Petri sokszög

A stabil verziót 2022. július 16-án nézték meg . Ellenőrizetlen változtatások vannak a sablonokban vagy a . Az ikozaéder vizualizációi

perspektíva	Letapogatás	ortogonális
petri	Schlegel diagram	Vertex figura

A Petri-sokszög egy dimenziós szabályos politóphoz olyan térpoligon [1] , amelyben bármely egymást követő él (de nem ) ugyanahhoz a -dimenziós laphoz tartozik. Különösen, $n$ $(n-1)$ $n$ $(n-1)$

Egy szabályos sokszög Petri -sokszöge maga a szabályos sokszög.
Egy háromdimenziós szabályos poliéder Petri-sokszöge olyan háromdimenziós sokszög , amelyben bármely két egymást követő oldal (de nem három) tartozik az egyik laphoz [2] .

Minden szabályos poliéderhez van egy merőleges vetület a síkra, amelyben a Petri-sokszög szabályos sokszöggé válik , amely a vetület összes többi részét tartalmazza. Ebben az esetben a sík, amelyre a vetítés készül , a sokszög szimmetriacsoportjának Coxeter-síkja , az oldalak száma pedig a Coxeter- csoport Coxeter-száma . Ezek a sokszögek és vetített gráfok hasznosak a nagydimenziós szabályos poliéderek szimmetriastruktúráinak bemutatására. $h$

Történelem

John Flinders Petrie (1907-1972) Flinders Petrie egyiptológus egyetlen fia volt [3] . 1907-ben született, és már iskolásként is figyelemre méltó matematikai képességeket mutatott. Teljes koncentrációval meg tudta válaszolni a négydimenziós tárgyakkal kapcsolatos nehéz kérdéseket, megjelenítve azokat .

Elsőként hívta fel a figyelmet a szabályos poliéderek felületén keletkező szabályos térbeli sokszögek fontosságára. Coxeter 1937-ben elmagyarázta, hogyan kezdték Petrie-vel kiterjeszteni a szabályos sokszögek klasszikus fogalmát:

Egy napon, 1926-ban, J. F. Petrie nagy izgalommal mesélte, hogy felfedezett két új szabályos poliédert, végtelen, de hamis csúcsok nélkül. Ahogy a szkepticizmusom kezdett alábbhagyni, leírta nekem őket – az egyik négyzetekből állt, mindegyik csúcson hat, a másik pedig hatszögekből, csúcsonként négyből [4] .

1938-ban Petrie, Coxeter, Patrick Duvall és H. T. Flaser kiadta The Fifty-Nine Icosahedra ( Fifty-nine icosahedra ) [5] című művét . Felismerve a Petrie által használt térbeli poliéderek fontosságát, Coxeter barátjáról nevezte el őket, amikor megírta a Regular Polytopes ( Reguláris poliéderek ) című könyvet.

1972-ben, néhány hónappal nyugdíjba vonulása után Petrie meghalt, miközben megpróbált átszaladni egy autópályán Surrey - i otthona közelében .

Petrie sokszögekről alkotott elképzelését később kiterjesztették a félig szabályos poliéderekre is .

Szabályos háromdimenziós poliéder Petrie-sokszögei

A Schläfli szimbólummal rendelkező szabályos poliéder Petrie -sokszögének oldalai hol vannak ${\displaystyle \{p,q\))$ $h$

cos^{2}(\pi /h)=cos^{2}(\pi /p)+cos^{2}(\pi /q)

A Petri-sokszögek kettős szabályos poliéderek , és hasonló vetületekkel rendelkeznek. ${\displaystyle \{p,q\))$ $\{q,p\}$

Petri-sokszögek szabályos poliéderekhez (piros sokszögek)


tetraéder	kocka	oktaéder	dodekaéder	ikozaéder

középpontjában a bordák	csúcsközpontú	éle középre	éle középre	csúcsközpontú
4 oldal	6 oldal	6 oldal	10 oldal	10 oldal
$V:(4,0)$	$V:(6,2)$	$V:(6,0)$	$V:(10,10,0)$	$V:(10,2)$
A Petrie-sokszögek ezeknek az ortogonális vetületeknek a külső határai. Az "elülső" bordák kék, a hátsó bordák pedig szürkével láthatók. A csúcspontok koncentrikus gyűrűit kívülről befelé számoljuk a következő jelöléssel: , nullára végződve, ha nincsenek központi csúcsok. $V:(a,b,\dots )$

A végtelen szabályos térbeli sokszögek ( apeirogonok ) 90, 120 és 60 fokos szögű szabályos tesszellációk Petrie-sokszögeiként is definiálhatók (négyzet, hatszög és háromszöglapok esetén).

A végtelen szabályos térbeli sokszögek Petrie-sokszögekként is léteznek olyan szabályos hiperbolikus csempékhez, mint például a 7. rendű háromszög alakú csempék {3,7}:

Szabályos poliéderek Petri-sokszögei négydimenziós térben (4-poliéder)

Lehetőség van szabályos poliéderek Petri-sokszögeinek meghatározására is a { p , q , r } négydimenziós térben .

{3,3,3} ötcellás 5 oldal V :(5,0)	{3,3,4} hatszögletű cella 8 oldala V :(8,0)	{4,3,3} tesseract 8 oldal V :(8,8,0)
{3,4,3} Huszonnégy cella 12 oldala V :(12,6,6,0)	{5,3,3} 120 cella 30 oldal V :(( 30,60 ) 3,60 3,30,60,0 )	{3,3,5} Hatszáz cella 30 oldala V:(30,30,30,30,0 )

Szabályos és egyenletes poliéderek 4-es és nagyobb méretű sokszögeinek vetületei

A Petrie-sokszög vetületek a leghasznosabbak a 4-es és nagyobb dimenziójú poliéderek megjelenítéséhez. A táblázat három szabályos politópcsalád (egyszerűségek, hiperkockák, ortoplexek) és kivételes egyszerű Lie-csoportok Petri-poligonjait mutatja be , amelyek 4 - től 8 - ig terjedő dimenziókhoz félig szabályos és homogén politópokat alkotnak.

A poliéderek irreducibilis családjainak táblázata

Család
n

n -simplex

n- hiperkocka

n -ortoplex

n- félkocka

1 k2

2k1 [ hu

k21 [ hu

ötszögű poliéder

Csoport

A n

Kr.e. n

I 2 (p)

D n

E 6

E 7

E 8

F4_ _

G2_ _

H n

p-gon
(példa: p=7 )

Kocka

6 félkocka

1 22_

221 [ hu

7 szimplex

7-kocka

7-ortoplex

7 félkocka

1 32_

231 [ hu

3 21

8 szimplex

8 kockás

8-ortoplex

8-kocka

1 42_

241 [ hu

4 21_

8 szimplex

9-kocka

9-ortoplex

9 félkocka

10 szimplex

10 kockás

10-ortoplex

10 félkocka

Dual Petri

A kettős Petri-sokszögek tárgyalásához bevezetjük a séma fogalmát [7] Informálisan a P séma sokszögek családja (amelyek végtelen szögűek is lehetnek) úgy, hogy

Bármely két sokszögnek van közös éle vagy csúcsa, vagy egyáltalán nem metszik egymást.
Minden él pontosan két sokszöghez tartozik.
A kiválasztott csúcsot tartalmazó sokszögek szomszédos sokszögek (megosztó élek) egy ciklusát alkotják.
Bármely két sokszöget szomszédos sokszögekből álló lánc köti össze.

Egy P séma Γ ( P ) automorfizmus-csoporttal rendelkezik, és P -t szabályosnak mondjuk , ha Γ ( P ) tranzitív a P jelzők F ( P ) halmazán . Ha egy P szabályos sémának p -szöglapjai és q-szögű csúcsalakjai vannak, akkor azt mondjuk, hogy (Schläfli) típusú {p, q}. Bármely szabályos politóp vagy végtelen tóp természetes módon szabályos mintát generál.

A szabályos politóp Petri duálisa ( Petrial [8] ) egy szabályos séma, amelynek csúcsai és élei megfelelnek az eredeti politóp csúcsainak és éleinek, lapjai pedig a Petri-sokszögek halmaza. Ezt a sémát π operátorként (felsõ indexként) jelöljük egy szabályos politóp felett. Minden él két laphoz tartozik (Petri-sokszögek) [9] [10] [11] [12] .

A {3,3} π tetraéder petrialjának 4 csúcsa, 6 éle és 3 négyzetlapja van (térnégyzetek formájában, vagyis a négyzet csúcsai nem egy síkban fekszenek). A χ = 1 Euler -karakterisztikával a petrial topológiailag azonos a {4,3}/2 félkockával .

A petrial kockának , {4,3} π , 8 csúcsa, 12 éle és 4 térbeli hatszöge van, az ábrán piros, zöld, kék és narancssárga színnel. Euler-karakterisztikája 0, és a toroidális hatszögletű burkolólap négy hatszögletű lapjaként fogható fel {6,3} (2,0) .

Az oktaéder petrialjának , {3,4} π , 6 csúcsa, 12 éle és 4 térbeli hatszöglapja van. A petrial -2 Euler-karakterisztikával rendelkezik, és egy 4. rendű hiperbolikus hatszögletű burkolatra van leképezve , {6,4} 3 .

A dodekaéder petrialjának , {5,3} π , 20 csúcsa, 30 éle és 6 lapja van, térbeli dodekaéderek formájában. Euler-karakterisztikája −4, és a hiperbolikus csempézéshez kapcsolódik {10,3} 5 .

Az ikozaéder petrialjának , {3,6} π , 12 csúcsa, 30 éle és 6 lapja van, térbeli dodekaéderek formájában. Euler-karakterisztikája −12, és a hiperbolikus csempézéshez kapcsolódik {10,5} 3 .

Helyes petrials

A tetraéder Petriuma {3,3} π = {4,3} 3 = {4,3}/2	Petrial kocka {4,3} π = {6,3} 3 = {6,3} (2,0)	A dodekaéder Petriuma {5,3} π = {10,3} 5 .
3 tér négyzet	4 térhatszög	6 térbeli tízszög

{4,3} 3 = {4,3}/2	{6,3} 3 = {6,3} (2,0)

Jegyzetek

↑ Az angol szakirodalomban - ferde sokszög, szó szerint - ferde sokszög . Az orosz irodalomban a térbeli sokszög kifejezés gyökeret vert , a ferde poliéder kifejezés pedig a ferde poliéder ( ferde poliéder ) kifejezésnek felel meg .
↑ Coxeter, 1995 , p. 161. cikk, 13. cikk.
↑ Gyakori a Petri név írásmódja is.
↑ Coxeter, 1937 , p. 33-62.
↑ Coxeter, 1938 , p. 1–26.
↑ Coxeter, 1973 , p. 32.
↑ McMullen, Schulte, 2002 , p. 17.
↑ Petri e du al
↑ McMullen, Schulte, 2002 , p. 192-200.
↑ Szójegyzék . Letöltve: 2016. február 13. Az eredetiből archiválva : 2021. május 7.. (határozatlan)
↑ Archivált másolat . Letöltve: 2016. február 13. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4.. (határozatlan)
↑ Szabályos térképek Coxeter-Petrie komplexumai

Irodalom

HSM Coxeter . 2.6 Petrie -poligonok , 24-25. oldal, 12. fejezet, 213-235. oldal Az általánosított Petrie-sokszög // Szabályos politópok . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
HSM Coxeter . 4.3. szakasz Zászlók és ortosémák, 11.3. szakasz Petrie-poligonok // Szabályos komplex politópok. - Cambridge, New York: Cambridge University Press, 1973. - ISBN 0-521-39490-2 .
W. Ball, G. Coxeter. Matematikai esszék és szórakoztatás. - Moszkva: "Mir", 1986. - S. 150.

HSM Coxeter . 5. fejezet: Szabályos ferde poliéder három és négy dimenzióban és topológiai analógjaik // A geometria szépsége: Tizenkét esszé. - Dover Publications, 1999. - ISBN 978-0486-40919-8 .
Peter McMullen, Egon Schulte. Absztrakt szabályos politópok . — 1. - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-81496-0 .
HSM Coxeter . Proceedings of the London Mathematical Society. - 1937. - T. 43. - S. 33-62.
HSM Coxeter . 13. papír, Reflexiók által generált diszkrét csoportok, 1933, 161. o. // Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
HSM Coxeter . Az ötvenkilenc ikozaéder. - 1938. - S. 1-26. — ( A Torontói Egyetem tanulmányai, 6. matematikai sorozat).

Linkek

Weisstein, Eric W. Petrie poligon (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Weisstein, Eric W. Hiperkocka grafikonok (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Weisstein, Eric W. Keresztpolitóp gráfok (angol nyelven) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Weisstein, Eric W. 24 cellás gráf a Wolfram MathWorldnél .
Weisstein, Eric W. 120 cellás gráf (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Weisstein, Eric W. 600 cellás grafikon a Wolfram MathWorld webhelyen .
Weisstein, Eric W. Gosset 3_21 grafikonja a Wolfram MathWorld webhelyén .

Poliéder

helyes

Háromdimenziós (platonikus szilárd testek)	szabályos tetraéder Kocka Oktaéder Dodekaéder ikozaéder
4D	Ötcellás tesserakt Hexadecimális sejt huszonnégy cella 120 cella Hatszáz sejt
Nagyobb méret (zárójelben jelölve)	Szabályos szimplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hiperoktaéder

Szabályos
, nem domború

Háromdimenziós az
arcok számával (zárójelben jelölve)

Monoéder (1)
Diéder (2)
Triéder (3)
Tetraéder (4)
Pentaéder (5)
Hexaéder (6)
Heptaéder (7)
Oktaéder (8)
Enneaéder (9)
Dekaéder (10)
Endekaéder (11)
Dodekaéder (12)
Tridekaéder (13)
Tetradekaéder (14)
Pentadekaéder (15)
Hexadekaéder (16)
Heptadekaéder (17)
Oktadekaéder (18)
Enneadekaéder (19)
Ikozaéder (20)
Ikozotetraéder (24)
Triakontaéder (30)
Hexacontahedron (60)
Enneakontaéder (90)
Hektotriadioéder (132)
Apeiroéder (∞)

konvex

Arkhimédeszi szilárd testek

Katalán testek

Prizmák
háromszög prizma négyszögű prizma Ötszögletű prizma Hatszögletű prizma Hétszögű prizma Nyolcszögletű prizma Kilencszögű prizma Tízszögű prizma Tizenegy szögű prizma Dodecagonal prizma

Johnson poliéder

Képletek ,
tételek ,
elméletek

Egyéb