Minkowski funkcionális

A Minkowski függvény olyan funkcionális , amely a tér lineáris szerkezetét használja fel a topológia bevezetésére . Nevét Hermann Minkowski német matematikusról kapta .

Definíció

Bármely vektortér ( valós vagy összetett ) és részhalmaza esetén a Minkowski-funkcionális a következőképpen definiálható: $x$ $K$ $\ \mu _{K}:X\jobbra [0,\infty )$

\mu _{K}(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}

Feltételezzük, hogy a halmaz szintén nem üres. További feltételek mellett a funkcionális a szeminorm tulajdonságaival rendelkezik , nevezetesen: $0\in K$ $\{r>0\közép x\rK\}$ $K$

a konvexitásból és a szimmetriából szubaditivitás következik , azaz ; $K$ $\mu _{K}$ $\ \mu _{K}(\alpha x+\beta y)\leq \alpha \mu _{K}(x)+\beta \mu _{K}(y)$
a homogenitás - mindenkinek akkor érhető el, ha - kiegyensúlyozott halmaz , azaz mindenki számára . $\mu _{K}(\alpha x)=|\alpha |\mu _{K}(x)$ $\alpha$ $K$ $\alpha K\K részhalmaz$ $|\alpha |\leqslant 1$

Tulajdonságok

A Minkowski-függvény használható térbeli topológia definiálására, mivel 0-t tartalmazó konvex zárt halmazok esetén szeminorma tulajdonságokkal rendelkezik. Lehetővé teszi azt is, hogy megfeleltetést hozz létre (a Minkowski kettősség egyik megnyilvánulása ) a és a halmazok között , mivel rendelkezik a duális térben lévő támogató függvény tulajdonságaival . Legyen véges dimenziós euklideszi tér . Bármely halmaz esetén a konjugált halmaz olyan halmazként kerül bevezetésre, amelynek a vektorok támogatási függvénye egybeesik a következővel: $K$ $x$ $X^{*}$ $x$ $K\subseteq X$ $K^{*}\subseteq X^{*}$ $s(p,K^{*})$ $p\in X$ $p_{K}$

\forall p\in X~s(p,K^{*})=\mu _{K}(p)

Ezen túlmenően minden konvex zárt kiegyensúlyozotthoz a következőket találjuk : $K$

\ K^{{**}}=K

Ez a meghatározás kiterjeszthető a végtelen dimenziós reflexív terekre is . Ebben az esetben azonban némi bonyolultság adódik, mivel a tér olyan elemeket tartalmaz, amelyek nem fekszenek bele . A támogatási függvényt ki lehet terjeszteni, ha az ilyen vektoroknál 0-ra állítjuk, majd természetes beágyazás esetén a kép egybeesik a (konvexitás és egyensúly érdekében). $X^{{**}}$ $x$ $K^{*}$ $X\hookrightarrow X^{{**}}$ $K$ $K^{{**}}$

Lásd még

A Minkowski kettősség további megnyilvánulásai:

A legenda átalakulása
hivatkozási elv

Irodalom

Polovinkin ES , Balashov MV Konvex és erősen konvex elemzés elemei . — M.: Fizmatlit, 2004. — 416 p. — ISBN 5-9221-0499-3 .