Rendeljen 4 dodekaéder méhsejt

Rendeljen 4 dodekaéder méhsejt
Típusú	Hiperbolikus szabályos lépek
Schläfli szimbólum	{5,3,4} {5,3 1,1 }
Coxeter-Dynkin diagramok	↔
sejteket	{5,3}
Szempontok	Pentagon {5}
borda alak	négyzetek {4}
Vertex figura	Oktaéder
Kettős méhsejt	Köbös méhsejt rendelés 5
Coxeter csoport	BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ]
Tulajdonságok	Szabályos, kvázi szabályos lépek

A hiperbolikus 3D térben a 4 dodekaéder méhsejt  a négy kompakt, szabályos térkitöltő tesszelláció (vagy méhsejt ) egyike. A Schläfli-szimbólum {5,3,4} birtokában a méhsejt minden éle körül négy dodekaéder , csúcsai körül pedig 8 dodekaéder van oktaéderes elrendezésben. A méhsejt csúcsok 3 merőleges tengelyre épülnek. A méhsejtek kettős teste 5 rendű köbös lépek .

A geometriai méhsejt poliéder cellák , amelyek úgy töltik ki a teret  , hogy nem maradnak szabad hézagok. A méhsejt a tetszőleges méretű terek burkolásának általánosabb matematikai koncepciójának példája .

A méhsejt általában a szokásos euklideszi ("lapos") térben épül fel, mint a konvex egységes méhsejt . Nem euklideszi terekben is kialakíthatók , például hiperbolikus homogén méhsejtekben . Bármely véges egyenletes poliéder kivetíthető a kerületére, hogy egységes méhsejtet képezzen a gömb térben.

Leírás

A dodekaéder diéderszöge ~116,6°, így az euklideszi 3-dimenziós tér élére nem lehet 4 dodekaédert elhelyezni. Hiperbolikus térben azonban a dodekaéder méretezhető úgy, hogy a diéderszögei 90 fokra csökkenjenek, ebben az esetben négy dodekaéder pontosan kitölti az egyes élek körüli teret.

Szimmetria

A méhsejt félszimmetriával, {5,3 1,1 }, kétféle (szín) hatszögletű burkolólappal készülnek a Wythoff konstrukcióban .↔.

Rajzok

Beltrami-Klein modell

Kapcsolódó poliéderek és méhsejtök

A 3D hiperbolikus térben négyféle szabályos kompakt méhsejt létezik:

A Coxeter-csoportok [5,3,4] családjában tizenötféle egységes méhsejt található , beleértve ezeket a szabályos formákat is.

{5,3,4}	r{5,3,4}	t{5,3,4}	rr{5,3,4}	t 0,3 {5,3,4}	tr{5,3,4}	t 0,1,3 {5,3,4}	t0,1,2,3 { 5,3,4 }
{4,3,5}	r{4,3,5}	t{4,3,5}	rr{4,3,5}	2t{4,3,5}	tr{4,3,5}	t 0,1,3 {4,3,5}	t0,1,2,3 { 4,3,5 }

A Coxeter-csoportok elágazó családjában [5,3 1,1 ] tizenegyféle egységes méhsejt található , beleértve a váltakozó formában lévő lépeket is. Ezt a konstrukciót úgy ábrázolhatjuk, hogy felváltva (mint egy sakktáblán) két színű dodekaéder cellát.

Ezek a lépek rokonok a 16 cellás , köbös méhsejttel és a 4 sorrendű hatszögletű csempézett méhsejtekkel is, amelyek mindegyikének oktaéderes csúcsa van:

Szabályos lépek {p,3,4}
Tér	S3_ _	E 3	H3_ _
Kilátás	Végső	affin	Kompakt	Parakompakt	Neokompakt
Név	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
Kép
sejteket	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Ezek a méhsejtek a 4D poliéderek és a dodekaéder sejteket tartalmazó méhsejt sorozatának részei :

Tér	S3_ _	H3_ _
Kilátás	Végső	Kompakt		Parakompakt	Neokompakt
Név	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3,∞}
Kép
vertex ábra	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

4-es rendű, teljesen csonka dodekaéder lépek

4-es rendű, teljesen csonka dodekaéder lépek
Típusú	Homogén méhsejt a hiperbolikus térben
Schläfli szimbólum	r{5,3,4} r{5,3 1,1 }
Coxeter-Dynkin diagramok	↔
sejteket	r{5,3} {3,4}
Szempontok	Háromszögek {3} ötszögek {5}
Vertex figura	kocka
Coxeter csoport	BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ]
Tulajdonságok	Vertex-tranzitív, él-tranzitív

4' rendű, teljesen csonka dodekaéder lépek ,, váltakozó oktaéderes és ikozidodekaéderes cellákkal rendelkeznek, a csúcsa egy kocka .

Kapcsolódó méhsejt

Négyféle teljesen csonka, kompakt, szabályos méhsejt létezik:

Négy teljesen csonka szabályos kompakt méhsejt a H 3 -ban

Kép
Kijelölés	r{5,3,4}	r{4,3,5}	r{3,5,3}	r{5,3,5}
Vertex figura

4-es rendű csonka dodekaéder lépek

4-es rendű csonka dodekaéder lépek
Típusú	Homogén méhsejt a hiperbolikus térben
Schläfli szimbólum	t{5,3,4} t{5,3 1,1 }
Coxeter-Dynkin diagramok	↔
sejteket	t{5,3} {3,4}
Szempontok	Háromszögek {3} Tízszögek {10}
Vertex figura	négyzet alakú piramis
Coxeter csoport	BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ]
Tulajdonságok	Vertex tranzitív

4. rendű csonka dodekaéder lépek ,, oktaéderes és csonka dodekaéderes cellák , amelyek csúcsa egy kocka .

A méhsejt a 4 t{5,4} nagyságú, kétdimenziós hiperbolikus csonka ötszögletű, csonka ötszögű és négyzet alakú lapok analógjának tekinthető :

Kapcsolódó méhsejt Négyféle csonka, szabályos, kompakt méhsejt a H 3 -ban

Kép
Kijelölés	t{5,3,4}	t{4,3,5}	t{3,5,3}	t{5,3,5}
Vertex figura

Rendeljen 4 bitroncsolt dodekaéder méhsejtet

Rendeljen 4 bitroncsolt dodekaéder méhsejt Rendeljen 5 bitcsonka köbös méhsejtet
Típusú	Homogén méhsejt a hiperbolikus térben
Schläfli szimbólum	2t{5,3,4} 2t{5,3 1,1 }
Coxeter-Dynkin diagramok	↔
sejteket	t{3,5} t{3,4}
Szempontok	Háromszögek {3} Négyzetek {4} Hatszögek {6}
Vertex figura	Tetraéder
Coxeter csoport	BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ]
Tulajdonságok	Vertex tranzitív

Rendeljen 4 bitroncsolt dodekaéder méhsejt vagy 5 bitcsonka köbös méhsejt ,, csonka oktaédereket és csonka ikozaédereket tartalmaznak cellákként és tetraédert csúcsalakként .

Kapcsolódó méhsejt Háromféle bitroncsolt, szabályos kompakt méhsejt a H 3 -ban

Kép
Kijelölés	2t{4,3,5}	2t{3,5,3}	2t{5,3,5}
Vertex figura

4-es rendű ferde dodekaéder méhsejt

4-es rendű ferde dodekaéder méhsejt
Típusú	Homogén méhsejt a hiperbolikus térben
Schläfli szimbólum	rr{5,3,4} rr{5,3 1,1 }
Coxeter-Dynkin diagramok	↔
sejteket	rr{3,5} r{3,4} {}x{4} kocka
Szempontok	Háromszögek {3} Négyzetek {4} Ötszögek {5}
Vertex figura	háromszög prizma
Coxeter csoport	BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ]
Tulajdonságok	Vertex tranzitív

4-es rendű ferde dodekaéder méhsejt ,, amelynek csúcsa rombikozidodekaéder , kuboktaéder és köbös cellák , valamint egy háromszög alakú prizma .

Kapcsolódó méhsejt

Négyféle ferde, szabályos kompakt méhsejt H 3 -ban
Kép Kijelölés rr{5,3,4} rr{4,3,5} rr{3,5,3} rr{5,3,5} Vertex figura

Ferdén csonka rend 4 dodekaéder méhsejt

4-es rendű ferde csonka dodekaéder lépek
Típusú	Homogén méhsejt a hiperbolikus térben
Schläfli szimbólum	tr{5,3,4} tr{5,3 1,1 }
Coxeter-Dynkin diagramok	↔
sejteket	tr{3,5} t{3,4} {}x{4} kocka
Szempontok	négyzetek {4} hatszögek {6} tízszögek {10}
Vertex figura	tükör spenoid
Coxeter csoport	BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ]
Tulajdonságok	Vertex tranzitív

A 4-es rendű ferdén csonka dodekaéder lépek egységes lépek Coxeter-Dynkin diagrammalés amelynek csúcsalakja egy tükörsfenoid .

Kapcsolódó méhsejt Négy fajta ferdén csonka szabályos kompakt méhsejt a H 3 -ban

Kép
Kijelölés	tr{5,3,4}	tr{4,3,5}	tr{3,5,3}	tr{5,3,5}
Vertex figura

4-es rendű szálcsonka dodekaéder méhsejt

4-es rendű, szálcsonka dodekaéder lépek
Típusú	Homogén méhsejt a hiperbolikus térben
Schläfli szimbólum	t 0,1,3 {5,3,4}
Coxeter-Dynkin diagramok
sejteket	t{5,3} rr{3,4} {}x{10} {}x{4}
Szempontok	Háromszögek {3} Négyzetek {4} Tízszögek {10}
Vertex figura	négyes piramis
Coxeter csoport	BH 3 , [5,3,4]
Tulajdonságok	Vertex tranzitív

A 4-es rendű, szálcsonka dodekaéder lépek egységes lépek Coxeter-Dynkin diagrammalés egy négyszög alakú piramis csúcsalakként .

Kapcsolódó méhsejt

Négyféle ekével csonka szabályos kompakt méhsejt a H 3 -ban
Kép Kijelölés t 0,1,3 {5,3,4} t 0,1,3 {4,3,5} t 0,1,3 {3,5,3} t 0,1,3 {5,3,5} Vertex figura

Lásd még

• Konvex homogén lépek hiperbolikus térben
• Poincaré homológia szféra Poincaré dodekaéder tér
• Seifert – Weber tér Seifert–Weber dodekaéder tér
• Szabályos többdimenziós poliéderek és vegyületek listája

Jegyzetek

Irodalom

• Coxeter . I. és II. táblázat: Szabályos politópok és méhsejtekRendszeres politópok . — 3. szerk.. - Dover Publications, 1973. -  294-296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Coxeter . 10. fejezet: Szabályos lépek hiperbolikus térben, II.,III.,IV.,V. összefoglaló táblázatok // A geometria szépsége: Tizenkét esszé . - Dover Publications, 1999. - S.  212-213 . - ISBN 0-486-40919-8 .
• Jeffrey R. Weeks. 16-17. fejezet: Geometriák három-sokaságon I,II // A tér alakja. — 2. — ISBN 0-8247-0709-5 .
• NW Johnson . Egységes politópok. - 1991. - (Kézirat).
  • NW Johnson . Az egységes politópok és méhsejt elmélete. - Torontói Egyetem, 1966. - (Ph.D. értekezés).
  • NW Johnson . 13. fejezet: Hiperbolikus Coxeter csoportok // Geometriák és transzformációk. — 2015.