Operade

Az operada általános megközelítést ad olyan tulajdonságok leírására, mint a kommutativitás vagy az antikommutativitás , valamint az asszociativitás különféle változatai . Az algebra és az operák viszonya hasonló a csoportok és csoportok reprezentációinak viszonyához .

Definíció

Az Operad ( multilineáris műveletek klónja ) halmazok olyan családja , amelyben a szimmetrikus csoportok bal oldali műveletei vannak a megfelelő csoportokon , és kompozíciós műveletekkel : ${\displaystyle \{R_{n},\;n\geqslant 1\))$ $S_{n}$ $R_n$

R_{n_{1}}\times \ldots \times R_{n_{m}}\times R_{m}\to R_{n_{1}+\ldots +n_{m}}:(r_{ 1},\;\ldots ,\;r_{m},\;r)\to r_{1}\ldots r_{m}r,

kielégíti az általános asszociativitási azonosságokat :

(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_{1}1}r_{1})\ldots (r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_{m}m}r_{ m})r=(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_{1}1}\ldots r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_{m}m})(r_{1} \ldots r_{m}r)

és egy egység jelenléte . $\varepsilon \in R_{1}:(\varepsilon \ldots \varepsilon )r=r,\quad r\varepsilon =r$

Egy operát akkor mondunk lineárisnak, ha terek , a szimmetrikus csoportműveletek reprezentációk , és a kompozíciók multilineárisak . $R_n$ $S_{n}$

A lineáris operada feletti algebra olyan tér , amely többlineáris kompozíciós műveleteket tartalmaz : $A$

A^{\otimes n}\otimes _{S_{n))R_{n}\to A:a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{n}\otimes r\to a_{1} \ldots a_{n}r

unititási és általános asszociativitási tulajdonságokkal : $a\varepsilon =a$

(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_{1}1}r_{1})\ldots (a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_{m}m}r_{ m})r=(a_{11}a_{21}\lpont a_{k_{1}1}\lpont a_{1m}a_{2m}\lpont a_{k_{m}m})(r_{1} \ldots r_{m}r).

Példák

Az operált konstrukciók algebrai rendszerek , topológiai, kombinatorikus objektumok halmazát írják le.

A legegyszerűbb operada egy asszociatív gyűrű , amelynek mértékegysége: . A felette lévő algebra egy jobboldali modul . $R$ ${\displaystyle R_{1}=R,\quad R_{>1}=\{0\))$ $R$
A lineáris operada szerkezete definiálható a szimmetrikus csoportok feletti csoportalgebrák családján , valamint azon , ahol egy monoid . ${\displaystyle \{k(S_{n}),\;n\geqslant 1\))$ ${\displaystyle \{k(G^{n}),\;n\geqslant 1\))$ $G$

Történelem

Az operák feletti algebrákat e fogalmak kifejezett meghatározása nélkül először Stashef 1963 -as cikkében A kompozíciós komplexeket Murray Gerstenhaber amerikai matematikus vezette be egy 1968 -as cikkében . A multilineáris műveletek és a többoperátoros algebrák klónjait V. A. Artamonov szovjet algebraista mutatta be egy 1969 -es cikkében . Kicsit később az operák és a velük kapcsolatos algebrák kapcsolódó fogalmát J. Peter May amerikai topológus fedezte fel. Azóta a nyugati tudósok Peter Mayt tartják az operák feltalálójának. [1] Körülbelül ugyanebben az időben Michael Boardman amerikai topológus és Rainer Vogt német topológus megírta azt, amit az operaelmélet klasszikusának tekintenek, helyette MacLane PROP-jait és Lover algebrai elméleteit használva.

Jegyzetek

↑ hét220 . Letöltve: 2006. március 18. Az eredetiből archiválva : 2006. március 4.. (határozatlan)

Irodalom

Stasheff JD . A H-terek homotópiás asszociativitása. I // Az Amerikai Matematikai Társaság tranzakciói. - 1963. - évf. 108.-Sz. 2.-pp. 275-292.
Gerstenhaber M. A gyűrűk és algebrák deformációiról: III // Annals of Mathematics, Second Series. - 1968. - évf. 88.-Sz. 1.-pp. 1-34.
Artamonov VA Multilineáris műveletek és többoperátoros algebrák klónjai // Uspekhi Mat. - 1969. - v. 24. - No. 1. - p. 47-59.
May JP Az iterált hurokterek geometriája // Lecture Notes in Mathematics. - vol. 271. - Berlin: Springer-Verlag, 1972. - 175 p.
Boardman JM; Vogt RM Homotópia Invariáns algebrai struktúrák topológiai tereken // Matematikai előadásjegyzetek. - vol. 347. - Berlin: Springer-Verlag, 1973.