Szabályos ferde poliéder

A szabályos ferde politóp a szabályos politópok halmazának általánosítása, amely magában foglalja a nem sík lapok vagy csúcsformák lehetőségét . Coxeter a ferde csúcsfigurákat vette figyelembe, amelyek új négydimenziós szabályos poliédereket hoztak létre, sokkal később Branko Grünbaum pedig szabályos ferde arcokat. [egy]

Szabályos ferde politópok leírása

A szabályos ferde poliéderek nem a szokásos értelemben vett poliéderek. Ahogy Coxeter írja a THE REGULAR SPONGS, OR SKEW POLYHEDRA (Rendszeres szivacsok vagy ferde poliéderek) című könyvében: „Az arcfeltöltés abban különbözik a véges poliéderektől, hogy számukra a belső és a külső fogalma azonos. Az ilyen tömések segítenek abban, hogy a poliédert felületnek tekintsük, nem pedig testnek. Új poliéderek létrehozásához úgy kell kitalálnia, hogy több sokszöget lehessen elhelyezni a csúcsban, mint amennyit a krisztallográfiai korlátozások megengednek (a csúcsban lévő szögek összege kisebb, mint )”. Ennek a hatásnak az elérése érdekében Petrie megengedte, hogy az élek a síktól a másik irányba menjenek, ami szivacsokhoz , azaz nyitott lyukakkal rendelkező felületekhez vezet (az egyik poliéder furatát egy másik lyuk zárja le, így mindegyik végtelen szivacsot alkot ) [2] .

Történelem

Coxeter szerint 1926-ban John Flinders Petrie általánosította a térbeli sokszögek (nem síkbeli sokszögek) [3] fogalmát szabályos ferde poliéderekké .

Coxeter egy módosított Schläfli szimbólumot {l,m|n} javasolt ezekhez az alakzatokhoz, ahol az {l,m} csúcsalakzatot jelöl , m l-szög a csúcs körül, n pedig n - szögű lyuk. Csúcsfiguráik két sík között cikcakkos térpoligonok .

A szabályos ferde politópok, amelyeket az {l,m|n} szimbólum képvisel, teljesítik a következő egyenlőséget:

2*cos(π/l)*cos(π/m)=cos(π/n)

Az első halmaz {l, m | n} öt konvex platóni testet és egy nem konvex Kepler-Poinsot testet jelent :

{l, m | n} arcok borda Csúcsok p Poliéder
A szimmetria rendje
{3,3| 3} = {3,3} négy 6 négy 0 Tetraéder 12
{3,4| 4} = {3,4} nyolc 12 6 0 Oktaéder 24
{4,3| 4} = {4,3} 6 12 nyolc 0 Kocka 24
{3,5| 5} = {3,5} húsz harminc 12 0 ikozaéder 60
{5,3| 5} = {5,3} 12 harminc húsz 0 Dodekaéder 60
{5,5| 3} = {5,5/2} 12 harminc 12 négy Nagy dodekaéder 60

Véges szabályos ferde politópok 4 dimenziós térben

A Coxeter-sík A4-es vetületei
{4, 6 | 3} {6, 4 | 3}
Rangsorolt ​​5 cellás
(60 él, 20 csúcs) 		Mélyen csonkolt 5 cellás
(60 él, 30 csúcs)
A Coxeter-sík F4 vetületei
{4, 8 | 3} {8, 4| 3}
Rangsorolt ​​24 cellás
(576 él, 144 csúcs) 		Mélyen csonkolt 24 cellás
(576 él, 288 csúcs)
A négydimenziós szabályos ferde poliéderek egy része egységes poliéderbe illeszkedik, amint az a vetületeken látható.

Coxeter nagyszámú véges szabályos poliédert is felsorolt ​​„Szabályos ferde poliéderek három és négy dimenzióban, valamint topológiai analógjaik” című írásában.

Ahogyan a végtelen ferde politópok egy konvex egyenletes méhsejt sejtjei közötti sokaság felületét képviselik , a véges nézetek egy sokaság felületeit reprezentálják egy homogén 4-dimenziós politóp sejtjeiben .

{2p, 2q | alakú poliéderek r} a [(p,r,q,r)] Coxeter -szimmetriacsoporthoz kapcsolódik, amely lineáris [r,p,r]-re redukál q esetén 2. Coxeter ezt a szimmetriát a [[( p) , r , q , r )] + ], amely szerinte izomorf absztrakt csoportjával (2 p ,2 q |2, r ). Az összekapcsolt lépek kiterjesztett szimmetriájúak [[( p , r , q , r ) ]] [4] .

A {2p,4|r} egy mélyen csonkolt {r,p,r} homogén 4-dimenziós poliéder {2p} lapjai , a {4,2p|r} pedig négyzet alakú lapok. egy gyalult {r, p,r} (rangsorolt).

A {4,4|n} n - n duoprizmát alkot , és különösen a {4,4|4} illeszkedik egy {4}x{4} tesseraktba .

{4,4| n} jelöli a duoprizmák négyzetes lapjait, ahol az n-szögű lapok lyukak, és a Clifford tórusz és a kettős henger közelítését jelenti A {4,4|6} 36 négyzetlappal rendelkezik, és a perspektivikus vetítés úgy néz ki, mint egy 6,6-os dupla hengerben kiválasztott négyzetek . Egy 60 háromszögből álló gyűrű szabályos ferde poliédert alkot egy 600 cella lapjainak részhalmazában .
Még a megrendelt megoldásokat is
{l, m | n} arcok borda Csúcsok p Szerkezet Szimmetria Rendelés Kapcsolódó egységes 4-politóp
{4,4| 3} 9 tizennyolc 9 egy D3xD3 _ _ _ [[3,2,3] + ] 9 3-3 duoprizma
{4,4| négy} 16 32 16 egy D4xD4 _ _ _ [[4,2,4] + ] 16 4-4 duoprizma vagy tesserakt
{4,4| 5} 25 ötven 25 egy D5xD5 _ _ _ [[5,2,5] + ] 25 5-5 duoprizma
{4,4| 6} 36 72 36 egy D6xD6 _ _ _ [[6,2,6] + ] 36 6-6 duoprizma
{4,4| n} n 2 2n 2 n 2 egy DnxDn _ _ _ [[n,2,n] + ] n 2 nn duoprizma
{4,6| 3} harminc 60 húsz 6 S5 [[3,3,3] + ] 60 gyalult 5 cellás
{6,4| 3} húsz 60 harminc 6 S5 [[3,3,3] + ] 60 mélyen csonka 5 cellás
{4,8| 3} 288 576 144 73 [[3,4,3] + ] 576 gyalult 24 cellás
{8,4| 3} 144 576 288 73 [[3,4,3] + ] 576 mélyen csonka 24 cellás
Pentagram megoldások
{l, m | n} arcok borda Csúcsok p Szerkezet Szimmetria Rendelés Kapcsolódó egységes 4-politóp
{4,5| 5} 90 180 72 tíz A6 [[5/2,5,5/2] + ] 360 Planed nagy csillag 120 cellás
{5,4| 5} 72 180 90 tíz A6 [[5/2,5,5/2] + ] 360 Mélyen csonkolt , nagy csillagos 120 cellás
{l, m | n} arcok borda Csúcsok p Szerkezet Rendelés
{4,5| négy} 40 80 32 5 ? 160
{5,4| négy} 32 80 40 5 ? 160
{4,7| 3} 42 84 24 tíz LF(2;7) 168
{7,4| 3} 24 84 42 tíz LF(2;7) 168
{5,5| négy} 72 180 72 19 A6 360
{6,7| 3} 182 546 156 105 LF(2;13) 1092
{7,6| 3} 156 546 182 105 LF(2;13) 1092
{7,7| 3} 156 546 156 118 LF(2;13) 1092
{4,9| 3} 612 1224 272 171 LF(2;17) 2448
{9,4| 3} 272 1224 612 171 LF(2;17) 2448
{7,8| 3} 1536 5376 1344 1249 ? 10752
{8,7| 3} 1344 5376 1536 1249 ? 10752

Az utolsó halmaz további kiterjesztett Coxeter-alakokon alapul {q1,m|q2,q3...}, vagy q2-vel meghatározatlan: {l, m |, q}.

{l, m|, q} arcok borda Csúcsok p Szerkezet Rendelés
{3,6|,q} 2q2_ _ 3q2_ _ Q2 _ egy ? 2q2_ _
{3,2q|,3} 2q2_ _ 3q2_ _ 3q (q-1)*(q-2)/2 ? 2q2_ _
{3,7|,4} 56 84 24 3 LF(2;7) 168
{3,8|,4} 112 168 42 nyolc PGL(2;7) 336
{4,6|,3} 84 168 56 tizenöt PGL(2;7) 336
{3,7|,6} 364 546 156 tizennégy LF(2;13) 1092
{3,7|,7} 364 546 156 tizennégy LF(2;13) 1092
{3,8|,5} 720 1080 270 46 ? 2160
{3,10|,4} 720 1080 216 73 ? 2160
{4,6|,2} 12 24 nyolc 3 S4 × S2 48
{5,6|,2} 24 60 húsz 9 A5 × S2 120
{3,11|,4} 2024 3036 552 231 LF(2;23) 6072
{3,7|,8} 3584 5376 1536 129 ? 10752
{3,9|,5} 12180 18270 4060 1016 LF(2,29)×A3 36540

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ McMullen, Schulte, 2002 , p. 7, 17.
  2. ↑ Coxeter, 1995 , p. 20-22.
  3. ↑ Az angol szakirodalomban - ferde sokszög, szó szerint - ferde sokszög . Az orosz irodalomban a térbeli sokszög kifejezés gyökeret vert , a ferde poliéder kifejezés pedig a ferde poliéder ( ferde poliéder ) kifejezésnek felel meg . Ebben a cikkben a ferde sokszög és a ferde poliéder kifejezéseket felcserélhetően használjuk.
  4. ↑ Coxeter, 1985 .

Irodalom