Ising modell

Az Ising-modell  a statisztikai fizika matematikai modellje , amelyet egy anyag mágnesezettségének leírására terveztek .

Leírás

A kristályrács minden csúcsához (nem csak a háromdimenziós, hanem az egy- és kétdimenziós eseteket is figyelembe kell venni) hozzárendelnek egy spinnek nevezett számot, amely +1 vagy -1 ("mező fel" / "mező le") . A spinek elrendezésének minden lehetséges változatához (ahol  a rácsatomok száma) hozzá van rendelve a szomszédos atomok spineinek páronkénti kölcsönhatásából származó energia:

hol  van a kölcsönhatási energia (legegyszerűbb esetben minden szomszédos atompárnál ugyanaz). Néha egy külső mezőt is figyelembe vesznek (gyakran kicsinek feltételezik):

Ezután egy adott reciprok hőmérsékletre figyelembe vesszük a Gibbs-eloszlást a kapott konfigurációkon : feltételezzük, hogy egy konfiguráció valószínűsége arányos -vel , és egy ilyen eloszlás viselkedését nagyon nagy számú atomra vizsgáljuk .

Például az 1-nél nagyobb méretű modellekben másodrendű fázisátalakulás megy végbe: kellően alacsony hőmérsékleten a ferromágnes (at ) legtöbb spinje ugyanilyen módon orientálódik (1-hez közeli valószínűséggel). , és magas hőmérsékleten a pörgés szinte biztosan „fel” és „le” lesz. Azt a hőmérsékletet, amelyen ez az átmenet megtörténik (más szóval, amikor az anyag mágneses tulajdonságai eltűnnek), kritikusnak vagy Curie-pontnak nevezzük . A fázisátmeneti pont közelében számos termodinamikai jellemző eltér egymástól. A tapasztalat azt mutatja, hogy a divergencia univerzális jellegű, és csak a rendszer szimmetriája határozza meg. L. Onsager először a 40-es években szerezte meg az eltérések kritikus kitevőit a kétdimenziós Ising-modellhez . Más dimenziók esetében a vizsgálatokat számítógépes szimulációs és renormalizációs csoportos módszerekkel végezzük . A renormalizációs csoport alkalmazását ebben az esetben a Kadanoff-féle blokkkonstrukció és a termodinamikai hasonlósági hipotézis indokolja .

Az Ising-modell, amelyet eredetileg a ferromágnesesség természetének megértésére vezettek be, a kritikus jelenségekkel, folyadékokkal és oldatokkal, forgóüvegekkel, sejtmembránokkal, immunrendszer -modellezéssel , különféle társadalmi jelenségekkel stb. kapcsolatos különféle fizikai elméletek középpontjában találta magát. ez a modell tesztelési terepeként szolgál különféle fizikai jelenségek numerikus szimulációjának tesztelési módszereihez.

Pontos megoldásokat az egydimenziós és a kétdimenziós Ising modellekre: az egydimenziós modellre maga Ising, a kétdimenziós modellre Onsager 1944-ben [1] .

Egydimenziós Ising-modell

Egy dimenzió esetén az Ising modell kölcsönható pörgetések láncaként ábrázolható. Egy ilyen modellre pontos megoldást találtunk, de általános esetben a problémának nincs analitikus megoldása.

Algoritmus az Ising-modell megvalósításához Monte Carlo módszerrel számítógépen

1. Hozzon létre egy pörgésrácsot (kétdimenziós tömb), a pörgetések tetszőlegesen orientáltak.
2. Véletlenszerűen válasszon egyet a rácscellák közül, és törölje az értéket benne.
3. Számítsa ki a konfigurációk energiáit, amikor ez a cella tele van fel-le forgással (vagy minden lehetséges állapotra, ha kettőnél több van belőlük).
4. Véletlenszerűen válasszon egyet a „törölt” pörgetéshez, vel arányos valószínűséggel , hol  van a megfelelő állapotú energia (mivel az adott spint nem befolyásoló kifejezések azonosak, valójában csak a szomszédok feletti összegek számolni kell).
5. Visszatérünk a 2. ponthoz; elegendő számú iteráció végrehajtása után (ennek meghatározása külön és nehéz feladat) a ciklus leáll.

Alkalmazások

1982-ben Hopfield bebizonyította az Ising-modell és a neurális hálózatok visszatérő modelljei izomorfizmusát [2] .

A D-Wave Systems kvantumszámítógépe az Ising-modellre épül. A számítógép hatékonysága azonban kérdéseket vet fel, ez volt az oka új kutatásoknak, amelyek célja a klasszikus algoritmusok és a DWave számítógépek algoritmusainak helyes összehasonlítása. Kiderült, hogy vannak olyan problémák, amelyekre egy adiabatikus kvantumszámítógép biztosan nem hatékonyabb, mint egy klasszikus [3] .

Lásd még

Jegyzetek

Megjegyzések

Források

1. ↑ Gelfer Ya. M. , A termodinamika és a statisztikai fizika története és módszertana, 1981 , p. 426.
2. ↑ Khaykin S., 2006 , p. 79.
3. ↑ Katzgraber, Hamze, Andrist, 2014 , p. 6.

Irodalom

Könyvek

• Gelfer Ya. M. A termodinamika és a statisztikai fizika története és módszertana. - 2. kiadás, átdolgozva. és további - M . : Felsőiskola , 1981. - 536 p.
• Belavin A.A. , Kulakov A.G. , Usmanov R.A. Előadások az elméleti fizikáról . — M .: MTSNMO , 2001. — 224 p. — ISBN 5-900916-91-X .
• Baxter R. Pontosan megoldható modellek a statisztikai mechanikában. - M .: Mir , 1985.
• Khaikin S. Neurális hálózatok: teljes tanfolyam. - M . : "Williams" kiadó, 2006. - 1104 p. — ISBN 5-8459-0890-6 .
• Ziman J. A merev testek elméletének elvei. - M . : Mir, 1974. - 472 p.

Tudományos cikkek

• Meilikhov E.Z. Ernst Ising tragikus és boldog élete  // Természet. - 2006. - 7. sz .
• Stepanov IA Pontos megoldások az egydimenziós, kétdimenziós és háromdimenziós Ising modellekre  // Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. - 2012. - Kt. 6, 3. sz . - P. 118-122. ingyen online..
• Katzgraber HG , Hamze F. , Andrist SR Glassy Chimeras Could Be Blind to Quantum Speedup: Designing Better Benchmarks for Quantum Healing Machines  // Phys. Fordulat. X. - 2014. - Kt. 4. - P. 1-8. - doi : 10.1103/PhysRevX.4.021008 .