Bimodule

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 30-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A bimodul egy Abeli - csoport , amely egyszerre jobb és bal modul (esetleg egy másik gyűrű felett), és ez a két struktúra kompatibilis. A bimodul fogalma tisztázó szerepet játszik: a bal és a jobb oldali modulok közötti kapcsolatok egyszerűbbé válnak, ha bimodulokban fejezzük ki.

Definíció

Legyen R és S két gyűrű , akkor egy ( R , S )-bimodul olyan M Abel-csoport ,

M egy bal oldali R -modul és egy jobb oldali S -modul.
Bármilyen $r\in R,s\in S,m\in M:$

(rm)s=r(ms).

Az ( R , R )-bimodult R -bimodulnak is nevezik .

Példák

Tetszőleges m és n természetes számok esetén az összes valós bejegyzésű n × m mátrix halmaza egy ( R , S )-bimodul, ahol R az n × n mátrix gyűrűje , S pedig az m × m mátrix gyűrűje . Az összeadás és szorzás mátrixösszeadásként és szorzásként van definiálva, a mátrixok méretei úgy vannak megválasztva, hogy ezek a műveletek definiálva legyenek.
Ha R egy gyűrű, nem feltétlenül kommutatív, akkor R egy R -bimodul. Szintén R n az R n másolatának közvetlen szorzata .
Bármely kétoldalú ideál az R gyűrűben R -bimodul .
Bármely R kommutatív gyűrűn lévő modul felruházható természetes bimodul szerkezettel, ha a jobb oldali szorzást ugyanúgy definiáljuk, mint a bal szorzást. (Nem minden kommutatív gyűrűn lévő bimodulnak van ilyen formája).
Ha M egy bal oldali R -modul, akkor M egy ( R , Z )-bimodul, ahol Z egész számok gyűrűje. Hasonlóképpen a jobb oldali R - modulok ( Z , R )-bimodulokként, az Abeli-csoportok pedig ( Z , Z )-bimodulokként tekinthetők.
Ha R az S gyűrű részgyűrűje , akkor S egy R -bimodul.

További definíciók és tulajdonságok

Ha M és N ( R , S )-bimodul, akkor egy f : M → N leképezés akkor és csak akkor bimodulos homomorfizmus , ha bal és jobb oldali modulszerkezeti homomorfizmus.

A ( , )-bimodul valójában ugyanaz, mint a bal oldali modul a gyűrű felett , ahol S op az S -vel ellentétes gyűrű ( a szorzási sorrend benne fordított). A kétmodulos homomorfizmusok megegyeznek a bal modulos homomorfizmusokkal. Ezen tények felhasználásával a modulokkal kapcsolatos számos állítás lefordítható a bimodulok nyelvére. Konkrétan az ( R , S )-bimodulok kategóriája Abel -féle , és a szokásos izomorfizmus-tételek érvényesek rá . $R$ $S$ ${\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{op))$ ${\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{op))$

A bimodulok azonban különleges tulajdonságokkal is rendelkeznek, különösen a tenzorszorzat tekintetében . Ha M ( R , S )-bimodul, N pedig ( S , T )-bimodul, akkor tenzorszorzatuk (mint S feletti modulok ) ( R , T )-bimodul. A bimodulok tenzorszorzata asszociatív (akár kanonikus izomorfizmusig), így létre lehet hozni egy kategóriát, amelynek objektumai gyűrűk és morfizmusai bimodulok. Sőt, ha M egy ( R , S )-bimodul, L pedig egy ( T , S )-bimodul, akkor az M - től L -ig terjedő homomorfizmusok Hom S ( M , L ) halmazának szerkezete a ( T , R ) )-bimodul. Ezek az utasítások kiterjeszthetők az Ext és a Tor származtatott függvényeire .

Vegye figyelembe azt is, hogy a bimodulok nem kapcsolódnak a bialgebrákhoz , a név hasonlósága véletlen.

Irodalom

Jacobson, N. (1989). Alapalgebra II. W. H. Freeman és Társulat. ISBN 0-7167-1933-9 . P. 133-136.
P. Aluffi. Algebra: 0. fejezet (Dgraduate Studies in Mathematics) – American Mathematical Society, 2009 – ISBN 0-82184-781-3 . P. 517-518.