Szabályos négydimenziós poliéder
A szabályos négydimenziós poliéderek a szabályos poliéderek négydimenziós analógjaiháromdimenziós térben és a szabályos sokszögek a síkban.
A szabályos 4-dimenziós politópokat először Ludwig Schläfli svájci matematikus írta le a 19. század közepén, bár a teljes halmazt jóval később fedezték fel.
Hat konvex és tíz csillag szabályos 4-politóp van, összesen tizenhat.
Történelem
A konvex 4-dimenziós poliédereket először Ludwig Schläfli svájci matematikus írta le a 19. század közepén. Schläfli felfedezte, hogy pontosan hat ilyen test létezik.
Schläfli négy szabályos, négydimenziós, csillagozott poliédert is talált : a nagy 120 cellás csillagot [en , a nagy 120 cellás csillagot , a nagy 600 cellás csillagot [ és a nagy nagy 120 cellás csillagot . A maradék hatot kihagyta, mert nem engedte meg az Euler -karakterisztika megsértését cellákon vagy csúcsalakokon ( F − E + V = 2). Ez kizárja az olyan cellákat és csúcsformákat, mint az {5,5/2} és az {5/2,5} .
Edmund Hess (1843–1903) Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder polyhedra8) teljes listát közölt német könyvében .
Épület
A szabályos 4-dimenziós poliéderek létezését korlátozza a szabályos (3-dimenziós) poliéderek létezése , amelyek a sejtjeit alkotják és behatárolják a diéder szögét.
hogy a cellák zárt 3 dimenziós felületek legyenek.
Az itt leírt hat konvex és tíz csillag poliéder az egyetlen megoldás, amely eleget tesz a megszorításoknak.
Négy nem-konvex Schläfli-szimbólum {p,q,r}, amelyek érvényes cellái {p,q} és csúcsalakjai {q,r} megfelelnek a diéderszög tesztnek, de nem hoznak létre végleges alakzatokat - {3,5/ 2 ,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.
Szabályos konvex 4-poliéder
A szabályos konvex 4-dimenziós poliéderek a platóni testek négydimenziós analógjai háromdimenziós térben és konvex szabályos sokszögek a kétdimenziós térben.
Közülük öt a platóni szilárd testek közeli analógjaként fogható fel. Van egy további ábra, a huszonnégy cella , amelynek nincs közeli háromdimenziós megfelelője.
Minden konvex szabályos 4-politópot háromdimenziós cellák határolnak , amelyek azonos típusú és méretű platóni testek. A sejtek az élek mentén érintkeznek egymással, megfelelő szerkezetet alkotva.
Tulajdonságok
A következő táblázatok felsorolják a hat konvex szabályos 4-dimenziós poliéder néhány tulajdonságát. Ezeknek a 4-poliédereknek a szimmetriacsoportjai mind Coxeter-csoportok , és ebben a cikkben megadjuk őket. A csoport nevét követő szám a csoport sorrendje .
| Nevek | Kép | Család | Schläfli Coxeter |
Csúcsok | borda | Szempontok | Cellák | Versh. ábra |
Kettős _ |
Szimmetria csoport | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ötcellás pentaéder 4 szimplex |
n -simplex (A n család ) |
{3,3,3}   |
5 | tíz | 10 {3} |
5 {3,3} |
{3,3} | (önkettős ) |
A 4 [3,3,3] |
120 | |
| nyolc cellás tesserakt 4-kocka |
n -kocka (B n család ) |
{4,3,3} |
16 | 32 | 24 {4} |
8 {4,3} |
{3,3} | 16 cellás | B 4 [4,3,3] |
384 | |
| tizenhat cellás 4-ortoplex |
n -ortoplex (B n család ) |
{3,3,4} |
nyolc | 24 | 32 {3} |
16 {3,3} |
{3,4} | 8 cellás | B 4 [4,3,3] |
384 | |
| huszonnégy cellás oktaplex polioktaéder (pO) |
Család F n | {3,4,3} |
24 | 96 | 96 {3} |
24 {3,4} |
{4,3} | (önkettős ) |
F4 [ 3,4,3 ] |
1152 | |
120 cellás dodekakontichoron dodekaplex polidodekaéder (pD) |
n-ötszögletű poliéder (H n család ) |
{5,3,3} |
600 | 1200 | 720 {5} |
120 {5,3} |
{3,3} | 600 cella | H 4 [5,3,3] |
14400 | |
| hatszáz sejtes tetraplex politetraéder (pT) |
n-ötszögletű poliéder (H n család ) |
{3,3,5} |
120 | 720 | 1200 {3} |
600 {3,3} |
{3,5} | 120 cella | H 4 [5,3,3] |
14400 | |
John Conway a szimplex, ortoplex, tesserakt, oktaplex vagy polioktaéder (pO), dodekaplex vagy polidodekaéder (pD) és tetraplex vagy politetraéder (pT) elnevezések támogatója [1] .
Norman Johnson az n-sejt vagy pentachoron, tesseract vagy octachoron, hexadecachoron, icositetrachoron, hekatonikosahedron (vagy dodekacontachoron) és hexacosichoron elnevezések támogatója. [2] [3] [4]
Az összes 4 dimenziós poliéder Euler karakterisztikája nulla. A poliéderek Euler-képletének van egy 4 dimenziós analógja:
ahol N k a k -lapok száma a poliéderben (a csúcs 0-lap, egy él 1-lap stb.).
Vizualizáció
A következő táblázat a 4D poliéderek néhány 2D vetületét mutatja be. Különféle egyéb vizualizációk találhatók a külső hivatkozásokon. A Coxeter-Dynkin diagramok grafikonjai szintén a Schläfli szimbólum alatt láthatók .
| A4 = [3,3,3 ] | BC4 = [4,3,3 ] | F4 = [3,4,3 ] | H4 = [5,3,3 ] | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Ötcellás | 8 cellás | 16 cellás | 24 cellás | 120 cella | 600 cella |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
|
|
|
|
|
|
|
| 3D ortográfiai vetítések | |||||
tetraéder héj (sejt/csúcs központú) |
köbös héj (cellaközpontú) |
köbös héj (cellaközpontú) |
koboktaéder héj (sejtközpontú) |
Csonka rombusz alakú triakontaéder (sejtközpontú) |
pentakiikosi – dodekaéder héj (cellaközpontú) |
| Schlegel diagramok drótvázai ( Perspektivikus vetítés ) | |||||
a sejt középpontjában |
a sejt középpontjában |
a sejt középpontjában |
a sejt középpontjában |
a sejt középpontjában |
felül középre |
| Sztereografikus vetületek drótvázai ( 3 gömb ) | |||||
Szabályos csillagzatú 4-poliéder (Schläfli–Hess)
A Schläfli-Hess 4- poliéder tíz szabályos önmagát metsző csillag alakú 4-politóp teljes listája [5] . A poliédereket felfedezőikről, Ludwig Schläfliről és Edmund Hessről nevezték el . Minden poliéder a Schläfli-szimbólum { p , q , r } jelképez, amelyben az egyik szám 5/2 . A poliéderek hasonlóak a szabályos, nem domború Kepler-Poinsot poliéderekhez .
Nevek
Az itt megadott neveket John Conway adta, és Cayley nevének kiterjesztései a Kepler-Poinsot poliéderekre – nagyot adott a csillagozott és nagy módosítókhoz . Conway a következő műveleteket határozta meg:
- csillagkép (csillagképződés) az éleket hosszabbakra cseréli ugyanazon a vonalakon. (Példa - az ötszöget pentagrammá alakítják)
- a nagyítás a lapokat nagyobb lapokra cseréli ugyanazon a síkon. (Példa - az ikozaéder nagy ikozaéderré növekszik )
- a nagyítás ( exaltáció ) a sejteket nagyméretűre cseréli ugyanabban a 3 dimenziós térben. (Példa - a 600 cellát a nagy 600 cellává emelik )
Conway-nevek 3 4-dimenziós, szabályos cellákkal rendelkező poliéder 10 alakzatához - pT=politetraéder (politetraéder) {3,3,5} (tetraéder hatszáz cella), pI=polikozéder (polikozaéder) {3,5,5/2} ( ikozaéder 120 cellás ) és pD=polidodekaéder (polidodekaéder) {5,3,3} (dodekaéder 120 cellás ) g , a és s előtagokkal a nagy (nagy), grand (nagy) és csillagozott ( csillagos). A végső csillagképet, a nagy csillagú polidodekaédert ezután gaspD -nek nevezzük .
Szimmetria
Mind a tíz polikornak van [3,3,5] ( H 4 ) hexacosichore szimmetriája . Ezeket a Goursat-tetraéderek racionális rendjének hat összekapcsolt szimmetriacsoportja hozza létre – [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2] ,5,5/2], [5.5/2.3] és [3.3.5/2].
Mindegyik csoportnak 2 szabályos csillagpolitópja van, kivéve két önkettős csoportot, amelyek mindegyike egy-egy politóp. Így a tíz szabályos csillagpoliéder között 4 kettős pár és 2 önkettős forma található.
Tulajdonságok
Jegyzet:
- Két egyedi csúcselrendezés létezik , amelyek 120 cellás és 600 cellában fordulnak elő .
- Négy egyedi élhely van , amelyek ortográfiai vetítési drótvázként jelennek meg.
- Hét egyedi arc-elrendezés van, amelyek az ortográfiai vetületek szilárd részeiként (színes lapokkal) jelennek meg .
A cellákat (3-dimenziós poliéderek), azok lapjait (sokszögei), sokszögű élfiguráit [ és poliéderes csúcsalakjait Schläfli -szimbólumaik ábrázolják .
| A Conway
név rövidítése |
ortogonális vetítés |
Schläfli Coxeter |
Cellák {p, q} |
Élek {p} |
bordák {r} |
Csúcsok {q, r} |
Sűrűség [ en | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ikozaéder 120 cellás poliikozaéder (pI) |
{3,5,5/2} 
|
120 {3,5} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
négy | 480 | |
| Kis csillagozott , 120 cellás csillagozott polidodekaéder (spD) |
{5/2,5,3}
|
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
120 {5,3} |
négy | −480 | |
| Nagy 120 cellás nagy polidodekaéder (gpD) |
{5,5/2,5}
|
120 {5,5/2} |
720 {5} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
6 | 0 | |
| Nagy 120 cellás nagy polidodekaéder (apD) |
{5,3,5/2}
|
120 {5,3} |
720 {5} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
húsz | 0 | |
| Nagy csillagos 120 cellás nagy csillagozott polidodekaéder (gspD) |
{5/2,3,5}
|
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
720 {5} |
120 {3,5} |
húsz | 0 | |
| Nagy csillagos 120 cellás nagy csillag alakú polidodekaéder (aspD) |
{5/2, 5, 5/2}
|
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
66 | 0 | |
| Nagyszerű nagy 120 cellás nagy nagy polidodekaéder (résD) |
{5,5/2,3}
|
120 {5,5/2} |
720 {5} |
1200 {3} |
120 {5/2,3} |
76 | −480 | |
| Nagy ikozaéder , 120 cellás nagy poliikozaéder (gpI) |
{3,5/2,5}
|
120 {3,5/2} |
1200 {3} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
76 | 480 | |
| Nagy hatszáz cellás nagy politetraéder (apT) |
{3,3,5/2}
|
600 {3,3} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
191 | 0 | |
| Nagy , 120 cellás nagy csillag alakú polidodekaéder (gaspD) |
{5/2,3,3}
|
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
600 {3,3} |
191 | 0 |
Lásd még
- Szabályos többdimenziós poliéder
- Szabályos poliéderek és vegyületek listája
- Végtelen szabályos 4-poliéder:
- Szabályos euklideszi méhsejt : {4,3,4}
- Négy kompakt, szabályos hiperbolikus méhsejt : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
- Tizenegy parakompakt szabályos hiperbolikus méhsejt : {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3 ,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} és {6,3,6}.
- Absztrakt szabályos 4-poliéder:
- Tizenegycellás {3,5,3}
- Ötvenhét cellás {5,3,5}
- E 6 szabályos alakzat alapján felépített homogén négydimenziós poliéderek családjai
- Plátói szilárdtestek
- Kepler-Poinsot test - szabályos csillag alakú poliéder
- Csillag sokszög - szabályos csillag sokszögek
Jegyzetek
- ↑ Conway, 2008 .
- ↑ Johnson a 4-dimenziós poliéder nevére a polichoron kifejezést is javasolta a háromdimenziós poliéder (poliéder) analógjaként, valamint a kétdimenziós sokszögek (sokszögek) a görög πολύ ("sok") és χώ ( ρος) szavak származékaként. "tér", "szoba")
- ↑ "Konvex és absztrakt politópok", Program és absztraktok, MIT, 2005 . Hozzáférés dátuma: 2016. február 23. Az eredetiből archiválva : 2014. november 29.
- ↑ Johnson (2015), 11. fejezet, 11.5. szakasz Gömb alakú koxetercsoportok
- ↑ Coxeter, csillagpolitópok és a Schläfli-függvény f{α,β,γ) p. 122 2. A Schlafli-Hess politópok
Irodalom
- HSM Coxeter . Bevezetés a geometriába. — 2. - John Wiley & Sons Inc., 1969. - ISBN 0-471-50458-0 .
- HSM Coxeter . Rendszeres politópok . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
- DMY Sommerville. Bevezetés az n méret geometriájába. — New York.
- Dover Publications, 1958
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. 26. fejezet: Szabályos csillagpolitópok // A dolgok szimmetriája. - 2008. - S. 404-408. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
- Edmund Hess. Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder. — 1883.
- Edmund Hess. Uber die regulären Polytope höherer Art. - Marburg: Sitzungsber Gesells Beförderung gesammten Naturwiss, 1885. - P. 31-57.
- HSM Coxeter . Kaleidoszkópok: HSM Coxeter válogatott írásai / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
- (10. cikk) HSM Coxeter, Csillagpolitópok és az f(α,β,γ) Schlafli-függvény [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
- HSM Coxeter . Rendszeres komplex politópok. — 2. - Cambridge University Press, 1991. - ISBN 978-0-521-39490-1 .
- Peter McMullen, Egon Schulte. Absztrakt szabályos politópok. - Cambridge University Press, 2004. - ISBN 0511058675 .
Linkek
- Weisstein, Eric W. Regular polychoron (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
- Jonathan Bowers, 16 szabályos 4-politóp archiválva : 2013. december 13. a Wayback Machine -nél
- Szokásos 4D politóp kihajtások
- A politópképek katalógusa archiválva : 2016. március 4. a Wayback Machine -nél A 4-politópok sztereografikus vetületeinek gyűjteménye.
- Egységes politópok katalógusa archiválva 2016. március 3-án a Wayback Machine -nél
- A dimenziók archiválva : 2009. szeptember 19. a Wayback Machine -nél 2 órás film a negyedik dimenzióról (az összes szabályos 4-politóp sztereografikus vetületét tartalmazza)
- George Olshevsky Hecatonicosachoron ] a Glossary for Hyperspace-ről
- George Olshevsky Hexacosichoron ] a Glossary for Hyperspace-ről
- George Olshevsky Stellation ] a Glossary for Hyperspace-ről
- George Olshevsky Greatening ] a Glossary for Hyperspace-ről
- George Olshevsky Aggrandizement ] on Glossary for Hyperspace
- Rendszeres politóp
- A rendes csillagpolikora
| Szabályos négydimenziós poliéder | |||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| konvex |
| ||||||||||||||||||||
| csillagkép |
| ||||||||||||||||||||