A Goursat -tetraéder a Wythoff-konstrukció tetraéderes alapterülete . A tetraéder minden lapja egy tükrös hipersíkot képvisel egy 3 dimenziós felületen - 3 gömb , euklideszi 3 dimenziós tér és hiperbolikus 3 dimenziós tér. Coxeter a területet Édouard Goursról nevezte el , aki először hívta fel a figyelmet ezekre a területekre. A Goursat-tetraéder a Schwartz-háromszögek elméletének kiterjesztése a Wythoff gömbön való megkonstruálására.
A Goursat-tetraéder grafikusan ábrázolható egy tetraéder gráf segítségével, amely az alapvető tartomány kettős konfigurációja tetraéderként. Ezen a grafikonon minden csomópont a Goursat-tetraéder egy-egy lapját (tükrét) képviseli. Minden él egy racionális számmal van ellátva, amely megfelel a tükrözési sorrendnek, ami ⁄ diéderszög .
A 4 csúcsú Coxeter-Dynkin diagram ezeket a tetraéderes gráfokat ábrázolja rejtett másodrendű élekkel. Ha sok él 2-es rendű, akkor a Coxeter csoport zárójeles jelöléssel ábrázolható .
Egy Goursat-tetraéder létezéséhez a gráf 3 csúcsú részgráfjainak (pqr), (pus), (qtu) és (rst) meg kell felelniük egy Schwartz-háromszögnek .
A Goursat-tetraéder szimmetriája lehet bármely szimmetria-alcsoport tetraéder szimmetriája, amelyet a fában az élek színe mutat. |
A Goursat-tetraéder kiterjesztett szimmetriája a Coxeter- szimmetriacsoport és a szimmetria alapvető tartományának (jelen esetben a Goursat-tetraéder) félig közvetlen szorzata . Coxeter jelölés ezt a szimmetriát beágyazott zárójelként támogatja, mint például az [Y[X]], ami az [X] szimmetria teljes Coxeter-csoportját jelenti, Y pedig a Goursat-tetraéder szimmetria. Ha Y tiszta tükörszimmetria, a csoport egy másik Coxeter-reflexió-csoportot képvisel. Ha csak egy egyszerű megkettőzési szimmetria van, Y kifejezhető explicit módon, például [[X]] tükör- vagy forgásszimmetriával, a kontextustól függően.
Az egyes Goursat-tetraéderek kiterjesztett szimmetriája az alábbiakban látható. A lehető legnagyobb szimmetria a szabályos tetraéderen , [3,3], és a prizmatikus pontcsoporton [2,2,2] vagy [2 [3,3] ], valamint a parakompakt hiperbolikus csoporton érhető el [ 3 [3,3] ].
Lásd a tetraéderszimmetriákat a 7 alacsony rendű tetraéderszimmetriához.
A következő szakaszok a Goursat tetraéder megoldások teljes készletét mutatják be a 3 gömb, az euklideszi 3 tér és a hiperbolikus 3 tér számára. Az egyes tetraéderek kiterjesztett szimmetriája is feltüntetésre kerül.
Az alábbi színes tetraéder diagramok az egyes szimmetriacsaládokból származó csonka poliéderek és méhsejt csúcsalakjai . Az élcímkék a sokszöglapok sorrendjét képviselik, amelyek kétszerese a Coxeter-gráf elágazási sorrendjének. A 2n jelű él diéderszöge . A 4-gyel jelölt sárga élek a Coxeter-diagram (összefüggetlen) tükreinek (csomópontjainak) derékszögéből származnak.
Megoldások 1 sűrűségű 3 gömbhöz : ( egységes poliéder )
Coxeter csoport és diagram |
[2,2,2] |
[p,2,2] |
[p,2,q] |
[p,2,p] |
[3,3,2] |
[4,3,2] |
[5,3,2] |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Szimmetria csoportsorrend | 16 | 8p _ | 4pq _ | 4p2 _ _ | 48 | 96 | 240 |
A tetraéder szimmetriái |
[3,3] (24-es sorrend) |
[2] (4. sorrend) |
[2] (4. sorrend) |
[2 + ,4] (8-as sorrend) |
[ ] (2. sorrend) |
[ ] + (1. sorrend) |
[ ] + (1. sorrend) |
Kiterjesztett szimmetriák | [(3,3)[2,2,2]] =[4,3,3] |
[2[p,2,2]] =[2p,2,4] |
[2[p,2,q]] =[2p,2,2q] |
[(2 + ,4)[p,2,p]] =[2 + [2p,2,2p]] |
[1[3,3,2]] =[4,3,2] |
[4,3,2] |
[5,3,2] |
A kiterjesztett szimmetriacsoportok sorrendje | 384 | 32p _ | 16 pq _ | 32p2 _ _ | 96 | 96 | 240 |
Grafikon típusa | Lineáris | Háromlevelű | |||
---|---|---|---|---|---|
Coxeter csoport és diagram |
Öt cella [3,3,3] |
Tizenhat cella [4,3,3] |
Huszonnégy cellás [ 3,4,3 ] [ ]] |
600 cella [ 5,3,3 ] [5,3,3] |
Semitesseract [3 1,1,1 ] |
Csonka egységes poliéderek csúcsalakja | |||||
Tetraéder | |||||
Szimmetria csoportsorrend |
120 | 384 | 1152 | 14400 | 192 |
Tetraéder szimmetria |
[2] + (2. sorrend) |
[ ] + (1. sorrend) |
[2] + (2. sorrend) |
[ ] + (1. sorrend) |
[3] (6. sorrend) |
Kiterjesztett szimmetria |
[2 + [3,3,3]] |
[4,3,3] |
[2 + [3,4,3]] |
[5,3,3] |
[3[3 1,1,1 ]] =[3,4,3] |
A kiterjesztett szimmetriacsoport sorrendje | 240 | 384 | 2304 | 14400 | 1152 |
1. sűrűségű megoldások: Konvex egységes méhsejt :
Grafikon típusa | Lineáris | Háromlevelű | Gyűrű | Prizma alakú | elfajzott | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Coxeter csoport Coxeter diagram |
[4,3,4 |
[4.3 1.1 ] |
[3 [4] ] |
[4,4,2] |
[6,3,2] |
[3 [3] ,2] |
[∞,2,∞] |
Teljesen csonka lépek csúcsalakja | |||||||
Tetraéder | |||||||
Tetraéder szimmetria |
[2] + (2. sorrend) |
[ ] (2. sorrend) |
[2 + ,4] (8-as sorrend) |
[ ] (2. sorrend) |
[ ] + (1. sorrend) |
[3] (6. sorrend) |
[2 + ,4] (8-as sorrend) |
Kiterjesztett szimmetria |
[(2 + )[4,3,4]] |
[1[4,3 1,1 ]] =[4,3,4] |
[(2 + ,4)[3 [4] ]] =[2 + [4,3,4]] |
[1[4,4,2]] =[4,4,2] |
[6,3,2] |
[3[3 [3] ,2]] =[3,6,2] |
[(2 + ,4)[∞,2,∞]] =[1[4,4]] |
1. sűrűségű megoldások: ( Konvex homogén lépek hiperbolikus térben ) ( Kompakt (Lanner egyszerű csoportok) )
Grafikon típusa | Lineáris | Háromlevelű | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Coxeter csoport Coxeter diagram |
[3,5,3] |
[5,3,4] |
[5,3,5] |
[5,3 1,1 ] |
|||
Teljesen csonka lépek csúcsalakjai | |||||||
Tetraéder | |||||||
Tetraéder szimmetria |
[2] + (2. sorrend) |
[ ] + (1. sorrend) |
[2] + (2. sorrend) |
[ ] (2. sorrend) |
|||
Kiterjesztett szimmetria |
[2 + [3,5,3]] |
[5,3,4] |
[2 + [5,3,5]] |
[1[5.3 1.1 ]] =[5,3,4] |
|||
Grafikon típusa | Gyűrű | ||||||
Coxeter csoport Coxeter diagram |
[(4,3,3,3)] |
[(4,3) 2 ] |
[(5,3,3,3)] |
[(5,3,4,3)] |
[(5,3) 2 ] | ||
Teljesen csonka lépek csúcsalakjai | |||||||
Tetraéder | |||||||
Tetraéder szimmetria |
[2] + (2. sorrend) |
[2,2] + (4-es sorrend) |
[2] + (2. sorrend) |
[2] + (2. sorrend) |
[2,2] + (4-es sorrend) | ||
Kiterjesztett szimmetria |
[2 + [(4,3,3,3)]] |
[(2,2) + [(4,3) 2 ]] |
[2 + [(5,3,3,3)]] |
[2 + [(5,3,4,3)]] |
[(2,2) + [(5,3) 2 ]] |
1. sűrűségű megoldások: (Lásd Paracompact (Kozul egyszerűségek csoportjai) )
Grafikon típusa | Vonalgrafikonok | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Coxeter csoport Coxeter diagram |
[6,3,3] |
[3,6,3] |
[6,3,4] |
[6,3,5] |
[6,3,6] |
[4,4,3] |
[4,4,4] | |
Tetraéder szimmetria |
[ ] + (1. sorrend) |
[2] + (2. sorrend) |
[ ] + (1. sorrend) |
[ ] + (1. sorrend) |
[2] + (2. sorrend) |
[ ] + (1. sorrend) |
[2] + (2. sorrend) | |
Kiterjesztett szimmetria |
[6,3,3] |
[2 + [3,6,3]] |
[6,3,4] |
[6,3,5] |
[2 + [6,3,6]] |
[4,4,3] |
[2 + [4,4,4]] | |
Grafikon típusa | Gyűrűs grafikonok | |||||||
Coxeter csoport Coxeter diagram |
[3 [ ] × [ ] ] |
[(4,4,3,3)] |
[(4 3 , 3)] |
[4 [4] ] |
[(6,3 3 )] |
[(6,3,4,3)] |
[(6,3,5,3)] |
[(6,3) [2] ] |
Tetraéder szimmetria |
[2] (4. sorrend) |
[ ] (2. sorrend) |
[2] + (2. sorrend) |
[2 + ,4] (8-as sorrend) |
[2] + (2. sorrend) |
[2] + (2. sorrend) |
[2] + (2. sorrend) |
[2,2] + (4-es sorrend) |
Kiterjesztett szimmetria |
[2[3 [ ] × [ ] ]] =[6,3,4] |
[1[(4,4,3,3)]] =[3,4 1,1 ] |
[2 + [(4 3 ,3)]] |
[(2 + ,4)[4 [4] ]] =[2 + [4,4,4]] |
[2 + [(6,3 3 )]] |
[2 + [(6,3,4,3)]] |
[2 + [(6,3,5,3)]] |
[(2,2) + [(6,3) [2] ]] |
Grafikon típusa | Háromlevelű | farokgyűrű | Simlex | |||||
Coxeter csoport Coxeter diagram |
[6,3 1,1 ] |
[3,4 1,1 ] |
[4 1,1,1 ] |
[3,3 [3] ] |
[4,3 [3] ] |
[5,3 [3] ] |
[6,3 [3] ] |
[3 [3,3] ] |
Tetraéder szimmetria |
[ ] (2. sorrend) |
[ ] (2. sorrend) |
[3] (6. sorrend) |
[ ] (2. sorrend) |
[ ] (2. sorrend) |
[ ] (2. sorrend) |
[ ] (2. sorrend) |
[3,3] (24-es sorrend) |
Kiterjesztett szimmetria |
[1[6,3 1,1 ]] =[6,3,4] |
[1[3,4 1,1 ]] =[3,4,4] |
[3[4 1,1,1 ]] =[4,4,3] |
[1[3,3 [3] ]] =[3,3,6] |
[1[4,3 [3] ]] =[4,3,6] |
[1[5,3 [3] ]] =[5,3,6] |
[1[6,3 [3] ]] =[6,3,6] |
[(3,3)[3 [3,3] ]] =[6,3,3] |
Több száz racionális megoldás létezik a 3-gömbökre , beleértve ezt a 6 lineáris gráfot, amelyek Schläfli–Hess poliédereket alkotnak , és 11 nemlineárist:
Vonalgrafikonok
|
A "farokkal gyűrű" számít:
|