Ötszögletű poliéder

Az ötszögletű politóp  egy n - dimenziós térben lévő szabályos politóp , amely a H n Coxeter-csoportból épül fel . A családot Harold Coxeter nevezte el , mivel a kétdimenziós ötszögű poliéder egy ötszög . Schläfli-szimbólumától függően nevezhetjük dodekaédernek ({5, 3 n − 2 }) vagy ikozaédernek ({3 n − 2 , 5}).

Családtagok

A család egydimenziós poliéderekkel kezdődik (szegmens, n = 1), és egy 4 dimenziós hiperbolikus gömb végtelen csempézésével ér véget, n = 5.

Kétféle ötszögletű poliéder létezik. Az egyik típust nevezhetjük dodekaéder poliédernek, a másikat ikozaédernek , háromdimenziós részeitől függően. Ez a két típus kettős egymáshoz képest.

Dodekaéder poliéder

A dodekaéder poliéderek teljes családja a következőkből áll:

1. szegmens , { }
2. Pentagon , {5}
3. Dodekaéder , {5, 3} (12 ötszögletű lap)
4. Százhúsz oldalú , {5, 3, 3} (120 dodekaéder cella)
5. 3, {5, 3, 3, 3} rendű 120 sejtes méhsejt - a hiperbolikus 4 dimenziós tér csempézése

Bármely dodekaéder poliéder lapjai eggyel kisebb dimenziójú dodekaéder ötszögű poliéderek. Csúcsfiguráik eggyel kisebb dimenziójú egyszerűségek .

n	Coxeter csoport	Petri-sokszög (vetítés)	Név Coxeter diagram Schläfli szimbólum	szempontok	Elemek
					Csúcsok	borda	Szempontok	Cellák	4 - arcok
egy	[ ] (2. sorrend)		Vonalszakasz {}	2 csúcs	2
2	[5] (10-es sorrend)		Pentagon {5}	5 borda	5	5
3	[5,3] (120-as sorrend)		Dodekaéder {5, 3}	12 ötszög	húsz	harminc	12
négy	[5,3,3] (14400-as rendelés)		120 cella {5, 3, 3}	120 dodekaéder	600	1200	720	120
5	[5,3,3,3] (∞ sorrend)		120 sejtes méhsejt {5, 3, 3, 3}	∞ 120 sejt	∞	∞	∞	∞	∞

Ikozaéder poliéder

Az ikozaéder ötszögű poliéderek teljes családja a következőkből áll:

1. szegmens , { }
2. Pentagon , {5}
3. Ikozaéder , {3, 5} (20 háromszög alakú lap)
4. Hatszáz cella , {3, 3, 5} (120 tetraéderes sejt)
5. Ötödrendű ötcellás méhsejt , {3, 3, 3, 5} – a hiperbolikus 4 dimenziós tér csempézése (∞ ötcellás fazet)

Bármely ikozaéder ötszögű poliéder lapjai eggyel kisebb dimenziójú egyszerűségek. A poliéderek csúcsalakjai egy kisebb dimenziójú ikozaéder ötszögű poliéderek.

n	Coxeter csoport	Petri-sokszög (vetítés)	Név Coxeter diagram Schläfli szimbólum	szempontok	Elemek
					Csúcsok	borda	Szempontok	Cellák	4 - arcok
egy	[ ] (2. sorrend)		Vonalszakasz {}	2 csúcs	2
2	[5] (10-es sorrend)		Pentagon {5}	5 borda	5	5
3	[5,3] (120-as sorrend)		ikozaéder {3, 5}	20 szabályos háromszög	12	harminc	húsz
négy	[5,3,3] (14400-as rendelés)		Hatszáz sejt {3, 3, 5}	600 tetraéder	120	720	1200	600
5	[5,3,3,3] (∞ sorrend)		Ötödik rendű ötcellás méhsejt {3, 3, 3, 5}	∞ Ötcellás	∞	∞	∞	∞	∞

Kapcsolódó csillag alakú poliéderek és méhsejtök

Ötszögletű poliéderekből csillagformákat lehet kialakítani , így új csillagszerű, szabályos poliédereket kaphatunk :

• A háromdimenziós térben négy Kepler-Poinsot poliédert kapunk  - { 3,5/2 }, { 5/2,3 }, { 5,5/2 } és { 5/2,5 }.
• A négydimenziós térben tíz Schläfli-Hess poliédert kapunk : {3,5,5/2} , { {5/2,5,3} , {5,5/2,5} , {5,3,5/2} , {5/2,3,5} , {5/2,5,5/2} , {5,5/ 2,3} , {3,5/2,5} , {3,3,5/2} és {5/2,3,3} .
• A négydimenziós hiperbolikus térben négy szabályos csillagozott méhsejt található : {5/2,5,3,3} , {3,3,5,5/2} , {3,5,5/ 2,5 } és {5,5/2,5,3} .

Jegyzetek

Irodalom

• HSM Coxeter . Kaleidoszkópok: HSM Coxeter válogatott írásai / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (10. cikk) HSM Coxeter, Star Polytopes és a Schlafli-függvény f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]
• HSM Coxeter . Rendszeres politópok . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - S.  292-293 . — ISBN 0-486-61480-8 .