Az egy csempe problémája ( angolul einstein problem ) egy geometriai probléma, amely felveti egy prototil létezésének kérdését , amely nem periodikus csempék halmazát alkotja , vagyis egy olyan alak létezését, a másolatok csempézhetik a helyet, de csak nem periodikusan . Az angol forrásokban az ilyen alakokat "einsteinnek" nevezik - szójáték, németül. Az ein stein jelentése "egy kő" , és Albert Einstein fizikus neve is. A nem periodicitás konkrét definíciójától függően, nevezetesen, hogy mely halmazok tekinthetők csempéknek és hogyan kapcsolhatók össze, a probléma nyitottnak vagy megoldottnak tekinthető. Az egyik lapka problémája természetes folytatásának tekinthető Hilbert tizennyolcadik feladatának második részének , amely egy olyan poliéderre kérdez rá, amelynek másolatai kitölthetik a háromdimenziós euklideszi teret, és nem töltik ki a teret ennek másolataival. poliéder legyen izoéder [1] . Ilyen nem izoéderes testeket talált Carl Reinhard 1928-ban, de ezek a testek időszakosan kitöltik a teret.
1988-ban Peter Schmitt felfedezett egy nem periodikus prototilit a háromdimenziós euklideszi tér számára. Bár az ezzel a testtel történő kitöltés nem teszi lehetővé a párhuzamos fordítást , egyes kitöltések spirális szimmetriával rendelkeznek . A csavarszimmetria-művelet párhuzamos transzláció és π-vel összemérhetetlen szögben történő elforgatás kompozíciója, így ezeknek a műveleteknek egyetlen számú ismétlése sem vezet egyszerű párhuzamos transzlációhoz. Ezt a konstrukciót később John Conway és Ludwig Danzer használta egy domború , nem periodikus csempének, a Schmitt-Conway-Danzer lapnak a megalkotásához . A csavarszimmetria jelenléte a nem periodicitás követelményének következménye [2] . Chaim Goodman-Strauss azt javasolta, hogy a burkolólapokat szigorúan aperiodikusnak tekintsék, ha nem létezik számukra végtelen ciklikus mozgáscsoport az euklideszi térben , amelyek a burkolás szimmetriái, és szigorúan aperiodikusnak csak azokat a csempéket nevezzük, amelyek szigorúan a cseréphez vezetnek. időszakos burkolólapok esetén a fennmaradó csempekészleteket gyengén aperiodikusnak nevezzük [3] .
1996-ban Hummelt Petra épített egy mintás dekagonális csempét, és megmutatta, hogy ha a lappárok kétféle átfedése megengedett, akkor síkot is lehet burkolni, és csak aperiodikus módon [4] . Általában a tesszelláció alatt átfedés nélküli kitöltést értünk, így a Hummelt lapka nem tekinthető időszakos prototilnak. A 2010-es évek elején Joshua Socolar és Joan Taylor javasolta az euklideszi síkon egy aperiodikus csempekészletet, amely csak egy lapkából, a Socolar-Taylor lapkából áll . Ez a konstrukció kapcsolódási szabályokat, két lapka relatív orientációját korlátozó szabályokat, valamint a csempéken lévő minták összekapcsolására vonatkozó szabályokat tartalmaz, és ezek a szabályok a nem szomszédos csempe párokra vonatkoznak. Lehetséges csempék használata minták és tájolási szabályok nélkül, de akkor a csempe nem lesz csatlakoztatva. A konstrukció 3D térre is kiterjeszthető összekapcsolt csempével és csatlakozási szabályok nélkül, de ezek a lapok periodikusan, azonos irányban is kirakhatók, így csak gyengén nem periodikus burkolásról van szó. Ráadásul a csempe nem egyszerűen össze van kötve.
Továbbra is megoldatlan probléma a szigorúan időszakos halmazok létezése, amelyek egyetlen összekapcsolt csempéből állnak, csatlakozási szabályok nélkül.
| geometrikus mozaikok | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Időszakos |
| ||||||||
| időszakos |
| ||||||||
| Egyéb |
| ||||||||
| Csúcskonfiguráció szerint _ |
| ||||||||