javasolja: fúrjon egy sor kis lyukat a bal oldali abakusz keretébe, amelyek a vezetékek közötti résekkel szemben helyezkednek el. Számításkor egy tárgyat - például egy szöget vagy egy kiegyenesített iratkapcsot - egy lyukba helyeznek az egységeket és a tizedeket jelenleg elválasztó réssel szemben. Így a tizedeselválasztó helyzete bármikor jól látható és könnyen megváltoztatható.

Kiegészítés

Az egyik lehetséges mód szerint a számlákon történő összeadás "alulról felfelé" történik (az alsó számjegyektől a régebbiekig). Az első tag „begépelődik” a számlákon, majd bitenként, a legkisebb jelentőségű számjegytől a legmagasabbig a következő műveleteket hajtják végre:

1. A kategóriának megfelelő vezetéken annyi csontot dobnak balra , ahány egység van a második tag megfelelő kategóriájában.
2. Ha nincs elég csont a vezetéken az első művelet végrehajtásához, akkor annyi csont marad a bal oldali vezetéken, amennyi nem volt elég, és a következő (magasabb) drótra egy csontot dobunk balra.
3. Ha a művelet eredményeként (az első és a második és ez is) 10 csont van a bal oldali vezetéken, akkor ezen a vezetéken az összes csont jobbra dobódik, és a következő (magasabb) vezetéket, egy csontot ráadásul balra dobunk.

Miután az összes számjeggyel végrehajtott műveleteket elvégezték, a számlákon „tárcsázott” szám lesz az összeadás eredménye.

Van egy másik módszer is: összeadás magasabb számjegyekből alacsonyabb számjegyekhez [11]  - lásd az animációt.

Kivonás

A számlákon a kivonás „felülről lefelé”, azaz a legmagasabb számjegyektől a legalacsonyabbig történik. A számlák alkalmatlansága miatt a negatív számokkal való munkavégzésre mindig szükséges egy kisebb pozitív számot kivonni egy nagyobb pozitív számból. Ha nagyobbat szeretnénk kivonni egy kisebbből, akkor a számokat fel kell cserélni, és meg kell hagyni a „szemben” jelet.

A számlákon a csökkentett „beírásra kerül”, majd apránként, a legjelentősebb számjegytől a legfiatalabbig a következő műveleteket hajtják végre:

1. A kategóriának megfelelő vezetéken annyi csontot dobnak jobbra , ahány egység van a részleg megfelelő kategóriájában.
2. Ha nincs elég csont a vezetéken az első művelet végrehajtásához, a kisülés átkerül: (10 -  n ) csontok maradnak a bal oldalon, ahol n  a „hiányzó” csontok száma (annak érdekében, hogy a másodikat ne végezzük el gondolatban kivonva átviheti a teljes tíz csontot ezen a vezetéken balra, majd eldobhatja a hiányzó csontokat), és a fenti vezetéken egy csontot eldob a jobb oldalon.
3. Ha az átvitel során nincs elegendő csont a legmagasabb számjegynek megfelelő vezetéken, akkor az átvitel a következő (még idősebb) számjegyre történik, és így tovább, amíg az egyik vezetéken elegendő csont nem lesz. Tehát például (1001 − 3) kivonáskor az első 8 csont a legkisebb jelentőségű számjegy vezetékén marad, és át kell vinni a második számjegyre, majd a harmadikra, és csak ezután lesz elég gödrök a negyedik számjegy vezetékén a művelet befejezéséhez.

Szorzás

Az egyjegyű szorzás általában helyettesíthető úgy, hogy a szorzót a megfelelő számú alkalommal hozzáadjuk önmagához. Az egész többjegyű számokat bitről bitre szorozzák, hasonlóan az "oszlopszorzáshoz":

• A szorzó a két szám közül az, amelyik több nem nulla számjegyet tartalmaz.
• A szorzó annyiszor kerül hozzáadásra önmagához, ahány egység van a szorzó legalacsonyabb (első) számjegyében.
• A szorzó minden következő számjegyéhez a szorzót a megfelelő számú alkalommal hozzáadjuk a számlákon már szereplő számhoz, de egy számjegynyi eltolással felfelé. Vagyis a tízes számjegyeknél az összeadást egy számjeggyel, a százasokat kettővel, és így tovább.
• Ha a szorzó megfelelő számjegye nulla, akkor természetesen nem történik összeadás, hanem egyszerűen eltolódik egy vezetékkel feljebb, és megtörténik az áttérés a következő számjegyre.
• Ha a szorzó minden nullától eltérő számjegyét összeadjuk, a szorzás eredménye a számlákon jelenik meg. Ebben az esetben a tizedeselválasztó pozícióját abban a pozícióban kell figyelembe venni, ahol az első összeadások során volt (vagyis a tizedeselválasztó eltolódásait csak a közbenső műveleteknél vesszük figyelembe).

Ha nem egész számokat szorozunk, akkor a művelet pontosan ugyanúgy történik (a számításokat egész számokkal végezzük, a decimális elválasztókat egyszerűen figyelmen kívül hagyjuk). Az eredmény írásakor a tizedeselválasztó manuálisan kerül a megfelelő helyre.

Az algoritmus nehézkessége ellenére fejlett készség mellett az időnyereség a papíron történő számításhoz képest jelentős lehet.

osztály

Az osztást általában kivonás váltja fel. Az egész számok felosztásának általános algoritmusa a következő:

• Az osztalék a számlák alján található.
• Az osztalék bevezető számjegyei közül olyan méretű csoportot választunk ki, hogy az általa alkotott szám nagyobb legyen, mint az osztó, de kisebb, mint az osztó tízzel szorozva. A decimális elválasztó gondolatban átkerül a csoport legkisebb jelentőségű számjegyére.
• Az osztót a tárcsázott számból levonjuk (figyelembe véve a beállított elválasztót), amíg a csökkentett kisebb lesz, mint az osztó. Minden egyes sikeres kivonásnál a felső vezetéken a pontszám egy csonttal balra kerül.
• A kivonás befejeztével a decimális elválasztó gondolatban egy vezetékkel lejjebb kerül. Továbbá az osztó kivonása megismétlődik egy új redukáltnál, és az eredményt a következő (második, majd harmadik stb.) vezetékre írjuk be.
• Az előző bekezdést addig ismételjük, amíg a számlákon tárcsázott szám véget nem ér, vagy amíg el nem éri az eredmény kívánt számjegyét.
• A felső vezetékeken az összes művelet befejezése után az osztás eredménye gépelve lesz. A tizedeselválasztó pozíciója megegyezik az osztalék helyével.

Ha az osztalék az osztó többszöröse, akkor a művelet akkor ér véget, amikor elérjük az osztalék legkisebb tizedesjegyét, és az összes csont, kivéve azokat, amelyeken az eredmény halmozódik, a jobb oldalon lesz. Ha nem, akkor a felosztás maradékának megfelelő szám marad a számlákon. Ha szükséges, akkor a tört eredmény tizedesjegyeit is megkaphatja, amíg van elegendő vezeték a számlákon (ha nincs hova lejjebb mozgatni a tizedeselválasztót, mesterségesen feljebb mozgathatja a felhalmozott maradékot az osztás folytatásához; így akár 7-8 számjegyet is kaphat az eredményből).

Például kiszámítjuk a 715/31-et:

• A 715-ös számlákon gyűjtjük az alsó részen (a vezeték felett négy csuklóval).
• Az első számjegyekből kiválasztunk egy 31-nél nagyobb és 310-nél kisebb számot - ez két számjegy, 71. Gondolatban az egység után helyezzük el a tizedeselválasztót.
• Vonja ki a 31-et 71-ből. Ezt kétszer is meg lehet tenni. A felső vezetéken két csontot eldobunk balra. A maradék 9.
• 9 van hátra, ami kevesebb, mint 31. Mentsen tolja el a decimális elválasztót egy vezetékkel lejjebb. A következő csökkentés 95.
• Vonja ki a 31-et 95-ből. Ezt háromszor lehet megtenni. A felülről a második vezetéken balra dobunk el három csuklót. A maradék 2.
• A 2 kisebb, mint 31. Az osztalék egész része teljesen felhasználva. Ha a maradékból elég megoldást kapni, akkor javítható az eredmény: a felső két vezetékre 2 és 3 kerül, a 2 marad az osztalékban, vagyis az eredmény 23 és 2 a maradékban, ill. .
• Ha a következő tizedesjegyekre van szükség, akkor folytatjuk a műveletet: a decimális elválasztót egy számjeggyel lejjebb toljuk, de így 20-at kapunk, ami kevesebb, mint 31. Ezért felülről a harmadik vezetéken nullát hagyunk. (minden csukló a jobb oldalon), és mozgassa le az elválasztót egy másik vezetékkel.
• Vonja ki a 31-et 200-ból - hatszor. A negyedik vezetéken 6 van lerakva.
• Tolja el a decimális elválasztót még egy számjeggyel. 140 fiók.
• Vonja ki a 31-et 140-ből. 4 kerül az ötödik vezetékre.
• 16 marad a számlákon.Nincs hova tolni a számjegyeket - a vezetékek kifogytak (általában csak három számjegy van a 4 csontos vezeték alatt a számlákon). Mivel a 16 több mint fele 31-nek, a következő számjegy 5 vagy több lesz, így a kerekített eredményt javíthatja: 23.065. Ha sürgősen meg kell szereznie az eredmény következő számjegyeit, akkor a maradék 16-ot át kell vinnie felfelé, és onnan kell folytatnia a számolást.

Akárcsak a szorzásnál, a tizedes törtek felosztásánál az argumentumok helyére egész számok lépnek, és a számításokat pontosan ugyanabban a sorrendben hajtják végre, a tizedeselválasztót pedig manuálisan a megfelelő helyre viszi át az eredményben.

Egyszerűsített trükkök a szorzáshoz és osztáshoz

Az önkényes szorzás és különösen a számlákon való felosztás nem túl kényelmes. Vannak azonban olyan speciális esetek, amikor ezeket a műveleteket sokkal könnyebben hajtják végre:

• A 10-zel való szorzást és osztást az egy számjegy felfelé vagy lefelé mozgatása váltja fel. Ebben az esetben nincs szükség a rekord tényleges átvitelére - elegendő a szám egész számának és törtrészének elválasztóját gondolatban egy vezetékkel mozgatni, lefelé vagy felfelé. A számlaszámítási kézikönyvekben azt javasolták, hogy a számítások elvégzése közben a bal kéz ujját tartsa a számlakereten az egységeknek és tizedeknek megfelelő vezetékek közötti réssel szemben, vagy jelölje meg az aktuális pozíciót. a tizedeselválasztót valamilyen rögtönzött eszközzel (gomb, a keretben speciálisan kialakított lyukakba szúrt szegfű stb.).
• A 2-vel való szorzás helyébe a szám önmagához való hozzáadásával kerül sor: .
• A 3-mal való szorzás kétszeres összeadást jelent önmagához: .
• Szorozzuk meg 4-gyel – kétszerezzük meg: .
• Szorozzuk 5-tel - szorozzuk 10-zel és osszuk 2-vel: .
• Szorzás 6-tal - szorzás 5-tel és az eredeti szám összeadása :.
• Szorzás 7-tel - az eredeti szám háromszoros duplázása és kivonása :.
• A 8-cal való szorzás háromszoros duplázódást jelent: .
• Szorzás 9-cel - szorzás 10-zel és az eredeti szám kivonása: .
• A 2-vel való osztás a legkisebb jelentőségű bitektől a legjelentősebbekig történik. Mindegyik vezetéken a meglévő csontok felét eldobják. Ha páratlan számú csont van a vezetéken, akkor az „extra” csontot is eldobjuk, és további öt csontot helyezünk át balra az alábbi vezetéken (a legkisebb számjegyben). Például, ha 57-et osztunk 2-vel, páratlan szám van az egységek számjegyében, így 4 csontot eldobunk (3 marad), és 5-öt hozzáadunk a tizedes számjegyhez, majd öt gödörből hármat eldobunk. a tízes számjegyben - kettő marad, és emellett az egyjegyű 5-öt is hozzáadjuk - 8 lesz. Így a helyes válasz: 28,5.
• A 3-mal való osztás helyett az eredeti számot megszorozzuk 3-mal, és az eredményt szekvenciálisan hozzáadjuk önmagához, lefelé tolással, ahányszor az eredményben szükséges. A „számlák határain kívül” eltoláskor a hozzáadott szám kerekítésre kerül. Az összeadás eredményét el kell osztani 10-zel. (A felhasznált tény ).
• A 4-gyel való osztás kétszeres 2-vel.
• Az 5-tel való osztás 10-zel való osztás és 2-vel való szorzás.
• A 6-tal való osztás az egymást követő 2-vel és 3-mal való osztás.
• A 7-tel való osztás az általános algoritmus szerint történik (hetes bitenkénti kivonása).
• A 8-cal való osztás helyébe a 2-vel való háromszoros osztás lép.
• A 9-cel való osztás úgy történik, hogy a számot önmagához adjuk, bitenként annyiszor lefelé tolva, ahányszor szükséges az eredményben. Az összeadás eredményét elosztjuk 10-zel. (Az arányt használjuk ).
• A kettő tetszőleges hatványával való szorzást és osztást egymást követő duplázással vagy 2-vel való osztással kell elvégezni.
• A két azonos számjegyből álló „ NN ” (11, 22, 33, 44 stb.) kétjegyű szorzást felváltja a szorzás és az összeadás eltolással:

• Először is, az eredeti értéket bármilyen kényelmes módon megszorozzuk N -vel.
• Ekkor a decimális elválasztót egy bittel lejjebb visszük, és a szorzás eredményét hozzáadjuk önmagához, de egy vezetékkel lefelé tolva (kényelmesebb az összeadás lefelé tolással, mivel az összeadás alulról felfelé történik, és a a hozzáadott csontok száma mindig egy vezetékkel feljebb látható – ezt nem kell megjegyezni).

Gyakran lehetséges egyszerű manipulációk segítségével a számított műveletet a szorzás és osztás speciális eseteinek kombinációjára redukálni. Például a 25-tel való szorzás helyettesíthető 100-zal való szorzással és 2-vel való osztással. Ha az egyik vagy mindkét operandus közel van a számításokhoz "kényelmes" számokhoz, a szorzás és osztás speciális eseteit összeadással és kivonással kombinálhatja. De az ilyen trükkök lehetősége erősen függ a számológép képzettségi szintjétől. Valójában az abakuszon való számítás művészete abban rejlik, hogy bármilyen szükséges számítást könnyen megszámlálható elemek kombinációjára redukálhatunk.

Fiókpélda

Egy jól ismert példa a fiókok felhasználására problémák megoldására Anton Csehov „ Tutor ” című elbeszélésében [12] található . A gimnázium tanára, Egor Alekseich Ziberov feltette a feladatot a fiatal Petya Udodovnak:

A kereskedő 138 arshin fekete-kék szövetet vásárolt 540 rubelért. A kérdés az, hogy hány arshint vásárolt mindkettőt, ha a kék 5, a fekete 3 rubelbe került.

Petya nem tudta megoldani. Maga az oktató azonban nem tudott megbirkózni, bár tudta, hogy „a feladat valójában algebrai ” és „x-szel és y-vel megoldható”. Valóban, ha feltételezzük, hogy - ez a kék ruha mennyisége, és - a fekete, akkor a következő egyenletrendszert állíthatjuk össze :

A megoldást követően megkapjuk a választ: azaz 75 arshin fekete szövet és 63 arshin kék.

A probléma ilyen megoldása azonban belső logikájának elvesztéséhez vezet. A fiú apja, Udodov nyugalmazott tartományi titkár egy másik megoldást mutatott be:

„Megoldhatod algebra nélkül” – mondja Udodov, kezét az abakusz felé nyújtva és sóhajtva. – Tessék, hadd lássam…

Rákattint az abakuszra, 75-öt és 63-at kap, amire szüksége volt.

- Itt, uram... véleményünk szerint tanulatlan módon.

Magát a „meg nem tanult” megoldást nem Csehov adja meg a történetben, de könnyen rekonstruálható, hiszen a feladatnak van egy logikán alapuló, hat számtani művelet elvégzéséből álló standard aritmetikai megoldás. Tegyük fel, hogy az összes vásárolt ruha kék volt. Ekkor egy 138 arshin tétel 690 rubelbe kerülne ( ). De ez 150 rubel ( ) több, mint amennyit ténylegesen fizettek. A 150 rubel „túlköltés” ​​azt jelzi, hogy a partinak olcsóbb, fekete ruhája volt - 3 rubel arshinenként. Ebből a kendőből annyi van, hogy a két rubel különbségből ( ) 150 "extra" rubelt kapunk. Vagyis 75 arshin ( ) fekete szövet. Most megtaláljuk a kék kendő mennyiségét: 63 arshin ( ).

Az Udodov által végzett „számlákrakattintás” így nézett ki:

1. A 138-as számot „pontozzák” a számlákon: egy csont az első vezetéken, három a másodikon, nyolc a harmadikon.
2. Megszorozzuk 138-cal 5-tel. A számolás egyszerűsítése érdekében ehelyett először megszorozza 138-at 10-zel anélkül, hogy bármiféle manipulációt végezne, egyszerűen mentálisan áthelyezi az összes csontot egy sorral feljebb, majd elosztja 2-vel: minden vezetéken, kezdve alulról a csontok felét visszahajtjuk. A harmadik vezetéken, ahol nyolc csont van lerakva, négyet dobnak vissza; a három csont közül kettőt a középső vezetéken visszahajtjuk, míg az egyiket szellemileg tíz alsóra cseréljük, és kettéosztjuk – azaz öt csontot adunk a következő vezetéken lévő csontokhoz; egy csontot eltávolítunk a felső drótról, ötöt hozzáadva a második vezeték csontjaihoz. Ennek eredményeként a felső vezetéken nincsenek csontok, a másodikon hat, a harmadikon kilenc maradt. .
3. 540-et levonunk 690-ből: öt csontot távolítunk el a második vezetékből, négyet a harmadikból. .
4. 150-et ketté kell osztani (módszer - lásd fent). .
5. 138-ból kivonjuk a 75-öt. A 138-at ismét „beszervezzük”, eldobják a második vezetéken, de csak három van. Négy nem elég, így hat csont marad a vezetéken (ha Udodov lusta ahhoz, hogy gondolatban tízből kivonja a négyet, akkor az egész tízet rádobhatja a bal oldali második vezetékre, és kidobhatja róla az „alulvont” négy csontot. ), és eltávolítanak egy csontot az első vezetékről. Most a harmadik vezetéken nyolc csontból ötöt eldobnak. .

A tanároknak ajánlott műalkotásokból származó matematikai feladatokat használni, beleértve Csehov „Tutor” című történetét [13] [14] az általános iskolai órákon .

Lásd még

• Gép hozzáadása
• Számológép

Jegyzetek

1. ↑ Hírek 20:00-kor 2021.01.12-től - YouTube
2. ↑ Yu. Sitsko. A legősibb abakusz // "Komsomolskaya Pravda", 1986. szeptember 12.
3. ↑ Szpasszkij, 1952 , p. 272.
4. ↑ Szpasszkij, 1952 , p. 417.
5. ↑ Szpasszkij, 1952 , p. 270.
6. ↑ Szpasszkij, 1952 , p. 369-370.
7. ↑ Nikon pátriárka házi kincstárának népszámlálási könyve // ​​"Vremennik az Orosz Történeti és Régiségek Császári Moszkvai Társasága", 15. könyv . - M. , 1852. - S. 117.
8. ↑ Szpasszkij, 1952 , p. 320.
9. ↑ Ókori számítógépek (elérhetetlen link) . Archiválva az eredetiből 2009. július 27-én. (határozatlan) 
10. ↑ Ja. I. Perelman. Szórakoztató aritmetika. 7. számú feladat . Letöltve: 2010. augusztus 27. Az eredetiből archiválva : 2011. július 17. (határozatlan)
11. ↑ Kiryushin, 1925 , p. 17-23.
12. ↑ Perelman Ya. I. Szórakoztató aritmetika: Rejtvények és érdekességek a számok világában. - M.-L.: Gonti, 1938. - S. 30-33.
13. ↑ Sergeeva L. A. A matematika órák esztétikai lehetőségei az általános iskolában // A modern általános iskola oktatási és oktatási funkcióinak megvalósítása: elektronikus cikkgyűjtemény az X. Összoroszországi tudományos és gyakorlati konferencia "Pedagógiai olvasmányok a memóriában" anyaga alapján A. A. Ogorodnikov professzor” (2019. február 6. város, Perm, Oroszország) / összesen. szerk. L. V. Selkina; Permi Állami Humanitárius és Pedagógiai Egyetem. - Perm, 2019. - S. 187-188.
14. ↑ Shvetsova R. F. Irodalmi művek matematikaórákon az általános iskolában // A Szövetségi Állami Oktatási Szabvány végrehajtása az általános iskolában: innovatív megközelítések az oktatási folyamat megszervezéséhez: a Köztársasági Tudományos és Módszertani Konferencia közleményeinek gyűjteménye (2019. március 28.) , Jakutszk). - Kirov: MCITO, 2019. - 109. o.

Irodalom

• Kiryushin E.D. Számlák számításai . - 6. kiadás - M . : Középen. T-vo "Szövetkezeti Kiadó", 1925.
• Szpasszkij I. G. Az orosz beszámolók eredete és története // Történelmi és matematikai kutatás . - M. : GITTL, 1952. - 5. sz . - S. 269-420 .

Linkek

• "Hogyan számíthatunk a számlákra"

golyós számológép
Golyós számológép Orosz abakusz Soroban suanpan Yupana