Jelentős szuprémum

Az esszenciális szuprémum a szuprémum analógja , amely jobban megfelel a funkcionális elemzés igényeinek . Ebben a tudományban általában nem érdekli őket, hogy mi történik a definícióban figyelembe vett nulla mértékhalmazon .

Definíció

A lényeges szuprémum vagy függvény a számok halmazának infimuma úgy, hogy ${\mathrm {ess}}\sup$ $\mathrm {vrai} \sup$ $f:X\to {\mathbb {R}}$ $a$

f(x)\leq a,~~x\in X

szinte mindenhol . Más szavakkal,

{\mathrm {ess}}\sup f=\inf\{a\in {\mathbb {R}}:\mu (\{x:f(x)>a\})=0\}\,,

hol van egy mérték a készüléken . Az alapvető infimumot hasonlóképpen határozzák meg : $\mu$ $x$

{\displaystyle \mathrm {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\))

Példák

Adjuk meg a Lebesgue-mértéket és a hozzá tartozó Σ σ-algebrát az egyenesen. A függvényt a következőképpen definiáljuk $f$

f(x)={\begin{cases}5,&x=1\\-4,&x=-1\\2,&x\in {\mathbb R}\backslash \{-1,1\}\\\ vége{esetek}}

Ennek a függvénynek a felső értéke az 5, az infimum pedig a −4. A függvény azonban ezeket az értékeket csak a nulla mértékegységeknél veszi fel , ill. Így szinte mindenhol (a Lebesgue-mértékhez képest) ez a függvény egyenlő 2-vel, ami azt jelenti, hogy a lényeges szuprémum és a lényeges infimum egybeesik, és egyenlő 2-vel. $f$ $\{egy\}$ $\{-1\}$ $f$

Egy másik példaként vegyük a függvényt

f(x)={\begin{cases}x^{3},&x\in {\mathbb Q}\\\arctan {x},&x\in {\mathbb R}\backslash {\mathbb Q}\\ \end{cases}}

ahol a racionális számok halmazát jelöli. Ez a függvény felül és alul is korlátlan, így felső és infimuma egyenlő , ill. A Lebesgue-mérték szempontjából azonban a racionális számok halmazának mértéke nulla; a funkcionális elemzés szempontjából az számít, hogy mi történik ennek a halmaznak a komplementerén, ahol a függvény egybeesik -vel . Ezért a lényegi szuprémum ebben az esetben , a lényeges infimum pedig az . $\mathbb {Q}$ $\infty$ $-\infty$ $\arctan x$ $\pi/2$ $-\pi /2$

Végül az összes valós függvényt definiáljuk . Esszenciális supremumja , esszenciális infimuma pedig . $f(x)=x^{3}$ $x$ $+\infty$ $-\infty$

Tulajdonságok

$\inf f\leqslant {\mathrm {ess}}\inf f\leqslant {\mathrm {ess}}\sup f\leqslant \sup f$
${\mathrm {ess}}\sup(f\cdot g)\leqslant ({\mathrm {ess}}\sup f)\cdot ({\mathrm {ess}}\sup g)$ amikor a jobb oldalon mindkét tényező nem negatív.

Alkalmazás

A lényegi szuprémum a mérhető korlátos szinte mindenhol (lényegében korlátos) függvények terére vonatkozó norma meghatározására szolgál (a nulla mértékhalmazon eltérő függvények azonosítására). Ezen a téren van meghatározva a norma, amelyet a bevezetett normával L ∞ térnek nevezünk . $\|f\|={\mathrm {ess}}\up |f|$

Linkek

Essential supremum (angolul) a PlanetMath weboldalon .