Ábrázoló geometria

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A leíró geometria  egy mérnöki tudományág, amely egy kétdimenziós geometriai berendezést és egy algoritmuskészletet képvisel a geometriai objektumok tulajdonságainak tanulmányozására.

A gyakorlatilag leíró geometria a háromdimenziós euklideszi térben lévő objektumok tanulmányozására korlátozódik . A kiindulási adatokat két független vetületként kell bemutatni. A legtöbb feladatban és algoritmusban két egymásra merőleges síkra merőleges vetületet használnak.

A tudományágnak jelenleg nincs gyakorlati értéke a számítástechnika és a lineáris algebra apparátusának fejlődése miatt , de a mérnöki és építőipari szakokon az általános mérnökképzés részeként valószínűleg nélkülözhetetlen.

A leíró geometria  egy olyan tudomány, amely térbeli alakzatokat vizsgál úgy, hogy merőlegeseket vetít (rak) három síkra, amelyeket azután egymással kombinálva tekintenek.

A tárgyak ábrázolásának szokásos módja szerint a szemlélő szemétől távol nyúló vonalakat, bár ábrázolják, annak megfelelően, ahogyan számunkra megjelennek, lerövidítik, de ezt a redukciót általában a rajzoló határozza meg szemmel, és bár bizonyos esetekben fényképezéssel pontosan átadható, de továbbra is nehéz meghatározni azt a viszonyt, amelyben az ábrázolt tárgy különböző vonalai összehúzódtak; ráadásul a fényképezés sok esetben perspektíva hibához is vezet. Bármely mester, legyen az asztalos, lakatos, esztergályos, kőfaragó stb., csak akkor tudja a megrendelt terméket a megrendelő kívánsága szerint elkészíteni, ha mintára, vagy modelljére, vagy tervére pontosan ugyanazt a terméket kapja. rajz , amely szerint az összes megrajzolt vonal mérete könnyen és pontosan meghatározható lenne, még akkor is, ha azokat, amelyek a kép mélységébe kerültek, és ezért rövidítve vannak ábrázolva. A leíró geometria megtanítja olyan rajzok készítését, amelyeken a tárgyat szinte úgy ábrázolják, ahogyan mi látjuk, ráadásul úgy, hogy a megrajzolt vonalakból pontosan megállapítható legyen az ábrázolt tárgy mérete és valódi megjelenése.

A leíró geometria létrejöttének története

1798-ban megjelent klasszikus művében, a „Geometrie descriptive” („Leíró geometria”) Gaspard Monge kidolgozott egy általános geometriai elméletet , amely lehetővé teszi különböző sztereometriai problémák megoldását egy háromdimenziós test merőleges vetületeit tartalmazó sík lapon . ] .

Megalkotta a valós tér absztrakt geometriai modelljét , amely szerint a háromdimenziós tér minden pontjához hozzárendelnek két merőleges vetületet egymásra merőleges síkra. Idővel a leíró geometria szabályai szerint megépített vetületi rajz munkaeszközzé válik minden ország mérnökei , építészei és technikusai számára. [egy]

Monge elméletében a „ vízszintes”, „vízszintes vetítési vonal” és „vízszintes vetítési sík” kifejezéseket, valamint a „függőleges”, „függőleges vetítési vonal” és „függőleges vetítési sík” kifejezéseket használta. A bevett kifejezések jelenléte a szakmai környezetben Monge szerint elegendő ok arra, hogy megtagadjuk az általánosabb elvont terminológia forgalomba hozatalát:

„Ráadásul mivel a vetítési módszert alkalmazó szakemberek többsége. megszokták, hogy a vízszintes sík helyzetével és a függővonal irányával foglalkoznak, általában azt feltételezik, hogy a két vetületi sík közül az egyik vízszintes, a másik függőleges .

Terminológia

Alapelvek

Képzeljük el, hogy az O pontban (1. ábra) egy ember szeme van, aki egy AB tárgyat néz. Képzeljünk el egy MN síkot a szem és a tárgy között, amely merőleges arra az egyenesre, amely mentén a szem néz. Rajzoljunk egyenes vonalakat O -tól az objektum azon pontjaiig, amelyek az alakját jellemzik. Ezek a vetületi sugaraknak nevezett vonalak különböző pontokban metszik az MN síkot. Az ilyen ab pontok halmaza alkotja az AB objektum képét, amely annak képeként szolgál. Ezért az MN síkot képsíknak nevezzük . A vetítési nyaláb és a kép síkjának metszéspontját a tárgy azon pontjának központi vetületének vagy perspektívának nevezzük , ahonnan az adott vetületi nyaláb jön. A tárgy ábrázolásának ezt a módját perspektívának nevezik. Ha ahelyett, hogy a tárgy pontjaiból a szem felé projekciós sugarakat vezetnénk, a tárgy pontjaiból a merőlegeseket leengedjük a kép síkjába, akkor az eredményül kapott kép, amelyet e merőlegesek alapjainak összessége reprezentál megőriznek némi hasonlóságot a perspektívával. Valójában minél jobban eltávolítjuk az O pontot az objektumról, a vetületi sugarak annál inkább közelítik a kép síkjával párhuzamosan és merőlegesen lévő pozíciót. Az ilyen képet ortogonális vetületnek nevezzük . Tehát egy merőleges vetítésben az objektum minden pontját a merőleges alapja ábrázolja, leengedve róla a kép síkjára. Egy adott rajzból és más konstrukciókból valós méretek megállapítása összehasonlíthatatlanul egyszerűbb ortogonális tervezéssel, mint perspektívával .

A leíró geometria fő gondolata a következő: ha egy objektumnak két síkon két merőleges vetülete van, amelyek az objektumhoz képest különböző módon helyezkednek el, akkor viszonylag egyszerű konstrukciók segítségével ezen a két képen megkaphatja az igazat. az objektum méretei, lapos vonalainak valódi formája és bármely adott harmadik síkra merőleges vetülete. Ehhez persze tudni kell, hogy az adott két merőleges vetületet milyen léptékben adták meg, vagyis általánosságban milyen szempontból kicsinyítették vagy nagyították a teljes rajzot a valósághoz képest. Általában egy objektum nézetét merőleges vetületei alapján állítják be olyan két síkra, amelyek közül az egyik vízszintes , és a másikat függőleges és homlokzatnak nevezik . Vízszintes és függőleges vetítési síknak is nevezik. Egy tárgynak a tervre és homlokzatra merőleges síkra merőleges vetületét oldalnézetnek nevezzük. A leíró geometria egy nagyon fontos technikája abban rejlik, hogy a homlokzat síkját, oldalnézetét és minden más síkot, amelyre a tárgy vetítik, gondolatban ráhajtják a terv síkjára azáltal, hogy megfordítják azt az egyenest, amely mentén a terv metszi. összecsukott géppel. Ezt a technikát illesztésnek nevezik . Egy ilyen kombinált rajzon már további konstrukciók készültek , az alábbiak szerint. Mivel minden objektum pontgyűjtemény, ezért mindenekelőtt meg kell ismerkedni a pont tervének és homlokzatának képével a kombinált rajzon.

Legyen a (2. ábra) adott pont; P tervsík; A homlokzat Q síkja. A merőlegest a - ról a tervre ejtve megkapjuk az a pont a ' tervét ; a merőlegest a homlokzatra ejtve az a pont b homlokzatát kapjuk . Az aa' és ab merőlegeseket projektvonalnak nevezzük. A vetületi egyenesek által meghatározott baa' síkot vetületi síknak nevezzük. Ez merőleges mind a tervre, mind a magasságra, ezért merőleges a sík és a magassági síkok metszéspontjára, amelyet közös vágásnak neveznek. Legyen a o az a pont, ahol a vetületi sík metszi a közös metszéspontot: a o a' és a o b merőlegesek lesznek a közös vágásra. A terv és homlokzat adott síkjainál az a pont helyzetét teljes mértékben meghatározza annak a' terve és a b homlokzat , mivel a az a'-ból a terv síkjára emelt merőleges metszéspontjában van , a b -ből a homlokzat síkjára emelt merőleges . Kombinált rajz készítéséhez forgassuk el a homlokzat Q síkját a nyíllal jelzett irányba, a közös vágás közelében, amíg egybe nem esik a terv síkjával. Ebben az esetben a b pont a" -ba esik . Így az a" pont , amely az a pont kombinált homlokzata , az a'a o merőleges folytatásán fog feküdni, az a' tervről egy közös vágásba süllyesztve.

ábrán látható kombinált rajz tehát. 3 ahol MN a közös rés; a'  a terv, a" pedig az a pont kombinált  homlokzata , amely maga már nem látható.

A leíró geometria csak az egymásra helyezett rajzokkal foglalkozik; minden pontot a terv és a kombinált homlokzat adja; A közönséges technikákkal kitöltött rajzokhoz (amelyek az 1., 2. és 5. ábrán láthatók) csak e tudomány tanulmányozásának kezdetén folyamodunk.

Egyenes vetülete

Egy egyenest két pont határoz meg. Ezért ha van egy vonalon fekvő két a és b pontból egy terv és homlokzat (összevonva), akkor az a és b pontokat összekötő a'b' egyenes az ab és az a"b" egyenes terve lesz. az a és b pont homlokzatát összekötő ab vonal homlokzata lesz . A 4. ábra az ab egyenest mutatja annak tervével és homlokzatával.

Tipikus trükkök

Egy egyenes szakasz valódi hosszának meghatározása tervvel és vetülettel

Használjuk a rajzot, a szokásos módon végrehajtva (5. ábra).

Legyen ab az adott egyenes szakasz, a'b' a terve és "b" a magassága. Fordítsuk meg az a'abb' síkot az a'b' egyenes körül , és hajlítsuk meg a'b'BA pozícióba a tervsíkon . Ebben az esetben az ab szakasz az AB pozíciót veszi fel . Következésképpen:

Aa' = aa' = a "a o Bb' = bb' = b "b o

Az a'a és b'b egyenesek a'b'-re való merőlegessége nem változott, ezért annak valódi hosszának meghatározásához egy egyenes szakasz adott tervéből és homlokzatából kombinált rajzon (6. ábra) a következőket kell tennie: vissza kell állítani a ' és b' helyről az a'b' tervre merőlegesre, és rá kell tenni: a'A=a o a" ; b'B=b o b" .

Az AB egyenes egyenlő lesz az ab egyenes valódi hosszával . Ebben a példában azt látjuk, hogy a szokásos módon végrehajtott 5. rajzon az ab egyenes az általunk látott módon lerövidített formában van ábrázolva, és mivel ennek a rövidítésnek a mértéke ismeretlen, nem lehet meghatározni. a valós ab távolság az 5. rajztól. Eközben a 6. rajzon, bár magát az ab vonalat nem ábrázoltuk, csak annak a'b' terve és a homlokzat a"b" van megadva , akkor ezekből teljes pontossággal meg lehet határozni az általuk ábrázolt vonalat.

Egy pont oldalnézetének meghatározása annak terve és homlokzata szerint

Legyen a' egy adott pont terve és a" homlokzata (7. ábra), míg az oldalnézet síkja metszi a terv síkját az egyenes mentén , a homlokzat síkját pedig az om egyenes mentén. .

Ha a terv és a homlokzat síkjait kombináljuk, az om és on ugyanazon az mn egyenesen fog feküdni , merőlegesen MN -re , mivel feltételezzük, hogy az oldalnézet síkja merőleges a terv és a homlokzat síkjaira. Feltételezzük, hogy a három sík kombinációja a következőképpen történt: először az oldalnézet síkját om körüli elforgatással kombinálták a homlokzat síkjával; majd mindkettőt MN körüli elforgatással a terv síkjához igazítottuk, ami a rajz síkja. Nem nehéz belátni, hogy ebben az esetben az a pont oldalnézetének a " s távolsága MN -től egyenlő lesz a o a" -val, és az a'" távolság om -tól egyenlő lesz a o -val. Ebből a következő konstrukciót kapjuk: amikor a' és a " , akkor MN -re merőleges mn -t húzunk, és a' -ból merőlegest a'q - t ejtünk rá ; oq sugárral o középpontból egy ívet írunk le, amely metszi MN az s pontban , az s -ből visszaállítjuk az MN-re merőlegest. Ennek a merőlegesnek a metszéspontja az a " homlokzaton MN -nel párhuzamosan húzott vonallal , és oldalnézetben a'" lesz .

Sokszög oldalnézet meghatározása

Ha adott (8. ábra) a sokszög oldalainak alaprajza és homlokzata, és ennek következtében csúcsai, akkor a csúcsok oldalnézeteit építve megkapjuk a sokszög oldalnézetét is. Mivel sok ponttal foglalkozunk a rajzon, célszerű számokkal megjelölni őket.

A tervező szemszögéből egy „oldalnézet” (pontosabban profilvetítés vagy bal oldali nézet) készítésének hasonló technikája nem teszi lehetővé a rajz sikeres elrendezését. Ez utóbbi biztosításához nem megfelelő a koordinátatengelyek használata, mivel ez korlátozza a rajz elrendezését, és arra kényszeríti, hogy állandóan ugyanazt a távolságot tartsa be az elülső, a felső és a bal nézet között, ami legtöbbször nem kívánatos. Egy harmadik építéséhez az eredeti bármely két típusa szerint kényelmes a rajz elrendezése, a koordinátatengelyek helyett a képekhez (nézetekhez) kötött „referenciabázisok” segítenek.

Doboz kivetítése

Általában a terv és a homlokzat síkjainak olyan helyzetébe vannak beállítva, amelyben az adott objektumot egyszerű rajzzal rájuk vetítik, és már ennek a tervnek és homlokzatnak megfelelően építik fel az objektum vetületét egy ilyen síkra. amelyen teljes összetettségében ábrázolják. Az eredeti terv és homlokzat akár úgy is megválasztható, hogy az objektum egyes méretei ne torzuljanak el rajtuk. Ezt mutatjuk be a következő példán a paralelepipedon képén (9. ábra).

Képzeljük el, hogy a paralelepipedon az egyik élével a terv síkján fekszik, hátsó és elülső bázisa pedig párhuzamos a homlokzat síkjával. Ezután ezeket az alapokat a homlokzatra vetítik, egymást átfedve (egymást eltakarva), de valódi formájukban. A tervre vetületet kapunk, amelyben a tervvel párhuzamos élek értéke megmarad. Gondolatban forgassuk meg a paralelepipedont egy bizonyos függőleges körül, és vigyük egy kicsit oldalra. Ekkor a terve ugyanilyen szögben elfordul, és félrekerül. Ahhoz, hogy megkapjuk az új pozíció tervét, húzunk egy 1'3' egyenest, amely bizonyos szöget zár be az előző terv 1 3 irányával, és erre az egyenesre építünk egy, az előző tervvel megegyező ábrát. a hétköznapi geometria módszerei. Az új pozíció homlokzatának csúcsai az új terv csúcsaiból közös vágásba süllyesztett merőlegesekre fekszenek. Ráadásul az egykori homlokzat csúcsaiból a közös vágásba húzott párhuzamokon fognak feküdni, mert a paralelepipedon említett mozgása során csúcsai a terv síkjától egy magasságban maradtak. Tehát az említett merőlegesek és párhuzamosságok metszéspontjai lesznek az új homlokzat csúcsai. Ezeket összekapcsolva és gyengébb vonással ábrázolva a paralelepipedon által eltakart vonalakat, olyan képet kapunk róla, amelyen már mind a 12 éle látható. A paralelepipedon képénél elég a széleit ábrázolni, az ívelt felület képéhez pedig elég a legjellemzőbb vonalait ábrázolni, amelyek között kiemelten fontos a látható kontúr - az a  görbe, amely mentén a vetületi vonalak. érintse meg a felületet.

Két körhenger metszéspontja

Az íves felületek ábrázolásának tisztázása érdekében nézzük meg a H. geometria alkalmazását a következő gyakorlati kérdésre. Két kazánlemezből szegecselt csövet kell egymáshoz kötni úgy, hogy az egyik cső a másikra merőlegesen a vastagságának több mint felével belevágjon. Ehhez ablakot kell készíteni az egyik csőbe (mondjuk a nagyobbba), amit természetesen kényelmesebb beépíteni abba a lapba, amelyből a nagy cső készül, miközben még nem szegecselt. Meg kell határozni az ablak alakját, amelyet a nagy cső elkészítéséhez használt lapba kell vágni.

Legyen (10. ábra) a terv síkja merőleges a nagycsőre, a homlokzat síkja pedig párhuzamos mindkét cső tengelyével. Ekkor a nagycső terve a 036 -os kör lesz, homlokzatát pedig az ABCD téglalap ábrázolja. A kiskémény terve mnpq és homlokzati abcd lesz. Legyen HF a kiscső átmérős és sík párhuzamos síkjának homlokzata. Az nm -en , akárcsak az átmérőn, az ív nsm-ét írjuk le. Vegyünk egy h5 generatrixot egy kis csőből, és határozzuk meg a csövek azon kölcsönös metszéspontjának homlokzatát, amely ezen a generátoron fekszik, és amelynek a terve ezért az 1. pont. A pont kívánt homlokzatának először is feküdnie kell az 1. pontból közös metszetre süllyesztett merőlegesen. Másodszor, a HF - től a hs-vel egyenlő HS magasságban fog feküdni . Tehát az S pont a szükséges homlokzat. Más generátorok megadásával és a csövek kölcsönös metszéspontjainak homlokzatának megépítésével számos pontot kapunk, amelyek csatlakozása a csövek metszéspontjának homlokzata lesz. Most bontsuk ki a 036-os félkört . Ezt a feladatot csak megközelítőleg lehet végrehajtani. Kellő közelítéssel megoldható, ha egy félkör hosszát egy beírt négyzet oldalának és egy szabályos beírt háromszög oldalának összegének vesszük. A beírt négyzet oldala a 36 húr , a háromszög oldala a 04 húr lesz , ha a számok a félkör 6 részre osztását jelzik. Ezeknek az akkordoknak az összegét egy speciális rajzon ábrázoljuk (11. ábra), és 6 részre osztjuk. Legyen PQ a kis cső említett átmérős síkja: párhuzamosan kell húzni a 012… egyenessel OP=AE távolságban . Az 1. osztásból visszaállítva a 012… egyenesre merőlegeset, és a PQ -val való metszéspontjából félretéve a hs'=hs=HS értéket , megkapjuk a kívánt görbe s' pontját , amely mentén az ablakot ki kell vágni. lap MN . Ugyanígy a kívánt görbe többi pontját is megkapva pontosan ezt a rajzon látható görbét határozzuk meg (11. ábra).

Történelem

A leíró geometriát G. Monge dolgozta ki 1760-1770-ben, amikor a Mézières-i Műszaki Iskola tanáraként az erődítmények domborművének kiszámításával bízták meg.

Ez szorosan kapcsolódik az árnyékelmélethez és az axonometrikus vetítés módszeréhez .

Bevezetés

A leíró geometria a mérnökképzés alapját képező tudományok egyike .

A leíró geometria tárgya a háromdimenziós objektumok kétdimenziós rajzsíkon való ábrázolására és megépítésére szolgáló módszerek bemutatása és indoklása, valamint a geometriai ( rajzi ) jellegű problémák e képekkel való megoldásának módszerei .

A leíró geometria szabályai szerint épített képek lehetővé teszik:

A leíró geometria a műszaki rajzok gyakorlati megvalósításának elméleti alapja , biztosítva azok kifejezőképességét és pontosságát . Ebből következően a valós alkatrészek és szerkezetek rajzai szerinti megfelelő gyártás lehetősége .

Egy vonalszakasz hossza

A tetszőleges vetítési síkkal párhuzamos térben elhelyezkedő vonalszakasz erre a síkra valós méretben (azaz torzítás nélkül) vetül.

Egy egyenes szakasz hosszát vetületei szerint egy derékszögű háromszög befogójaként definiáljuk, amelynek egyik szára ennek a szakasznak az egyik vetülete, a másik szár pedig a távolságok algebrai különbségének abszolút értéke . a szakasz másik vetületének végei a vetítési tengelyre .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 Kargin D. I. Gaspard Monge és „Leíró geometriája” / Függelék Gaspard Monge „Leíró geometria” című könyvéhez / V. F. Gaze fordítása Kravets T. P. általános szerkesztésében - 1. - Leningrád, A Szovjetunió Tudományos Akadémiája1947, . - S. 254. - 291 p.
  2. ↑ Gaspar Monge. Leíró geometria / Fordította: Gaze V.F. A Kravets T.P. általános szerkesztésében - 1. - Leningrád, Szovjetunió Tudományos Akadémia, 1947. - S. 23. - 291 p.
  3. ↑ 1 2 3 Leíró geometria . CADInstructor (2018. július 5.). Letöltve: 2019. november 9. Az eredetiből archiválva : 2019. november 9..
  4. ↑ 1 2 3 Gordon V. O., Sementsov-Ogievsky M. A. Leíró geometria tanfolyam / Szerk.: Ivanov Yu. B. - 23. - Moszkva: Nauka, 1988. - S. 8. - 272 p.

Irodalom

Linkek

  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák
Bibliográfiai katalógusokban