Ötdimenziós poliéder

Az ötdimenziós geometriában az ötdimenziós politóp vagy 5-politóp egy 5 dimenziós térben lévő politóp, amelyet 4 dimenziós lapok határolnak . Ezenkívül minden 3-dimenziós poliéder cella pontosan két 4-dimenziós laphoz tartozik .

Definíció

Az 5-politóp egy zárt 5-dimenziós alakzat csúcsokkal , élekkel , lapokkal , cellákkal és 4 lapokkal . A csúcs az a pont, ahol öt vagy több él találkozik. Az él négy vagy több laphoz tartozó szegmens . Az arc három vagy több cellához tartozó sokszög . A cella egy (3-dimenziós) politóp , a 4-arc pedig egy 4-dimenziós politóp . Ezenkívül a következő követelményeknek kell megfelelniük:

1. Minden cellának pontosan két négydimenziós lapnak kell szomszédosnak lennie.
2. A szomszédos 4-dimenziós lapok nem ugyanazon a 4-dimenziós hipersíkon fekszenek .
3. Az ábra nem más, a követelményeknek megfelelő figurák kombinációja.

Jellemzők

Egy adott 5 dimenziós poliéder topológiáját a Betti-számai és a torziós együtthatói határozzák meg [1] .

A politópok jellemzésére használt Euler -karakterisztikának jelentése nem általánosítható megfelelően magasabb dimenziókra, bármilyen is legyen az alap topológia. A különböző topológiák nagy dimenziókban való megbízható megkülönböztetésére szolgáló Euler-karakterisztikának ez az inkonzisztenciája finomabb Betti-számok megjelenéséhez vezet [1] .

Hasonlóképpen, a poliéder orientálhatóságának fogalma nem elegendő a toroid poliéderek felületei csavarodásának jellemzésére, ami torziós együtthatók használatához vezet [1] .

Osztályozás

Az 5-dimenziós poliéderek olyan tulajdonságok szerint osztályozhatók, mint a " domborúság " és a " szimmetria ".

• Egy 5-politóp konvex , ha határai (beleértve a cellákat, a (3-dimenziós) lapokat és az éleket) nem metszik egymást (elvileg a politóp lapjai áthaladhatnak a héjon belül), és a vonalszakaszok, amelyek összekötik a héj bármely két pontját. az 5-politóp teljesen benne van. Ellenkező esetben a poliédert nem konvexnek tekintjük . Az önmetsző ötdimenziós poliédereket csillagpoliédereknek is nevezik, a nem konvex Kepler-Poinsot poliéderek csillagszerű formáinak analógiájára .

• Az egységes 5-politópoknak van egy szimmetriacsoportja , amelynek minden csúcsa ekvivalens, a 4-dimenziós lapok pedig egységes 4-politópok . Egy egységes poliéder 4 dimenziós lapjainak szabályosnak kell lenniük . A homogén ötdimenziós poliéderek teljes halmazát nem sikerült létrehozni.

• egy félig szabályos 5-politóp két vagy több típusú szabályos 4-dimenziós felületet tartalmaz. Csak egy ilyen figura van, melynek neve semipenteract .

• Egy normál 5-politópnak minden 4 dimenziós lapja azonos. Minden szabályos 5-politóp domború.

• a prizmatikus 5-politóp az alacsonyabb dimenziós poliéderek közvetlen terméke . A prizmatikus 5 dimenziós poliéder akkor homogén, ha a közvetlen szorzatban szereplő tényezői homogének. A hiperkocka prizmatikus (egy négyzet és egy kocka szorzata ), de külön kezeljük, mert nagyobb a szimmetriája, mint a faktorokból örökölt szimmetriák.

• A 4-dimenziós csempézés egy 4-dimenziós euklideszi tér felosztása szabályos poliéderrácsra. Szigorúan véve a burkolólapok nem poliéderek, mivel nincsenek korlátozások, de a teljesség kedvéért ide soroljuk őket, mivel sok tekintetben hasonlóak a poliéderekhez. Az egységes 4-dimenziós burkolólap olyan burkolólap, amelynek csúcsai krisztallográfiai csoportot alkotnak , lapjai pedig egységes 4-dimenziós poliéderek.

Szabályos 5-poliéder

A szabályos 5-dimenziós poliédereket a Schläfli-szimbólum {p,q,r,s} ábrázolhatja.

Pontosan három ilyen konvex szabályos 5-politóp létezik:

1. {3,3,3,3} - Hexatheron (5-dimenziós szimplex)
2. {4,3,3,3} – Penteract (5d kocka)
3. {3,3,3,4} – Ötdimenziós ortoplex [

3 konvex szabályos 5-politópnál és egy félregulárisnál az elemek a következők:

Név	Schläfli jelképe(i) .	Coxeter diagram(ok)	Csúcsok	borda	arcok	Cellák	4 dimenziós arcok	Szimmetria ( sorrend )
Hexateron	{3,3,3,3}		6	tizenöt	húsz	tizenöt	6	A 5 , (120)
Penteract	{4,3,3,3}		32	80	80	40	tíz	BC5 , (3820 )
5-ortoplex	{3,3,3,4} {3,3,3 1,1 }		tíz	40	80	80	32	Kr.e. 5 , (3840) 2×D 5

Egységes 5 dimenziós poliéder

Három félig szabályos 5-poliéder esetében az elemek a következők:

Név	Schläfli jelképe(i) .	Coxeter diagram(ok)	Csúcsok	borda	Szempontok	Cellák	4-arcú	Szimmetria ( sorrend )
Kiterjesztett 5 szimplex	t 0,4 {3,3,3,3}		harminc	120	210	180	162	2×A 5 , (240)
5 félköbös	{3,3 2,1 } h{4,3,3,3}		16	80	160	120	26	D5 , ( 1920) Kr.e. ½5
Rektifikált 5-ortoplex	t 1 {3,3,3,4} t 1 {3,3,3 1,1 }		40	240	400	240	42	Kr.e. 5 , (3840) 2×D 5

A kiterjesztett 5-dimenziós szimplex az egységes ötdimenziós szimplex méhsejt csúcsalakja ,. A félkockákból álló ötdimenziós méhsejt csúcsalakja ,, egy egyenirányított 5-ortoplex , és az arcok 5 -ortoplexek és 5-félköbösek .

Piramisok

Piramis alakú 5-poliéderek ( 5-piramisok ) úgy alakíthatók ki, hogy egy 4 dimenziós hipertérben lévő 4-dimenziós poliédert használunk, amely egy olyan ponthoz kapcsolódik, amely nem a hipersíkon fekszik. Az 5-dimenziós szimplex a legegyszerűbb példa, amelynek alapja egy 4-dimenziós szimplex.

Lásd még

• Szabályos 5 dimenziós poliéderek listája

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 3 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy , Princeton, 2008.

• T. Gosset A reguláris és félreguláris figurákról n dimenziós térben // A matematika hírnöke . - Macmillan, 1900.
• A. Boole Stott A félig szabályos geometriai levonása szabályos politópokból és térkitöltésekből // Verhandelingen, a Koninklijke academy van Wetenschhappen width unit Amsterdam. - Amszterdam, 1910. -T. Eerste Sectie 11,no. 1.
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, London, 1954
  • HSM Coxeter . Rendszeres politópok . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• HSM Coxeter . Kaleidoszkópok: HSM Coxeter válogatott írásai / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (22. cikk) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2.10]
  • (23. cikk) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (24. cikk) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Norman Johnson . Az egységes politópok és méhsejt elmélete. – Ph.D. Értekezés. — Torontói Egyetem, 1966.
• Richard Klitzing, 5D, egységes politópok (polytera) ]

Linkek

• Különböző dimenziójú politópok , Jonathan Bowers
• Uniform Polytera , Jonathan Bowers
• George Olshevsky Polytope on Glossary for Hyperspace

• Többdimenziós szószedet , Garrett Jones