Végtelenül kicsi és végtelenül nagy

Végtelenül kicsi – nullára hajló numerikus függvény vagy sorozat (amelynek határértéke egyenlő) nullával .

Végtelenül nagy - egy numerikus függvény vagy sorozat, amely egy bizonyos előjel végtelenségére irányul (amelynek a határa) .

A nem szabványos elemzésben az infinitezimálisokat és az infinitezimálisokat nem sorozatokként vagy változókként definiálják, hanem speciális számfajtákként.

Infinitezimálisok és nagyok számítása

Infinitezimális számítás - végtelenül kicsi mennyiségekkel végzett számítások, amelyekben a származtatott eredményt a végtelen kicsinyek végtelen összegének tekintjük . Az infinitezimálisok számítása a differenciál- és integrálszámítás általános fogalma, amelyek a modern felsőbb matematika alapját képezik . Az infinitezimális mennyiség fogalma szorosan összefügg a határ fogalmával.

Végtelenül kicsi

Egy sorozatot infinitezimálisnak nevezünk, ha . Például egy számsorozat végtelenül kicsi. $a_n$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ $a_{n}={\dfrac {1}{n}}$

Egy függvényt infinitezimálisnak nevezünk egy pont szomszédságában, ha . $x_{0}$ $\lim \limits _{{x\to x_{0}}}f(x)=0$

Egy függvényről azt mondjuk , hogy a végtelenben infinitezimális, ha valamelyik . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=0$ $\lim \limits _{{x\to -\infty }}f(x)=0$

Szintén végtelenül kicsi az a függvény, amely a függvény és a határértéke közötti különbség, vagyis ha , akkor , . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=a$ $f(x)-a=\alpha (x)$ $\lim \limits _{{x\to +\infty }}(f(x)-a)=0$

Hangsúlyozzuk, hogy az infinitezimális értéket olyan változó értékként (függvényként) kell érteni , amely csak a változása során [ a (tól )-ra való törekvés során ] lesz kisebb egy tetszőleges számnál ( ). Ezért például egy olyan állítás, mint "egy milliomod végtelenül kicsi érték", nem igaz: nincs értelme azt mondani egy számról [abszolút értékről], hogy az végtelenül kicsi. [egy] $x$ $a$ $\lim \limits _{{x\to a}}f(x)=0$ $\varepsilon$

Végtelenül nagy

Az összes alábbi képletben az egyenlőségtől jobbra lévő végtelenség egy bizonyos jelet jelent ("plusz" vagy "mínusz"). Azaz például egy mindkét oldalon korlátlan függvény nem végtelenül nagy -ra . $x\sin x$ $x\to +\infty$

Egy sorozatot végtelenül nagynak nevezünk, ha . $a_n$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty$

Egy függvényt végtelenül nagynak mondunk a pont szomszédságában, ha . $x_{0}$ $\lim \limits _{{x\to x_{0}}}f(x)=\infty$

A függvényről azt mondjuk , hogy a végtelenben végtelenül nagy, ha valamelyik . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=\infty$ $\lim \limits _{{x\to -\infty }}f(x)=\infty$

A végtelen kicsinyekhez hasonlóan itt is meg kell jegyezni, hogy a végtelenül nagy mennyiség egyetlen értéke sem nevezhető "végtelenül nagynak" - a végtelenül nagy mennyiség olyan függvény , amely csak a tetszőlegesen felvett számnál nagyobbá válhat . változás .

Infinitezimals tulajdonságai

Véges számú, végtelenül kicsi függvény algebrai összege egy végtelenül kicsi függvény.
Az infinitezimálisok szorzata végtelenül kicsi.
Egy infinitezimális sorozat és egy korlátos sorozat szorzata végtelenül kicsi. Következésképpen az infinitezimális konstans szorzata végtelenül kicsi.
Ha egy végtelenül kicsi jelmegőrző sorozat, akkor egy végtelenül nagy sorozat. $a_n$ $b_{n}={\dfrac {1}{a_{n}}}$

Infinitezimálisok összehasonlítása

Definíciók

Tegyük fel, hogy ugyanarra az értékre infinitezimális és (vagy, ami a definíció szempontjából nem fontos) infinitezimális sorozatunk van. $x\to a$ $\alpha(x)$ $\beta(x)$

Ha , akkor a kicsinység végtelenül kicsinysége magasabb, mint . Jelölje ki vagy . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0$ $\beta$ $\alpha$ $\beta =o(\alpha )$ $\beta\prec\alpha$
Ha , akkor egy infinitezimális kisebbségi rendű, mint . Ennek megfelelően ill . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha =o(\béta )$ $\alpha\prec\beta$
Ha (a határ véges, és nem egyenlő 0-val), akkor és ugyanolyan kicsinységi nagyságrendű végtelenül kicsi mennyiségek . Ezt a és a relációk egyidejű végrehajtásaként vagy egyidejű végrehajtásaként jelöljük . Megjegyzendő, hogy egyes forrásokban találkozni lehet olyan megjelöléssel, amikor a parancsok azonosságát egyetlen „big o” reláció formájában írják le, ami ennek a szimbólumnak a szabad használata. $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha\asymp\beta$ $\beta =O(\alpha )$ $\alpha =O(\béta )$
Ha (a határérték véges, és nem egyenlő 0-val), akkor egy végtelenül kicsi mennyiségnek a kicsinységének a harmadrendje van egy végtelen kicsihez képest . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c$ $\beta$ $m$ $\alpha$

Az ilyen határértékek kiszámításához célszerű a L'Hospital szabályát használni .

Összehasonlítási példák

Mert az érték a legnagyobb kicsinységi sorrenddel rendelkezik -hoz képest , mivel . Másrészt a legalacsonyabb kicsinységi sorrenddel rendelkezik -hoz képest , mivel . ${x\to 0}$ $x^{5}$ $x^{3}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0$ $x^{3}$ $x^{5}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty$

Az O -szimbólumok használatával a kapott eredményeket a következő formában írhatjuk fel .

x^{5}=o(x^{3})

$\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{2}+6x}{x}}=\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x+6 }{1}}=\lim \limits _{{x\to 0}}(2x+6)=6,$ azaz függvényekre és azonos rendű végtelenül kicsi mennyiségek. $x\-től 0-ig$ $f(x)=2x^{2}+6x$ $g(x)=x$

Ebben az esetben a bejegyzések ill

2x^{2}+6x=O(x)

x=O(2x^{2}+6x).

-on , egy végtelenül kicsi mennyiségnek harmadrendű a kicsinysége a -hoz képest , mivel az infinitezimal másodrendű, a végtelenül kicsi a 0,5 nagyságrendű. ${x\to 0}$ $2x^{3}$ $x$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{3}}{x^{3}}}=2$ $0{,}7x^{2}$ $\sqrt{x}$

Egyenértékű értékek

Definíció

Ha , akkor végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy mennyiségeket , és ekvivalensnek nevezzük (jelölése ). $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=1$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha \thicksim \beta$

Nyilvánvaló, hogy az ekvivalens mennyiségek a végtelenül kicsi (végtelenül nagy) azonos kicsinységi nagyságrendű mennyiségek speciális esetei.

-ra a következő ekvivalencia viszonyok érvényesek (az úgynevezett figyelemre méltó határok következtében ): $\alpha (x){\xjobbra nyíl[ {x\to x_{0}}]{}}0$

$\sin \alpha (x)\vastagság \alpha (x);$
${\mathrm {tg}}\,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
$\arcsin {\alpha (x)}\thiksim \alpha (x);$
${\frac {\pi }{2}}-\arccos {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x)$
${\mathrm {arctg}}\,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
$\log _{a}(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)\cdot {\frac {1}{\ln {a))}$ , ahol , ; $a>0$ $a\neq 1$
$\ln(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x);$
$a^{{\alpha (x)}}-1\vastagság \alpha (x)\cdot \ln {a}$ , hol ; $a>0$
$e^{{\alpha (x)}}-1\vastagság \alpha (x);$
$1-\cos {\alpha (x)}\thiksim {\frac {\alpha ^{2}(x)}{2));$
$(1+\alpha (x))^{\mu }-1\thicksim \mu \cdot \alpha (x),\quad \mu \in \mathbb{R}$ , ezért használja a következő kifejezést:

{\sqrt[ {n}]{1+\alpha (x)))\kb. {\frac {\alpha (x)}{n))+1

, hol .

\alpha (x){\xjobbra nyíl[ {x\to x_{0}}]{}}0

Tétel

Két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy mennyiség hányadosának (arányának) határa nem változik, ha az egyiket (vagy mindkettőt) egy ekvivalens értékre cseréljük .

Ennek a tételnek gyakorlati jelentősége van a határok megtalálásában (lásd a példát).

Használati példák

megtalálja $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}.$

Az ekvivalens értékkel helyettesítve kapjuk

\sin 2x

2x

\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}=\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x}{x}}= 2.

megtalálja $\lim \limits _{{x\to {\frac {\pi }{2)))){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x)).$

Mióta megkaptuk _

\sin(4\cos x)\vastagság {4\cos x}

x\to {\dfrac {\pi }{2}}

\lim \limits _{{x\to {\frac {\pi }{2)))){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x))=\lim \limits _{{ x\to {\frac {\pi }{2}}}}{\dfrac {4\cos x}{\cos x}}=4.

Számolja ki . ${\sqrt {1{,}2}}$

A : képlettel , számológéppel ( pontosabb számítások) azt kaptuk:, így a hiba 0,005 (kevesebb, mint 1%) volt, vagyis a módszer egyszerűsége miatt hasznos durva számtani becsléssel. gyökerei közel egyhez.

{\sqrt {1{,}2}}\approx 1+{\frac {0{,}2}{2}}=1{,}1

{\sqrt {1{,}2}}\kb 1{,}095

Történelem

A "végtelenül kicsi" fogalmát az ókorban az oszthatatlan atomok fogalmával kapcsolatban tárgyalták, de nem került be a klasszikus matematikába. A 16. századi „oszthatatlanok módszerének” megjelenésével – a vizsgált figura végtelen kis részekre bontásával – újjáéledt .

Az infinitezimális kalkulus algebraizálása a XVII. Ezeket olyan számértékekként kezdték meghatározni, amelyek kisebbek bármely véges (pozitív) értéknél, és mégsem egyenlők nullával. Az elemzés művészete az infinitezimálisokat ( differenciálokat ) tartalmazó reláció felállításából , majd annak integrálásából állt .

Az infinitezimál fogalmát erősen kritizálták a régi iskola matematikusai . Michel Rolle azt írta, hogy az új kalkulus „ zseniális hibák halmaza ”; Voltaire mérgezően rámutatott, hogy ez a számítás az olyan dolgok kiszámításának és pontos mérésének művészete, amelyek létezését nem lehet bizonyítani. Még Huygens is elismerte, hogy nem értette a magasabb rendű különbségek jelentését .

A Párizsi Tudományos Akadémia vitái az elemzés igazolásának kérdéseiről olyan botrányossá váltak, hogy az Akadémia egyszer megtiltotta tagjainak, hogy ebben a témában egyáltalán felszólaljanak (ez főleg Rolle és Varignon volt). 1706-ban Rolle nyilvánosan visszavonta kifogásait, de a megbeszélések tovább folytatódtak.

1734-ben a híres angol filozófus, George Berkeley püspök kiadott egy szenzációs röpiratot, amelyet "Az elemző " rövidített címen ismertek . A teljes címe: " Analitikus vagy okoskodás egy hitetlen matematikushoz, ahol azt vizsgálják, hogy a modern elemzés tárgya, alapelvei és következtetései tisztábban érzékelhetők-e vagy világosabban levezethetők-e, mint a vallási szentségek és hittételek ." Az Elemző szellemes és sok tekintetben méltányos kritikát fogalmazott meg az infinitezimális számítással kapcsolatban. Berkeley a logikával összeegyeztethetetlennek tartotta az elemzési módszert, és azt írta, hogy „ bármennyire is hasznos, csak egyfajta sejtésnek tekinthető; ügyesség, művészet, vagy inkább trükk, de nem tudományos bizonyítási módszerként .” Idézve Newton mondatát az aktuális mennyiségek növekedéséről „születésük vagy eltűnésük legelején”, Berkeley ironikusan: „ ezek nem véges mennyiségek, nem végtelenül kicsik, de még csak semmi sem. Nem nevezhetnénk őket holt nagyságrendű fantomoknak?.. És hogyan beszélhetnénk olyan dolgok közötti kapcsolatról, amelyeknek nincs nagysága?.. Aki meg tudja emészteni a második vagy harmadik fluxust [származékot], a második vagy harmadik különbséget, az ne , ahogy számomra úgy tűnik, hogy bármiben hibát találjak a teológiában .

Lehetetlen – írja Berkeley – elképzelni a pillanatnyi sebességet, vagyis a sebességet egy adott pillanatban és egy adott pontban, mert a mozgás fogalmába beletartoznak a (véges, nem nulla) tér és idő fogalmai.

Hogyan éri el az elemzés a megfelelő eredményt? Berkeley arra a következtetésre jutott, hogy ennek oka a kölcsönös kompenzáció analitikai következtetéseinek számos hibája, és ezt egy parabola példájával illusztrálta. Ironikus módon néhány jelentős matematikus (például Lagrange ) egyetértett vele.

Volt egy paradox helyzet, amikor a matematikában a szigor és a termékenység zavarta egymást. A rosszul definiált fogalmakkal járó jogellenes cselekmények ellenére a közvetlen hibák száma meglepően csekély volt – az intuíció segített. Ennek ellenére a 18. század folyamán a matematikai elemzés gyorsan fejlődött, lényegében nem volt indokolt. Hatékonysága elképesztő volt, és önmagáért beszélt, de a differenciálmű jelentése még mindig homályos volt. Különösen gyakran keverték össze egy függvény infinitezimális növekményét és annak lineáris részét.

A 18. század során óriási erőfeszítéseket tettek a helyzet korrigálása érdekében, amelyekben a század legjobb matematikusai is részt vettek, de az elemzés alapjait csak Cauchy tudta meggyőzően leépíteni a 19. század elején. Szigorúan meghatározta az alapfogalmakat - határ, konvergencia, folytonosság, differenciál stb., ami után a tényleges infinitezimálisok eltűntek a tudományból. Néhány fennmaradó finomságot később Weierstrass magyarázott el . Jelenleg a „végtelenül kicsi” kifejezés a matematikában az esetek túlnyomó többségében nem a számokhoz, hanem a függvényekhez és sorozatokhoz kapcsolódik .

A sors iróniájának tekinthető a 20. század közepén a nem szabványos elemzés megjelenése , amely bebizonyította, hogy az eredeti nézőpont - a tényleges infinitezimálisok - is konzisztens és az elemzés alapja lehet. A nem szabványos elemzés megjelenésével világossá vált, hogy a 18. századi matematikusok, akik a klasszikus elmélet szempontjából illegális cselekvéseket hajtottak végre, miért kaptak mégis helyes eredményeket.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Végtelenül kicsi és végtelenül nagy mennyiségek // Matematika kézikönyve (középiskola számára) / Tsypkin A. G., szerk. Stepanova S. A. - 3. kiadás. — M.: Nauka, Ch. kiadása a Phys.-Math. Irodalom, 1983. - S. 337-340. — 480 s.

Irodalom

Végtelenül kicsi és végtelenül nagy mennyiség // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.