Topológiai vektortér

A topológiai vektortér vagy topológiai lineáris tér egy olyan topológiával felruházott vektortér , amelyre vonatkozóan az összeadás és a számmal való szorzás műveletei folyamatosak . A kifejezést főleg a funkcionális elemzésben használják [1] .

Definíció

Egy halmazt topológiai vektortérnek nevezünk , ha [2] [1] $E$

$E$ egy vektortér a valós vagy komplex számok mezője felett ;
$E$ egy topológiai tér ;
Az összeadás és a számmal való szorzás műveletei az adott topológiához képest folyamatosak , azaz $E$
1. ha , akkor a pont minden szomszédságához meg lehet adni olyan szomszédságokat és pontokat , illetve , hogy -hoz , ; $z_{0}=x_{0}+y_{0}$ $U$ $z_{0}$ $V$ $W$ $x_{0}$ $y_0$ $x+y\u-ban$ $x \ V-ben$ $y\-ben W$
2. ha , akkor a pont minden környezetéhez létezik a pont szomszédsága és egy olyan szám , amelyre és . $z_{0}=\alpha _{0}x_{0}$ $U$ $z_{0}$ $V$ $x_{0}$ $\varepsilon >0$ $\alpha x\in U$ $|\alpha -\alpha _{0}|<\varepszilon$ $x \ V-ben$

Példák

euklideszi tér ;
Banach tér .

Lineáris topológiai terek típusai

A konkrét alkalmazásoktól függően a lineáris topológiai terekre általában további feltételek vonatkoznak. Az alábbiakban felsorolunk néhány lineáris topológiai teret, a "jó" tulajdonságok megléte szerint rendezve (bizonyos egyezményességgel).

Lokálisan konvex topológiai vektorterek (röviden egyszerűen "lokálisan konvex terek"): az ilyen terekben minden pontnak van egy lokális bázisa , amely konvex halmazokból áll . Az úgynevezett Minkowski-funkcionálok segítségével kimutatható, hogy egy topológiai vektortér akkor és csak akkor lokálisan konvex, ha a topológiáját szeminormák családjával határozzuk meg . A lokális konvexitás feltétele régóta pontosan az a fogalom, amelyre önmagában alkalmazásokban gazdag elmélet épülhet fel, mert a lokálisan nem konvex terek különféle kóros tulajdonságokkal rendelkezhetnek, és geometriájuk túlságosan is „természetellenes” az alkalmazásokhoz. . Jelenleg azonban a lokálisan határolt (általában nem konvex) terek elmélete aktív fejlődésnek indult.
Hordós terek : lokálisan konvex terek, ahol érvényesül az egységes határosság elve .
Sztereotípiaterek : lokálisan konvex terek, amelyek kielégítik a reflexivitás feltételét , amelyben a duális tér az egyenletes konvergencia topológiájával van felruházva teljesen korlátos halmazokon.
Montel-terek : olyan hordós terek, amelyek rendelkeznek a Heine–Borel tulajdonsággal .
Bornológiai terek : lokálisan konvex terek, amelyekben a folytonos lineáris operátorok lokálisan konvex terekben lévő értékekkel pontosan korlátos lineáris operátorok.
LF-terek : LF-tér a Fréchet-terek induktív határa . Az ILH-terek a Hilbert terek projektív határai .
F-terek : teljes topológiai vektorterek invariáns (eltolódás alatti) metrikával. Konkrétan minden L p (p > 0) tér ilyen.
Fréchet-terek : lokálisan konvex terek, amelyek topológiáját valamilyen eltolás-invariáns metrika, vagy ezzel egyenértékű szeminormák megszámlálható családja adja meg. A Fréchet-tér fogalma a Banach-tér fogalmának egyik legfontosabb általánosítása. Sok érdekes funkciótér Fréchet tér. A Fréchet-teret lokálisan konvex F-térként is definiálhatjuk.
Nukleáris terek : a Fréchet-terek fontos speciális esete; nukleáris terekben minden korlátos leképezés értékekkel egy tetszőleges Banach térben nukleáris operátor . A nukleáris terek a Banach-terekkel együtt a legnagyobb érdeklődésre számot tartó Frechet terek. Ebben az esetben a metszéspontban lévő mag- és Banach-terek osztályai véges dimenziós terek osztályát alkotják.
Normált terek : lokálisan konvex terek, amelyek topológiáját egy norma adja meg . A normált terekre ható lineáris operátorok akkor és csak akkor folytonosak, ha korlátosak.
Banach mezők : teljes normált mezők. A klasszikus funkcionális elemzés vizsgálatának tárgyát képezik; a legtöbb elemzési tétel pontosan Banach-terekre van megfogalmazva.
Reflexív Banach szóközök : A Banach szóközök természetesen izomorfak a második konjugációjukkal .
Hilbert terek : Banach terek, amelyek normáját egy belső szorzat generálja ; annak ellenére, hogy ezek a terek végtelen dimenziósak lehetnek, geometriai tulajdonságaik nagyon közel állnak a véges dimenziós terekéhez.
Euklideszi terek : véges dimenziós Hilbert-terek. Minden lokálisan kompakt Hausdorff topológiai vektortér izomorf (mint topológiai vektortér) valamilyen euklideszi térrel.

Jegyzetek

↑ 1 2 Topológiai vektortér // Matematikai enciklopédikus szótár / ch. szerk. Yu. V. Prokhorov . - M., Szovjet Enciklopédia , 1988. - p. 582
↑ Kerin S. G. Funkcionális elemzés. - M., Nauka , 1972. - p. 19-21

Irodalom

Shefer H. Topológiai vektorterek. — M.: Mir, 1971.
Bourbaki N. Topológiai vektorterek. — M.: Szerk. külföldi lit., 1965.
Robertson A., Robertson V. Topológiai vektorterek. — M.: Mir, 1967.
Smolyanov O. G. A topológiai lineáris terek elemzése és alkalmazásai : tankönyv. juttatás. - M .: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1979. - 86 p.