Kolmogorov axiomatikája

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 8-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Kolmogorov axiomatikája egy általánosan elfogadott axiomatika a valószínűségszámítás matematikai leírására . Az eredeti változatot Andrej Nyikolajevics Kolmogorov [1] [2] javasolta 1929-ben, a végső változatot - 1933 -ban . Kolmogorov axiomatikája lehetővé tette, hogy a valószínűségelméletnek a modern matematikában elfogadott stílusát adja .

A valószínűségszámítás axiomatizálásának története

A valószínűségszámítás axiomatizálásának problémáját D. Hilbert „ A fizika alapjainak matematikai bemutatása” című 6. feladatának megfogalmazásában tartalmazza :

A geometria alapjainak kutatásával szorosan összefügg az axiomatikus konstrukció problémája ugyanazon fizikai tudományágak modelljére, amelyekben a matematika már most is kiemelkedő szerepet játszik: ez elsősorban a valószínűségelmélet és a mechanika . A valószínűségszámítás axiómáival kapcsolatban számomra kívánatosnak tűnik, hogy ennek az elméletnek a logikai alátámasztásával párhuzamosan az átlagok módszerének szigorú és kielégítő fejlesztése a matematikai fizikában , különösen a gázok kinetikai elméletében. , kéz a kézben kell járnia.

Kolmogorov előtt a valószínűségelmélet axiomatizálására tett kísérleteket G. Bolman [3] ( 1908 ), S. N. Bernstein [4] ( 1917 ), R. Mises [5] ( 1919 és 1928 ), valamint Lomnitsky A. [6] ( 1923 ) E. Borel [7] elgondolásai alapján a valószínűség és mérték fogalmának kapcsolatáról .

A. N. Kolmogorov a halmazok , mértékek, integráció , függvényelmélet gondolatai hatására egyszerű axiómarendszert fogalmazott meg (általában nem az egyetlen), amely lehetővé tette a valószínűségszámítás már létező klasszikus szakaszainak leírását. addigra lendületet ad új szakaszainak, például a sztochasztikus folyamatok elméletének fejlesztéséhez , és általánosan elfogadottá vált a modern valószínűségszámításban.

Kolmogorov elemi valószínűség-elmélet axiómái

Az elemi valószínűségszámítás a valószínűségelmélet azon része, amelyben csak véges számú esemény valószínűségével kell számolni. A valószínűségelméletet, mint matematikai diszciplínát, pontosan ugyanabban az értelemben lehet és kell axiomatizálni , mint a geometriát vagy az algebrát . Ez azt jelenti, hogy miután a vizsgált objektumok nevei és alapvető kapcsolataik, valamint az axiómák , amelyeknek ezeknek a kapcsolatoknak engedelmeskedniük kell, megadásra kerültek, minden további kifejtés kizárólag ezeken az axiómákon alapuljon , anélkül, hogy a szokásos konkrét jelentésre hagyatkozna. ezekről a tárgyakról és kapcsolatairól. A valószínűségszámítás axiomatizálását többféleképpen is meg lehet valósítani, mind az axiómák , mind az alapfogalmak, alapviszonyok megválasztása tekintetében. Ha magának az axiómarendszernek a lehetséges egyszerűségét és egy további elmélet felépítését célozzuk meg, akkor a legmegfelelőbbnek tűnik a véletlenszerű esemény fogalmának axiomatizálása és annak valószínűsége .

Legyen az elemek halmaza , amelyeket elemi eseményeknek nevezünk, és legyen a véletlenszerű eseményeknek (vagy egyszerűen eseményeknek) nevezett részhalmazok halmaza , és legyen az elemi események tere. $\Omega$ $\omega$ ${\mathcal {F}}$ $\Omega$ $\Omega$

I. axióma ( események algebra ) . az események algebrája. ${\mathcal {F}}$
Axióma II (az események valószínűségének megléte) . Minden eseményhezegynem negatív valós szám, amelyet az esemény valószínűségének nevezünk. $x$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathbf {P}}(x)$ $x$
III. axióma (valószínűség normalizálása) . . ${\mathbf {P}}(\Omega )=1$
IV. axióma ( a valószínűség additivitása ) . Ha az eseményekésnem metszik egymást, akkor $x$ $y$

{\mathbf {P}}(x+y)={\mathbf {P}}(x)+{\mathbf {P}}(y)

Az I-IV axiómákat kielégítő objektumok halmazát valószínűségi térnek nevezzük (Kolmogorov szerint: valószínűségi mező ). $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$

Az I-IV axiómarendszer konzisztens. Ezt mutatja a következő példa: egyetlen , — elemből és lehetetlen események halmazából áll (üres halmaz) , míg . Ez az axiómarendszer azonban nem teljes: a valószínűségszámítás különböző kérdéseiben különböző valószínűségi tereket vesznek figyelembe. $\Omega$ $\omega$ ${\mathcal {F}}$ $\Omega$ $\varnothing$ ${\mathbf {P}}(\Omega )=1,{\mathbf {P}}(\varnothing )=0$

Kolmogorov axiómák empirikus levezetése

Általában feltételezhető, hogy a figyelembe vett események rendszere , amelyhez bizonyos valószínűségek vannak hozzárendelve, események algebráját alkotja, amely elemként egy halmazt tartalmaz ( I. axióma , valamint a II. axióma első része - a valószínűség megléte ). Gyakorlatilag biztos lehet benne, hogy ha a kísérletet többször megismételjük, és ha az esemény előfordulásának számát jelöljük , akkor az arány alig tér el a -tól . Továbbá világos, hogy , így az Axióma II második része egészen természetesnek bizonyul. Egy eseményre mindig , ami miatt természetes a ( III. axióma ) megfogalmazása. Ha végül és nem kompatibilisek egymással (azaz események és nem metszik egymást részhalmazaiként ), akkor , ahol jelöli azoknak a kísérleteknek a számát, amelyeknek az eredménye események . Ez a következőket jelenti: ${\mathcal {F}}$ $x,y,z,\ldots ,$ $\Omega$ $n$ $m$ $x$ $m/n$ ${\mathbf {P}}(x)$ $0\leqslant m/n\leqslant 1$ $\Omega$ $m=n$ ${\mathbf {P}}(\Omega )=1$ $x$ $y$ $x$ $y$ $\Omega$ $m=m_{1}+m_{2}$ $p,m_{1},m_{2}$ $x+y,x,y$

{\frac {m}{n}}={\frac {m_{1}}{n}}+{\frac {m_{2}}{n}}.

Ezért célszerű feltenni

{\mathbf {P}}(x+y)={\mathbf {P}}(x)+{\mathbf {P}}(y)

( IV. axióma ).

A folytonossági axióma és a végtelen valószínűségi terek

Az elemi valószínűségelmélettel ellentétben az általános matematikai valószínűségelméletben levezetett tételek természetesen érvényesek végtelen számú véletlen eseményre vonatkozó kérdésekre is. Ez utóbbiak tanulmányozása során azonban lényegében új elveket alkalmaznak: feltételezzük, hogy az elemi valószínűségszámítás axiómái (I-IV) mellett a következők

V. axióma (a folytonosságé) . Csökkenő sorozathoz

x_{1}\supseteq x_{2}\ldots \supseteq x_{n}\supseteq \ldots

események olyanból ${\mathcal {F}}$

\bigcap _{{n}}x_{n}=\varnothing ,

egyenlőség van

\lim _{{n\rightarrow \infty }}{\mathbf {P}}(x_{n})=0.

A folytonosság axiómája a modern valószínűségszámítás egyetlen olyan axiómája , amely pontosan végtelen számú véletlenszerű esemény helyzetére vonatkozik. A modern valószínűség-elméletben általában csak egy ilyen valószínűségi teret neveznek valószínűségi térnek , amely ráadásul kielégíti a V axiómát . Valószínűségi terek az I-IV. axiómák értelmében Kolmogorov a valószínűségi terek kiterjesztett értelemben vett nevezését javasolta (Kolmogorov kiterjesztett értelemben a valószínűségek mezője ), jelenleg ezt a kifejezést rendkívül ritkán használják. Vegyük észre, hogy ha az eseményrendszer véges, akkor V axióma következik az I-IV axiómákból . A kiterjesztett értelemben vett valószínűségi terekkel rendelkező összes modell tehát kielégíti a V axiómát . Az I-V axiómarendszer következetes és hiányos. Ezzel szemben a végtelen valószínűségi terek esetében a V folytonossági axióma független az I-IV axiómáktól . $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$ ${\mathcal {F}}$

Mivel az új axióma csak a végtelen valószínűségi terekhez nélkülözhetetlen, szinte lehetetlen megmagyarázni empirikus jelentését, például, ahogyan az elemi valószínűség-elmélet axiómáival (I-IV) tették . Bármilyen valóban megfigyelhető véletlenszerű folyamat leírásakor csak véges mezőket - kiterjesztett értelemben vett valószínűségi tereket kaphatunk . A végtelen valószínűségi terek a tényleges véletlenszerű jelenségek idealizált sémáiként jelennek meg . Általánosan elfogadott, hogy hallgatólagosan olyan sémákra szorítkozunk, amelyek kielégítik a V axiómát , amely megfelelőnek és hatékonynak bizonyul a különböző tanulmányokban.

Végtelen valószínűségi terek és "ideális események"

Az elemi eredmények terén az események algebráját Borel-algebrának nevezzük, ha a -ból származó események összes megszámlálható összege -hez tartozik . A modern valószínűség-elméletben a Borel-esemény-algebrákat általában -esemény-algebráknak ( szigma-algebráknak ) nevezik. Adjunk meg egy valószínűségi teret kiterjesztett értelemben , ahol egy algebra és egy valószínűségi mérték rajta. Ismeretes, hogy létezik a legkisebb tartalmú szigma-algebra . Ráadásul korrekt ${\mathcal {F}}$ $\Omega$ $\sum _{{n}}x_{n}$ $x_{n}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ $\sigma$ $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},{\mathbf {P}})$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathbf {P}}$ ${\mathcal {F}}=\sigma ({\mathcal {F}}_{0})$ ${\mathcal {F}}_{0}$

Tétel (a folytatásban) . Egy nemnegatív, megszámlálhatóan összeadódó halmazfüggvényendefiniáltmindig kiterjeszthető mindkét tulajdonság (a nem negatív és a megszámlálható additívitás) megőrzésével az összes halmazra, ráadásul egyedi módon. $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0})$ ${\mathbf {P}}={\mathbf {P}}(\cdot )$ ${\mathcal {F}}$

Így minden kiterjesztett értelemben vett valószínűségi tér matematikailag helyesen kiterjeszthető egy végtelen valószínűségi térre , amelyet a modern valószínűség-elmélet egyszerűen valószínűségi térnek nevez . $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},{\mathbf {P}})$ $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$

Ugyanakkor a végtelen valószínűségi tér szigma-algebrájából származó halmazok csak a megfigyelések világában közvetlenül nem ábrázolható "ideális eseményeknek" tekinthetők. Ha azonban az ilyen "ideális események" valószínűségeit használó érvelés egy "valós esemény" valószínűségének meghatározásához vezet -ból , akkor ez a meghatározás nyilvánvalóan automatikusan konzisztens lesz empirikus szempontból. ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$

A "valószínűségelmélet axiomatikája" kifejezés kritikája

Néhány tudós[ ki? ] nem értenek egyet azzal, hogy Kolmogorov a valószínűségelméletet axiomatikus elméletté tette . Az érveik :

A valószínűség a való világ fogalma, ezért lehetetlen axiomatizálni, csak matematikai modellt lehet építeni . Például lehetetlen axiomatizálni a " híd " fogalmát, amely nem zavarja a hidak szilárdsági számítását a valódi hidakhoz hasonló tulajdonságokkal rendelkező matematikai modellek építésével.
Azt állítják, hogy Kolmogorov axiomatikája nem vezet be egyetlen új „alapfogalmat” ( amelyet pontként vagy egyenesként nem definiálunk ). Tehát ez csak egy meghatározás : " A valószínűség olyan korlátozott mérték , hogy ". Ugyanakkor a Kolmogorov-axiomatikát "Kolmogorov-modellnek" nevezik. Néha alternatív valószínűségszámítási modelleket adnak meg. $\operátornév P(\Omega )=1$

Egy másik nézet: a Kolmogorov-modellbe bevezetik az " események " fogalmát és a rajtuk végzett műveletek algebráját, amely izomorf a halmazok algebrájával . De a kvantumlogikában van egy másik eseményalgebra, más axiomatikának engedelmeskedik (és az ilyen algebrákat I. M. Gelfand tanulmányozta ), és a „ kvantumvalószínűség ” a klasszikustól eltérően épül fel (lásd például [8]). ).

Jegyzetek (irodalom)

↑ Kolmogorov A. N. A valószínűségszámítás alapfogalmai. - M. - L. : ONTI, 1936. - 80 p.
↑ Kolmogorov A. N. A valószínűségszámítás alapfogalmai. - 2. kiadás — M .: Nauka, 1974. — 120 p.
↑ Bohlmann G. Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung // Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici. - Róma, április 6-11. 1908.V.III. IIb évad. — Roma: Accademia dei Lincei, 1909.
↑ Bernshtein S. N. A valószínűségszámítás axiomatikus alátámasztásának tapasztalata // Soobshch. Kharkiv. Mat. Ob-va, 1917, szám. 15. o. 209-274.
↑ von Mises R. Grunflagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ztschr., 1919, v. 5. o. 52-99.
↑ Łomnicki A. Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fund. Math. , 1923, v. 4. o. 34-71.
↑ Borel E. Sur les probabilities denombrables et leurs applications arithmetiques // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909, 26. sz., p. 247-271.
↑ Holevo A. S. Kvantumvalószínűség és kvantumstatisztika. A tudomány és a technológia eredményei. Ser. Modern prob. mat. Fundam. irányok, 1991, 83, 5-132. Archiválva : 2012. április 7. a Wayback Machine -nél

Lásd még

A halmazelmélet axiomatikája
Események algebra
A Cox-tétel a valószínűségszámítás egy másik matematikai alapja
A kvantumvalószínűség egy másik axiomatizáció