Antiderivatív

Egy függvény antideriváltja (amelyet néha antiderivált vagy primitív függvénynek neveznek ) olyan függvény, amelynek deriváltja . Ez a valós változó matematikai elemzésének egyik legfontosabb fogalma ( komplex függvényekre is vannak általánosításai ennek a fogalomnak [1] ). $f(x)$ $f(x)$

Definíció

Adott függvény antideriváltjának nevezzük [ 2] azt a függvényt, amelynek deriváltja ( a teljes definíciós tartományban ), azaz . Az antiderivált keresése a differenciálással fordított művelet - ez utóbbi egy adott függvényhez képest megkeresi a deriváltját, és miután megtaláltuk az antideriváltat, mi éppen ellenkezőleg, egy adott deriválttal határoztuk meg az eredeti függvényt. $f(x)$ $F(x)$ $f$ $f$ $F'(x)=f(x)$

Az antiderivatívek azért fontosak, mert lehetővé teszik bizonyos integrálok kiszámítását . Ha egy integrálható folytonos függvény antideriváltja , akkor: $F$ $f$

\int\limits_a^bf(x)\, dx = F(b) - F(a).

Ezt az összefüggést Newton-Leibniz formulának nevezik .

Technikailag az antiderivatív megtalálása a határozatlan integrál kiszámítását jelenti , és magát a folyamatot integrációnak nevezik . Ennek az elméletnek a geometriára való alkalmazásához lásd az integrálszámítást . $f(x)$

Példa: a függvény antiderivatív a mert $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ $f(x)=x^{2},$ $F'(x)=f(x).$

Kétértelműség

Ha az antideriváltja , akkor a : konstans összeadásával kapott bármely függvény egyben antideriválta is . Így ha egy függvénynek van antideriváltja, akkor az egész antiderivált családba tartozik [2] , amit határozatlan integrálnak nevezünk és korlátok nélkül integrálnak írunk: $F$ $f$ $F$ $G(x) = F(x) + C$ $f$ $F(x)+C,$ $f(x)$

\int f(x)\, dx

Ennek a fordítottja is igaz: ha az antiderivatíva , és a függvény valamilyen intervallumon van definiálva , akkor minden antiderivált egy konstansban különbözik a -tól : mindig létezik olyan szám , hogy minden esetén . Az ilyen antiderivált gráfok egymáshoz képest függőlegesen el vannak tolva, helyzetük az értéktől függ, ezt a számot integrációs konstansnak nevezzük . $F$ $f$ $f$ $G$ $F$ $C$ $G(x) = F(x) + C$ $x$ $C.$ $C$

Például egy függvény antideriváltjainak családja a következő alakú: , ahol tetszőleges szám. $x^{2}$ $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}+C$ $C$

Ha egy függvény tartománya nem folytonos intervallum, akkor az antideriváltjainak nem kell konstanssal különbözniük [3] . Tehát például a függvény nem létezik nullán, így definíciós tartománya két intervallumból áll: és ennek megfelelően ezeken az intervallumokon két független antiderivált családot kapunk: , ahol egy állandó a és általánosságban véve egy másik állandó. itt : $f$ ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2))))$ $x>0$ $x<0.$ $-{\frac {1}{x}}+{\hat {C}}$ ${\hat {C))$ $x>0$ $x<0$

{\hat {C}}(x)=\left\{{\begin{aligned}C_{1},{\text{ if }}x<0\\C_{2},{\text{ if }}x>0\end{aligned}}\right.

Létezés

Minden folytonos függvénynek van egy antideriváltja , amelyek közül az egyik a változó felső határértékkel rendelkező integráljaként van ábrázolva : $f$ $F$ $f$

F(x) = \int\limits_a^xf(t)\,dt.

Vannak nem folytonos (nem folytonos) függvények is, amelyeknek van antiderivatívája. Például c nem folytonos helyen , hanem van egy antideriváltja -val . Nem folytonos korlátos függvényeknél célszerű az általánosabb Lebesgue-integrált használni a Riemann -integrál helyett . Az antiderivált létezésének szükséges feltétele, hogy a függvény az első Baire osztályba tartozzon , és teljesüljön rá a Darboux tulajdonság [2] . $f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ $f(0) = 0$ $x=0$ $F(x) = x^2 sin\frac{1}{x}$ $F(0) = 0$ $f$

Sok antiderivált, bár létezik, nem fejezhető ki elemi függvényekkel (azaz polinomokkal , exponenciális függvényekkel , logaritmusokkal , trigonometrikus függvényekkel , inverz trigonometrikus függvényekkel és ezek kombinációival). Például:

\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\, dx

Az ilyen függvények integrálja, ha létezik, numerikus integrációval megközelítőleg kiszámítható .

Antiderivatív tulajdonságok

A függvények összegének antideriváltja egyenlő a tagok antideriváltjainak összegével.
Egy konstans és egy függvény szorzatának antideriváltája egyenlő egy állandó és egy függvény antideriváltjának szorzatával.
Minden olyan függvénynek, amely egy intervallumon folytonos, van egy antiderivált és egy Riemann-integrál is . Általános esetben azonban az antiderivált léte és egy függvény integrálhatósága nem függ össze [4] :
- Az előjelfüggvény (sgn) Riemann szerint integrálható, de nincs antideriváltja (a nullánál fennálló szakadás miatt).
- A függvénynek (tegyük fel, hogy ) véges deriváltja van a szegmensen , így a függvénynek van egy antideriváltja (nevezetesen, ), de nem korlátozódik erre , ezért nem integrálható Riemann által. ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2))))$ $f(0)=0$ $[-1,1]$ $g(x);$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $[-1,1]$

Integrációs technika

Az antiderivatívákat sokkal nehezebb megtalálni, mint a származékokat. Erre több módszer is létezik:

az integráció linearitása lehetővé teszi az összetett integrálok részekre bontását,
szubsztitúciós integráció , amelyet gyakran trigonometrikus azonosságokkal vagy a természetes logaritmussal együtt alkalmaznak ,
alkatrészek integrálása a funkciók termékeivel végzett műveletekhez,
fordított láncú módszer , az alkatrészekkel történő integráció speciális esete,
a racionális törtek integrálásának módszere lehetővé teszi bármilyen racionális függvény integrálását (a számlálóban és a nevezőben polinomokkal rendelkező törtek),
Risch algoritmus - egy algoritmus bármely elemi függvény integrálására,
néhány integrál megtalálható a táblázatokban, lásd : Kategória:Integrálok listája .
többszöri integráláskor egy további technika is használható, például lásd dupla integrál és polárkoordináták , Jacobi és Stokes-tétel .
A számítógépes algebrai rendszerek segítenek automatizálni a fenti szimbolikus műveletek némelyikét (különösen a Risch-algoritmust), ami nagyon kényelmes, ha az algebrai számítások túl nehézkessé válnak.

Jegyzetek

↑ Komplex változók függvényeinek antiderivatívája . Letöltve: 2019. május 7. Az eredetiből archiválva : 2019. május 7. (határozatlan)
↑ 1 2 3 Antiderivatív //Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1984. - T. 4. - S. 237.
↑ Shibinsky, 2007 , p. 139-140.
↑ Gelbaum, B., Olmsted, J. Ellenpéldák az elemzésben = Counterexamples in Analysis. - M. : LKI, 2007. - S. 57, 51. - 258 p. — ISBN 978-5-382-00046-6 .

Irodalom

Vygodsky M. Ya. Magasabb matematika kézikönyve. - 12. kiadás - M .: Nauka, 1977. - 872 p.
Fikhtengol'ts G. M. Differenciál- és integrálszámítás tanfolyam három kötetben. - Szerk. 6. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 800 p.
Shibinsky VM Példák és ellenpéldák a matematikai elemzés során. oktatóanyag. - M . : Felsőiskola, 2007. - 543 p. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Linkek

Wolfram Integrator – integrálok online számítása a Mathematica segítségével
Matematikai asszisztens a weben – Symbolic Computing Online archiválva : 2008. december 1., a Wayback Machine -nél
Online Integrals Calculator archiválva : 2010. január 6. a Wayback Machine -nél