Algebrai topológia

Az algebrai topológia (elavult név: kombinatorikus topológia ) a topológia egy része , amely a topológiai tereket algebrai objektumokkal ( csoportokkal , gyűrűkkel stb.) való összehasonlítás útján vizsgálja , valamint ezen objektumok viselkedését különféle topológiai műveletek hatására.

Alapvető módszerek

Az algebrai topológia módszerei azon a feltételezésen alapulnak, hogy az általános algebrai struktúrák egyszerűbbek, mint a topológiaiak.

Az algebrai topológia egyik fontos eszköze az úgynevezett homológiacsoportok (például egyszerű vagy szinguláris). Minden topológiai tér minden dimenzióban megfelel a saját Abel -féle homológiacsoportjának , és minden folyamatos leképezés egy csoporthomomorfizmusnak , a leképezések összetétele pedig a homomorfizmusok összetételének , az azonos leképezés pedig az azonos homomorfizmusnak . A kategóriaelmélet nyelvén ez azt jelenti, hogy a -edik homológiacsoport egy kovariáns funktor a topológiai terek kategóriájától az Abel-csoportok kategóriájáig. $x$ $n$ $H_{n}(X)$ $f:X\Y-ig$ $f_{*}:H_{n}(X)\H_{n}(Y)$ $fg$ $f_{*}g_{*}$ ${\mathrm {id}}$ ${\mathrm {id}}_{*}$ $n$

A különféle homológiaelméletek mellett (a rendkívüli homológia , mint a bordizmuselmélet vagy -elmélet mára nagyon fontossá vált ) a homotópiacsoportok fontosak az algebrai topológiában . Ezek közül a fő az úgynevezett fundamentális csoport , amely az összes többi dimenziójú csoportoktól eltérően lehet nem-ábeli. $K$ $\pi _{n}(X)$ $\pi _{1}(X)$

Példa egy technikára

Az algebrai topológiai módszerek alkalmazásának egyik klasszikus példája a Brouwer-féle fixpont-tétel bizonyítása . A tétel állítása az, hogy egy zárt dimenziós golyó önmagába való folyamatos leképezése fix ponttal rendelkezik, azaz . $n$ $f\colon D_{n}\to D_{n}$ $\exists x\colon f(x)=x$

A bizonyításhoz a következő lemmát használjuk: nincs -dimenziós golyó visszahúzása a határára, -dimenziós gömb (olyan folyamatos leképezés , amely a határ minden pontjára vonatkozik). Valóban: ha a leképezésnek nincsenek fix pontjai, akkor lehetséges egy gömb leképezése egy gömbre úgy, hogy a labda minden pontjára rajzolunk egy sugarat, amely kimegy és áthalad (fix pontok hiányában ezek különböző pontok); legyen a sugár és a gömb metszéspontja , és . A leképezés folyamatos, és ha a gömbhöz tartozik, akkor . Így egy golyó visszahúzódik egy gömbre, ami a lemma alapján lehetetlen. Ezért legalább egy fix pont létezik. $n$ $D_{n}$ $(n-1)$ $S_{{n-1}}$ $g:D_{n}\to S_{n-1},$ $g(x)=x$ $f$ $g$ $x$ $f(x)$ $x$ $y$ $S_{{n-1}}$ $g(x)=y$ $g(x)=y$ $x$ $g(x)=x$

A lemma bizonyításához feltételezzük, hogy létezik ilyen visszahúzás . Egy gömb golyóba való beágyazásához a következő tulajdonság érvényesül: a leképezések összetétele a gömb azonos leképezése (először , majd ). Továbbá látható, hogy , és . Ekkor a leképezés 0-ra való leképezés lesz, másrészt mivel , van — nem nulla homomorfizmus, hanem azonos izomorfizmus. $g$ $i(x)=x$ $gi={\mathrm {id}}$ $én$ $g$ $H_{{n-1}}(S_{{n-1}})={\mathbf {Z}}$ $H_{{n-1}}(D_{n})=0$ $g_{*}:H_{{n-1}}(D_{n})\–H_{{n-1}}(S_{{n-1}})$ $gi={\mathrm {id}}$ $g_{*}i_{*}={\mathrm {id}}_{*}:{\mathbf {Z}}\to {\mathbf {Z}}$

Brouwer tételének nem algebrai bizonyításai is ismertek, de a homológia bevezetése azonnal megkönnyítette számos olyan állítás bizonyítását, amelyek korábban úgy tűnt, nem kapcsolódnak egymáshoz.

Történelem

Az algebrai topológia néhány tételét már Euler is ismerte , például azt, hogy minden csúcsok , élek és lapok számával rendelkező konvex poliéderek esetén . $V$ $E$ $F$ $V-E+F=2$

Gauss és Riemann a topológiai kérdések iránt érdeklődtek .

De az algebrai topológia, mint tudomány létrehozásában a főszerepet Poincaré játszotta - ő birtokolja az egyszerű homológia és az alapvető csoport fogalmait. Jelentős hozzájárulást nyújtottak Alexander , Veblen , Lefschetz , Whitehead , Borsuk , Gurevich , Steenrod , Eilenberg , Serre , Tom , Atiyah , Hirzebruch , Bott , Adams , Smale , Milnor , Quillen ; A szovjet/orosz matematikusok közül meg kell jegyezni P. S. Aleksandrov , Kolmogorov , Pontryagin , Lyusternik , Rokhlin , Novikov , Fomenko , Koncevics , Voevodsky , Perelman .

Irodalom

Vasziljev V. A. Bevezetés a topológiába. — M.: Fazis, 1997
Wick J. W. Homológiaelmélet. Bevezetés az algebrai topológiába. — M.: MTsNMO, 2005
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Probléma tankönyv a topológiáról Archiválva : 2012. február 19. a Wayback Machine -nél
Dold A. Előadások az algebrai topológiáról. — M.: Mir, 1976
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometria: Módszerek és alkalmazások. - M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometria: Methods of homology theory. - M.: Nauka, 1984
Seifert G., Trefall W. Topology. - Izevszk: RHD, 2001
Kosniewski C. Az algebrai topológia kezdeti kurzusa. — M.: Mir, 1983
Lefshetz S. Algebrai topológia. — M.: IL, 1949
Novikov P. S. Topológia. - 2. kiadás, javítva. és további - Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2002
Prasolov V. V. A homológiaelmélet elemei. — M.: MTsNMO , 2006
Switzer R. M. Algebrai topológia – homotópia és homológia. — M.: Nauka, 1985
Spanier E. Algebrai topológia. — M.: Mir, 1971
Steenrod N., Eilenberg S. Az algebrai topológia alapjai. — M.: Fizmatgiz, 1958
Fomenko A. T., Fuchs D. B. A homotópia topológia kurzusa. - M.: Nauka, 1989

Hatcher A., Algebraic Topology - M.: MTsMNO, 2011. (Eredeti: Hatcher A. Algebraic Topology Archivált 2018. május 19-én a Wayback Machine -nél )

A matematika ágai

"Tudomány" portál

A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra

Számelmélet ( aritmetika )

Algebra
Elemi algebra	Egyenlet megoldás
Lineáris algebra	Vektorszámítás mátrixok Tenzorszámítás Multilineáris algebra
Általános algebra	Kommutatív algebra Reprezentációs elmélet Differenciálalgebra Homológiai algebra Univerzális algebra Kategória elmélet

Elemzés
Klasszikus elemzés	Differenciálszámítás Integrálszámítás
Függvényelmélet	Harmonikus elemzés Quaternion elemzés Komplex elemzés mértékelmélet Valós változó függvényeinek elmélete funkcionális elemzés Variációszámítás
Differenciál- és integrálegyenletek	Dinamikus rendszerek és ergodikus elmélet Differenciál egyenletek rendes részleges származékokban Integrálegyenletek
Vektor elemzés Globális elemzés Katasztrófaelmélet Egyéni elemzés Sima infinitezimális elemzés

Geometria és topológia
Geometria	Algebrai geometria Analitikus geometria Euklideszi geometria Nem euklideszi geometria Planimetria Sztereometria
Topológia	Általános topológia Algebrai topológia Differenciálgeometria és topológia

Diszkrét matematika
Kombinatorika gráfelmélet

Alkalmazott matematika
Matematikai fizika Matematikai kémia matematikai biológia Matek statisztika Matematikai modellezés Algoritmusok elmélete Numerikus módszerek matematikai közgazdaságtan pénzügyi matematika Valószínűségi elmélet Operációkutatás Játékelmélet

"Matematika" portál
"Matematika" kategória