Integrációs állandó

A számításban egy adott függvény határozatlan integrálja (vagyis a függvény összes antideriváltjának halmaza) a társított tartományban csak egy additív integrációs állandóig van definiálva. Ez a konstans kifejezi az antiderivatívek szedésében rejlő kétértelműséget. az intervallumon van definiálva, és egy antiderivált , akkor a -tól származó összes antiderivált halmazát a függvények adják meg , ahol C egy tetszőleges állandó (ez azt jelenti, hogy C bármely értéke valódivá teszi az antideriváltat). Az egyszerűség kedvéért az integrálok listáiban az integrációs állandót néha elhagyják. ${\displaystyle {\displaystyle f(x)))$ ${\displaystyle F(x)))$ ${\displaystyle {\displaystyle f(x)))$ ${\displaystyle {\displaystyle f(x)))$ $F(x)+C$

Eredet

Bármely konstans függvény deriváltja nullával egyenlő. Ha egy függvényhez egy antideriváltat találunk , akkor tetszőleges C konstans hozzáadásával vagy kivonásával még egy antideriváltat kapunk, mivel . A konstans egy módja annak kifejezésére, hogy minden legalább egy antiderivált függvényben végtelen sok van. ${\displaystyle {\displaystyle f(x)))$ $F(x)$ $(F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)$

Legyen , és két univerzálisan differenciálható függvény. Tegyük fel, hogy minden x valós számra. Ekkor van olyan C valós szám, hogy minden x valós számra. Ennek bizonyítására vegye figyelembe, hogy . Így F helyettesíthető FG-vel és G egy 0 konstans függvénnyel annak bizonyítására, hogy mindenhol állandónak kell lennie egy differenciálható függvénynek, amelynek deriváltja mindig egyenlő nullával: . Bármely x esetén a Calculus alaptétele azzal a feltételezéssel együtt, hogy F deriváltja eltűnik, azt jelenti, hogy ${\displaystyle {\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ))$ $G:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }$ $F\,'(x)=G\,'(x)$ $F(x)-G(x)=C$ $[F(x)-G(x)]'=0$ $C=F(a)$

${\displaystyle {\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\ dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F( x)-C\\&F(x)=C\\\end{igazított}}}$

ezért F állandó függvény.

Ebben a bizonyításban két tény a döntő. Először is, a valódi vonal össze van kötve. Ha a valós vonal nem lenne összekötve, akkor lehet, hogy nem mindig tudunk integrálni a rögzített a-ból bármely adott x-be. Például, ha a definiált függvényeket vennénk a [0,1] és [2,3] intervallumok kombinálására, és ha a 0 lenne, akkor lehetetlen lenne 0-tól 3-ig integrálni, mert a függvény nincs definiálva. 1 és 2 között Itt két konstans lesz, minden kapcsolt tartománykomponenshez egy. Általános esetben, ha az állandókat lokálisan konstans függvényekre cseréljük, ezt a tételt kiterjeszthetjük szétválasztott tartományokra. Például két integrációs állandó van, és végtelenül sok, így például az 1/x integrál általános alakja a következő: $\textstyle \int dx/x$ $\textstyle \int \tan x\,dx,$

$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right| +C^{+}&x>0\end{cases}}$

Másodszor, azt feltételeztük, hogy F és G mindenhol differenciálható. Ha F és G legalább egy ponton nem differenciálható, akkor a tétel meghiúsul. Példaként legyen a Heaviside függvény, amely nulla a negatív x értékeknél és egy a nem negatív x értékeknél, majd legyen F deriváltja nulla ahol definiálva van, G deriváltja pedig mindig nulla. Nyilvánvaló azonban, hogy F és G nem különbözik állandó értékkel. Még ha feltételezzük is, hogy F és G mindenhol folytonos és szinte mindenhol differenciálható, a tétel akkor is kudarcot vall. Példaként vegyük F Cantor-függvénynek, és ismét legyen G = 0. $F(x)$ $G(x)=0.$

Tegyük fel például, hogy valaki antiderivátumokat szeretne találni . Az egyik ilyen primitív ez . Egy másik - Harmadik - . Mindegyiknek van deriváltja , tehát mindegyik a következő antideriváltja. Kiderült, hogy az állandók összeadása és kivonása az egyetlen rugalmasság, amellyel ugyanazon függvény különböző antideriváltjait kereshetjük. Vagyis minden antiderivatív egy állandóig egyforma. Ennek a ténynek a cos(x) kifejezésére a következőket írjuk: $\cos(x)$ ${\displaystyle {\displaystyle \sin(x)))$ $\sin(x)+1.$ ${\displaystyle {\displaystyle \sin(x)-\pi ))$ $\cos(x)$ ${\displaystyle \cos(x)}\$ $\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.$

Ha C-t számra cserélünk, akkor antiderivált jön létre. Azonban, ha szám helyett C-t írunk, akkor az összes lehetséges cos(x) antiderivatív tömör leírását adja. C-t az integráció állandójának nevezzük. Könnyen megállapítható, hogy ezek a függvények valóban származékai $\cos(x):$

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\ frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{igazított}}$

Szükségesség

Első pillantásra úgy tűnhet, hogy az állandóra nincs szükség, mivel nullára állítható. Továbbá, ha határozott integrálokat a számítás alaptételével értékelünk, a konstans mindig kioltja magát. Az állandó nullára állítása azonban nem mindig értelmes. Például legalább három különböző módon integrálható: $2\sin(x)\cos(x)$

${\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x) +1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2 }(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x) )\cos(x)\,dx&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2 }(x)+C\end{igazított}}$

Tehát a C nullázása továbbra is állandó maradhat. Ez azt jelenti, hogy ehhez a funkcióhoz nincs "Simple Antiderivative".

A másik probléma a C nullára állításával, hogy néha olyan antiderivatívákat akarunk találni, amelyek egy adott ponton adott értékkel rendelkeznek (mint a kezdeti értékfeladatnál). Például, ha olyan antideriváltat kapunk , amelynek értéke 100, ha x = π, akkor C-nek csak egy értéke fog működni (ebben az esetben C = 100). ${\displaystyle {\displaystyle \cos(x)))$

Ez a megszorítás átfogalmazható a differenciálegyenletek nyelvén. Egy függvény határozatlan integráljának megtalálása ugyanaz, mint egy differenciálegyenlet megoldása.Minden differenciálegyenletnek sok megoldása van, és minden állandó az egyetlen megoldás egy jól felállított kezdeti érték problémára. Az a feltétel, hogy az antiderivatív értékünk 100-at vegyen fel x = π esetén, a kezdeti feltétel. Minden kezdeti feltétel C egy és csak egy értékének felel meg, így C nélkül lehetetlen lenne a feladat megoldása. $f(x)$ ${\frac {dy}{dx}}=f(x).$

Van egy másik indoklás, amely az absztrakt algebrán alapul. Az összes (alkalmas) valós függvény tere a valós számokon vektortér, a differenciáloperátor pedig lineáris operátor. Az operátor akkor és csak akkor jelenít meg egy nullával egyenlő függvényt, ha ez a függvény állandó. Ezért a kernel az összes állandó függvény tere. A határozatlan idejű integráció folyamata egy adott függvény prototípusának megtalálására redukálódik. Egy adott függvényhez nincs kanonikus előkép, de az összes ilyen előkép halmaza egy coset-et alkot. A konstans kiválasztása hasonló a koszett elemének kiválasztásához. Ebben az összefüggésben a kezdeti érték probléma megoldását úgy értelmezzük, hogy a kezdeti feltételek által adott hipersíkban rejlik. ${\frac {d}{dx))$ ${\frac {d}{dx))$ ${\frac {d}{dx))$

Fizikai jelentés

Nézzünk néhány példát.

A test a ház ötödik emeletéről a földre zuhan, és némi távolságra repül. Ezután ugyanaz a test lezuhan a kilencedik emeletről az ötödik erkélyére, és ugyanannyit repül, a kiindulási helyzet különbsége ellenére. Elhanyagoljuk a gravitáció változását a ház magasságában. Ebben a példában az integrációs állandó megadja a test kezdeti helyzetét (emeletszám).

Egy autó egyenes úton halad valamilyen változó sebességgel. Ha a mozgás elején az autót áthelyezik az útvonalon egy másik helyre, akkor ugyanazon az úton halad.

Egy ló szánkót húz egy sík mezőn. Mindegy, hogy hol van a ló a mezőn, ugyanazt a munkát fogja elvégezni, mint a szán vontatását (a ló által megtett távolságnak ugyanannyinak kell lennie).

A víz egy hengeres edényből az alján lévő lyukon keresztül ömlik ki. Az edényben lévő vízszint 10 cm-rel csökken. Függetlenül attól, hogy az edényt eredetileg milyen szintre töltötték, ugyanaz a vízmennyiség, amely eltelt, 10 cm-rel csökkenti a szintet.

A kondenzátor feszültsége 1 voltról 0 voltra változik. Ezután ugyanazon a kondenzátoron a feszültség 1000 V-ról 999 V-ra változik. A kondenzátoron áthaladó töltés mindkét esetben azonos.

A test 1°C-ról 0°C-ra hűl le. Ugyanaz a test 1000°C-ról 999°C-ra hűl le. Ha elhanyagoljuk a hőkapacitás függését a hőmérséklettől, akkor a szervezet mindkét esetben ugyanannyi hőt veszít.

Irodalom

Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6. kiadás). Brooks/Cole. ISBN0-495-01166-5.
Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9. kiadás). Brooks/Cole. ISBN0-547-16702-4.
Olvasói felmérés: log| x | + C ”, Tom Leinster, The n -category Café , 2012. március 19.
Banner, Adrian (2007). A számológép életmentője: minden eszköz, amelyre szüksége van a kalkulusban való kiemelkedő teljesítményhez . Princeton [ua]: Princeton University Press. p. 380. ISBN978-0-691-1308