A matematikai jelölés története

A matematikai jelölés története a matematikai egyenletek és képletek tömör írásához használt szimbólumok fejlődésének története . A különböző ábécék ( latin , köztük gót , görög és héber ) hindu-arab számok és betűk mellett a matematikai nyelv számos különleges szimbólumot használ , amelyeket az elmúlt évszázadok során találtak ki.

A jól átgondolt, a vizsgált objektumok tulajdonságait tükröző jelölések segítenek elkerülni a hibákat, félreértelmezéseket, átvinni a vizsgálat egy részét technikai szintre, sokszor „sugalmazzák” a probléma megoldásának helyes módját. Alfred Whitehead szerint a jó jelölés megszabadítja az agyat a felesleges munkától, ezáltal lehetővé teszi számára, hogy a fontosabb feladatokra összpontosítson [1] .

Kezdetben (például Eukleidész Principiájában ) a matematikai állításokat verbálisan fogalmazták meg. Egy ilyen nyilvántartás nehézkes, gyakran kétértelmű volt, és az algebrai transzformációk rendkívüli képzettséget igényeltek. A kottaírás fejlődéséhez nagyban hozzájárult François Viet (XVI. század); különösen a konkrét számok helyett betűjeleket kezdett használni. Fokozatosan a matematikai képletekben szinte minden szót ( műveletek megjelölése , összehasonlítási viszonyok stb.) speciális szimbólumok váltottak fel - a matematika saját nyelvet kapott, amely nem igényel fordítást, egy olyan nyelvet, amely egyértelműen meghatározott "szavak" jelentéssel és szigorú nyelvtannal rendelkezik. , ami lehetővé teszi az igaz származtatást, más állítások igazak.

A szimbólumok szerepe a matematikában

A szimbolikus megnevezések előnye a tömörség, az egyértelmű értelmezés, az átalakítás egyszerűsége. Leibniz a Tschirnhausnak írt levelében (1678) ezt írta [2] :

Ügyelni kell arra, hogy a jelölés kényelmes legyen a felfedezések számára. Ez akkor érhető el a legnagyobb mértékben, ha a jelek röviden kifejezik és mintegy tükrözik egy dolog legmélyebb természetét; ugyanakkor meglepően lecsökken a gondolkodás munkája.

Josef Peter Treutlein ( 1845-1912 ) német történész a szimbolikáról azt vette észre, hogy a szellemi tartalom sehol nem kapcsolódik olyan szorosan az ábrázolás formájához, mint a matematikában, így a tartalom fejlesztéséhez, elmélyítéséhez gyakran szükséges a fejlesztés. a forma [3] .

Egy másik matematikatörténész, Moritz Cantor meghatározza a matematikai jelölés követelményeit [4] :

Világosan és egyértelműen tükröznie kell azt a koncepciót vagy műveletet, amelyre szánták.
Rövidnek és kényelmesnek kell lennie (könnyen írható és nyomtatható).
Elég rugalmasnak kell lennie ahhoz, hogy szükség esetén lehetővé tegye jelentésének kiterjesztését szélesebb területekre.

Ezek az állítások magyarázatot adnak arra, hogy a matematikai jelölésrendszer történetileg milyen irányba fejlődött.

Az ókori számrendszerek és a matematikai szimbolika eredete

Minden civilizációban a legrégebbi matematikai jelölés a számozás (számok rögzítése) . Az alapkarakterekből (számokból) számképzés módszere szerint az ősi számozási rendszereket három típusra osztják [5]

Adalékanyag ( lat. additio - additív szóból ). Példa: XXX római szám, amely három római „tíz” karakterből áll, és a 30-as értéket képviseli.
Kivonó (a lat. subtractio - kivonás ). Példa: a IX római szám, ahol az egységszimbólum a tíztől balra van, ezért levonjuk belőle.
Szorzó ( lat. multiplicatio - szorzás ). Példa erre a kínai számjelölési rendszer (lásd alább ).

Később megjelent egy pozíciós számrendszer , amelyben egy számjegy számértéke nemcsak magától a számjegytől, hanem a számbevitelben elfoglalt helyétől is függ. Később megjelentek a műveleti jelek , relációk és egyéb szimbolikus megjelölések is, kezdetben az algoritmusok, képletek szóban kerültek megfogalmazásra.

Ókori Egyiptom

Az ókori egyiptomi számozás eleinte hasonló volt a későbbi rómaihoz : külön jelei voltak az 1-nek, 10-nek, 100-nak, ... 10 000 000-nek, összeadva (összeadva). Az egyiptomiak jobbról balra írtak, de a szám legkevésbé jelentős számjegyeit írták először, így végül a számok sorrendje megfelelt a mainak. A hieratikus írásnak már külön megnevezése van minden egyes számjegyhez 1-től 9-ig, és a különböző tízesek, százak és ezrek rövidítései [6] .

A speciális jelek a forma törtjeit , valamint a gyakorlatilag fontos törteket jelölték . Nem rendelkeztek a tört általános fogalmával , és minden nem kanonikus törtet aliquot törtek összegeként ábrázoltak . A tipikus bővítéseket nehézkes táblázatokban foglaltuk össze [6] . ${\frac {1}{n}}$ ${\frac {2}{3))$ ${\frac {m}{n}}$

Példák a közönséges törtek képeire

1/2

1/3

2/3

1/4

1/5

Példa törtek írására a Rhindai papiruszról [7] :

5 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 7 + 1 ⁄ 14 (érték: 5 5 ⁄ 7 )

Az összeadás és kivonás műveleteinek jelölésére az egyik hieroglifát használták:

vagy

Ha ennek a karakternek a „lábai” iránya egybeesett az írás irányával, akkor „összeadást”, más esetekben „kivonást” jelentett. A szorzásra és osztásra nem volt külön jelölés [8] .

Babilon

A sumérok és a babilóniaiak a hatszázas számrendszert használták . Írtak, mint az európaiak, balról jobbra. A szükséges 60 számjegy ékírásos rögzítése azonban sajátos volt. A számoknak csak két előjele volt, jelöljük őket E (egységek) és D (tízesek); később volt egy ikon a nullára. Az 1-től 9-ig terjedő számok E, EE, ... EEEEEEEEE jelűek. Következett a D, DE, ... DDDDDEEEEEEEE (59). Így a szám pozicionális hatszázalékos rendszerben, a hatszázalékos számjegyei pedig additív decimálisban kerültek ábrázolásra. A törteket ugyanígy írtuk. A népszerű 1/2, 1/3 és 2/3 törtekre külön jelek voltak [9] .

Az egyenletek megoldására szolgáló algoritmusok leírásánál az ismeretlenek előjelei sumérok voltak, amiből arra következtethetünk, hogy ezek az algoritmusok ősiek; ezeket a jeleket a modern algebra ismeretlenek rövidítéseként használták [10] .

Kína

A kínai számokat speciális hieroglifákkal jelölték, amelyek a Kr. e. 2. évezredben jelentek meg. e., és védjegyüket végül az ie III. e. Ezeket a hieroglifákat ma is használják. A kínai számírási mód eredetileg szorzós volt . Például az 1946-os számot a következőképpen írták:一千九百四十六 - "ezer-kilenc-egyszáznégy-tíz-hat". A gyakorlatban azonban a számításokat a suanpan számlálótáblán végezték , ahol a számok jelölése eltérő volt - helyzeti, mint Indiában, és a babilóniaiaktól eltérően decimális. A nullát először üres hely jelezte, egy speciális hieroglifa az i.sz. 12. század környékén jelent meg. e. A számlálótáblán történő szorzáshoz és osztáshoz hatékony algoritmusokat fejlesztettek ki, amelyeket a kézikönyvekben szóban ismertetnek [11] .

A Kr.u. 3. században e. a Kínában hagyományos tizedes mértékrendszer hatására megjelentek a tizedes törtek is . Az írott forrásokban a tizedes törteket egy ideig a hagyományos (nem pozicionális) formátumban ábrázolták, de fokozatosan a helyrendszer váltotta fel a hagyományost [12] .

Az ókori Görögország

A görög számozás az egyiptomihoz és a rómaihoz hasonlóan additív volt, vagyis a karakterek számértékeit összeadták. Első változata ( Padlás vagy Heródes ) 1, 5, 10, 50, 100 és 1000 betűket tartalmazott. Ennek megfelelően egy kavicsos számlálótáblát ( abakuszt ) helyeztek el. Egy speciális lyukas kavics, amelyet nullával jelöltek. Később (Kr. e. V. századtól) a padlási számozás helyett az ábécé számozást alkalmazták - a görög ábécé 24 betűjéből az első 9 1-től 9-ig terjedő számokat jelölte, a következő 9 betű tízes volt, a többi több száz. A számok és a betűk összekeverésének elkerülése érdekében a számok fölé kötőjelet húztak. Az 1000-nél nagyobb számokat pozícionáltan írtuk, további számjegyeket speciális vonalvezetéssel (balra lent) jelöltek meg. A speciális jelek lehetővé tették a 10 000-nél nagyobb számok ábrázolását [13] . Az ókori görög tudósok voltak az elsők, akik függőlegesen írták le a törteket – azonban a számlálójuk nem magasabb, hanem alacsonyabb volt a nevezőnél, és a törtnek nem volt sora [14] .

Eleinte a görögöknek nem volt algebrai szimbolikája. Az egyetlen kivételt a geometriai pontok rövid betűi , valamint a végpontjukon lévő vonalszakaszok vagy körívek tekintik .

Az ókori algebra csúcsát Alexandriai Diophantus (Kr. u. 3. század) munkája jelentette. Korát messze megelőzve bevezette a betűszimbolikát - eddig csak egy ismeretlen mennyiségre, amit betűvel ( zeta ) jelöl meg. Diophantus speciális szimbólumokat is használt az ismeretlen hatalmaira, egészen a hatodikig, és azok kölcsönös szimbólumaira. A speciális szimbólum (fordított betű ) az őt követő szám kivonását jelentette. A betű ( iota , görögül ἴσος 'egyenlő') az egyenlőségjel szerepét töltötte be. Mindezek az újítások lehetővé tették például a hatványok szorzásának szabályait (beleértve a negatívakat is), az előjelek szabályát a negatív számokkal történő szorzáskor, valamint a határozatlan egyenletek egész számokban történő megoldásának módszereit általános formában [15] [ 16] . $\zeta$ $\psi$ $\iota$

India

Már az ókori indiai szanszkrit nyelvű szövegekben is biztosítottak eszközöket a számok elnevezésére a decimális számrendszerben [17] , ig . $10^{53}$

Az indiai számozás két okból vonult be a történelembe. A Kr.e. 6. század körül e. Indiában külön jelek jelentek meg az 1-től 9-ig terjedő számokhoz, amelyek a modern európai számok prototípusává váltak; szerzőjük ismeretlen, de az első három megnevezés egybeesik a kínaiakkal. Körülbelül i.sz. 500. e. Indiai tudósok találták fel a decimális pozíciórendszert a számok írására. Az új rendszerben az aritmetikai műveletek elvégzése mérhetetlenül egyszerűbbnek bizonyult, mint a régiekben, ügyetlen betűkódokkal vagy hatszázalékos számokkal. Az új rendszer érdekében új szám, a nulla bevezetésére volt szükség . A tudósok nem értenek egyet abban, hogy ez az ötlet a görögöktől, Kínától származik-e Indiában, vagy az indiaiak maguk találták ki ezt a fontos szimbólumot [18] .

Az indiai matematikusok folytatták a matematikai szimbolika fejlesztését, bár saját útjukat járták. Miután a megfelelő szanszkrit kifejezéseket egy szótagra redukálták, az ismeretlenek, azok erejének és szabad egyenleteinek szimbólumaiként használták őket. Például a szorzást a gu jellel jelölték (a gunita szóból , szorozva). A kivonást a részfej feletti pont vagy a tőle jobbra lévő pluszjel jelezte. Ha több ismeretlen volt, akkor a határozottság érdekében feltételes színeket kaptak. A négyzetgyököt a " mu " szótag jelölte, ami a mula (gyök) rövidítése. A fokozatok elnevezésére a " varga " (négyzet) és a " ghava " (kocka) kifejezések rövidítéseit használták [19] :

Fokozat	$x^{2}$	$x^{3}$	$x^{4}$	$x^{5}$	$x^{6}$	$x^{7}$	$x^{8}$	$x^{9}$
Név	wa	gha	wah wah	va gha ghata	wa gha	wa va gha ghata	ááááááááá	gha gha

A törtek rögzítését a görögöktől eltérően a modern szabályok szerint készítették: a számlálót a nevező fölé, bár szokás volt, hogy a vegyes tört teljes részét nem balra, hanem a számláló fölé írták. A törtek összeadását és szorzását ugyanúgy jelöltük – mindkét tört egyszerűen egymás mellé volt írva; szöveges magyarázatokból kellett felismerni a művelet típusát. Nem volt egyenlőségjel , az egyenlet jobb oldala a bal oldal alá volt írva, a monomokat az ismeretlen azonos hatványaival levágva [20] .

Oroszország

A cirill számrendszer („szláv számozás”) Oroszországban a cirill ábécével együtt jelent meg (IX. század), és átvette a görög szokást, hogy a számokat speciális ikonnal jelölt betűkkel jelölték ki. A göröghöz hasonló betűket használtak, de kifejezetten a szláv ( b , zh , w stb.) nem kapott számértékeket. Kivételt tettek a h és ts betűk, amelyek az archaikus görög "koppa" és " sampi " betűk számértékeit vették át . A számokat úgy írták, mint a római-görög rendszerben - additív módon: például mg 40 + 3-at jelentett. Nagy számoknál (1000-től kezdődően) speciális jeleket használtak [21] . A cirill számrendszert a keleti szlávok a 18. századig használták, ezt követően az egyházi irodalom kivételével mindenhol felváltotta a modern.

Más népek

A cikkek más népek számozási rendszereivel foglalkoznak:

A szimbolizmus történeti fejlődése

Középkor

Az arab országok matematikusai a 7. és 13. század közötti időszakban járultak hozzá az ókori és indiai tudás fejlődéséhez. Többek között átvették az indiai decimális pozíciószámozást, és elsajátították (látszólag a kínaiaktól függetlenül) a tizedes törteket . Al-Uklidisi volt az első, aki a 10. században leírta a tizedes törtekkel való munka szabályait, a tört teljes részét aposztrófpal választották el a törttől . A tizedes aritmetika részletes leírását al-Kashi adta ki a 15. században, de a tizedes törteket még akkor sem használták elterjedten az iszlám világban. A szám törtrészének elkülönítésére al-Kashi függőleges vonalat vagy más színű tintát használt. Bár az " algebra " kifejezés arab eredetű, az iszlám országokban nem volt szimbolikus algebra, minden képletet szóban mondtak ki; a kivételt al-Kalasadi (1486) spanyol-mór matematikus és tanítványai alkották. Al-Kalasadi talált ki jeleket az ismeretlenre, annak négyzetére, négyzetgyökére és egyenlőségjelére, de ezek nem kaptak elosztást [22] .

A 12. századtól kezdődően az ókori és arab művek behatoltak Európába, és lefordították őket latinra . Ugyanakkor, különösen a kereskedési környezetben, rohamosan terjednek az indiai adatok és az ezekkel kapcsolatos szabályok. Az európai matematikusok első írásaiban még mindig minden képlet szóban szerepel. Az algebrai szimbolizmus első (nem túl kényelmes) vázlatát Luca Pacioli , a 15. század legnagyobb algebraistája készítette. Bevezette az általános használatba az összeadás és a kivonás műveletének jelölését (az olasz piu, meno szóból ), amely nagyon hasonló a későbbi pluszhoz és mínuszhoz . A négyzetgyökhöz Pacioli a Fibonacci által javasolt stilizált betűket használta, a Radix (gyök) szóból , a másodiknál egy fokkal magasabb gyökök megjegyzésével. Példa a Pacioli [23] bejegyzéshez : ${\tilde {p}}$ ${\tilde {m}}$ $R_{x}$

R_{x}.6.{\tilde {m}}.R_{x}.2.

korabeli jelölések:

{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}.

Pacioli az indiai rendszerre emlékeztető rövid szótagokat javasolt az ismeretlenre és annak fokozataira, de 1484-ben Nicolas Chuquet kiadott egy kényelmesebb tervezetet; például Schuke modern monomiját egyszerűen úgy írták, hogy Schuke további ígéretes ötletei közé tartozik a mínusz használata a negatív számok jeleként, valamint az összetett kifejezések aláhúzása a modern zárójelek helyett [24] [25] . $12x^{3}$ $12^{3}.$ ${\tilde {m}}$

Egy másik fontos lépést tett a 15. századi német algebrai iskola, amely magát cossistnak nevezte (Pacioli az ismeretlen mennyiséget cosa , dolognak nevezte). Johann Widmann számtani tankönyvében (1489) Pacioli összeadás és kivonás jeleit a modern plusz és mínusz váltotta fel. A kosszisták az ismeretlen fokait gótikus betűk kombinációjával jelölték , ezek a "kozmikus jelek" némi népszerűségre tettek szert (hatásuk még Magnyitszkij "Aritmetikájában" is , 1703) [26] .

XVI század. Simon Stevin és François Viet

Egy évszázaddal al-Kashi után jelent meg Simon Stevin A tizedik (1585) című műve, amellyel megkezdődött a tizedes törtek széles körű használata Európában. Az érthetőség kedvéért Stevin a számukat a tizedesjegyek feletti körökben jelölte meg (lásd az ábrát). Ugyanezzel az eszközzel írt le algebrai kifejezéseket ; a körben lévő ábra a változó számát jelölte, előtte szükség esetén ennek a változónak a mértéke: sec (négyzet) vagy ter (kocka). Stevin az M és D betűket használta a szorzás és az osztás szimbólumaként. Stevin szabadon használt törtkitevőket, az általa is körözött [27] .

A 16. században megjelent egyéb ismert jelölések közé tartozik az egyenlőségjel (1557, Robert Record ) és a tizedesvessző ( Giovanni Magini , 1592). Christoph Rudolf német matematikus , a Cossist iskolából a Pacioli-féle négyzetgyök-jelölést a modern gyökjelre cserélte ( 1525) [28] . Szokatlan sorsra jutottak a 16. században felfedezett összetett számok , amelyeket eleinte feltételes, értelmetlen szimbólumokként vezettek be, majd két évszázaddal később világos jelentést nyertek, és jogi matematikai tárgyként nagy gyakorlati hasznot húztak .

A 16. század végén megjelentek François Vieta francia matematikus munkái , amelyek forradalmasították az algebrát. Viet célul tűzte ki egy új nyelv, egyfajta általánosított aritmetika kidolgozását, amely lehetővé tenné a korábban elérhetetlen mélységű, általánosságban és bizonyító erejű matematikai kutatásokat. Viet kutatásai során azonnal általános formában oldja meg a problémákat, és csak ezután ad számszerű példákat. Nemcsak az ismeretleneket jelölte betűkkel, amelyekkel korábban már találkoztak, hanem minden más paramétert is , amelyekre az „ együttható ” (szó szerint: hozzájáruló ) kifejezést alkotta. Vieta előtt az algebrai törvények operandusainak és az egyenletek kiindulási adatainak betűjelekkel történő megjelölésével időnként Regiomontanus , Christoph Rudolf , Adam Rize , Gerolamo Cardano és Michael Stiefel is találkozott , de csak Vieta tudta helyesen felmérni egy ilyen lehetőség lehetőségét. megközelítést és tedd algebrája alapjául [29] [30 ] .

Vieta csak nagybetűket használt a változók elnevezésére (mint az ókori geometriában) - magánhangzókat az ismeretlenekre, mássalhangzókat az együtthatókra. A műveleti jelek közül hármat használt: pluszt , mínuszt és egy tört rudat az osztáshoz ; szorzást a latin elöljárószóval jelölték ben . A zárójelek helyett Shuka nyomán a felül kiemelt kifejezést húzta alá (Viet több esetben göndör zárójelet használt ). Vieta kitevőit még mindig verbálisan rögzítik. Például az " Az egyenletek elemzéséről és javításáról " című értekezésben a következő egyenlet szerepel [29] :

A\ cubus+B\ plano\ 3\ in\ A\ aequari\ Z\ solido\ 2

Modern jelöléssel:

x^{3}+3b^{2}x=2z^{3}

Az új rendszer nehézkessége és korlátai ellenére lehetővé tette az aritmetikai és számítási algoritmusok általános törvényeinek egyszerű és világos leírását, segítségével Viet számos matematikai felfedezést tett. A Vieta szimbolikáját a különböző országok tudósai azonnal értékelték, és elkezdték javítani; ez elsősorban a műveletek jeleire vonatkozott , beleértve a hatalommá emelést és a gyökér kivonását .

17. század

Algebrai szimbolika

A 17. században a szimbolikus algebra Vieta utáni létrehozásának utódja Thomas Harriot angol matematikus volt , fő műve posztumusz, 1631-ben jelent meg. Harriot leegyszerűsítette Vieta szimbolikáját és lerövidítette a képletek jelölését – a nagybetűk helyett kisbetűket használt, támogatta a Record egyenlőségjelét , a fokozatokat szorzással helyettesítette: modern helyett . Az összehasonlító jelek Harriot általi bevezetése (korábban szavakkal írva: kevesebb, több ) nagy eredmény volt. A nem szigorú összehasonlító szimbólumok egy változatát Wallis javasolta 1670-ben [31] , de Pierre Bouguer (1734) [32] volt az, aki széles körben alkalmazta . Harriot ponttal választotta el az együtthatókat a betűktől, így ez a pont valójában egy szorzójel szerepét töltötte be, például: (modern jelölés: Meg kell jegyezni, hogy ő volt az első, aki szisztematikusan átvitt minden kifejezést a szöveg bal oldalára. a [33] egyenlet . $aaa$ $a^{3}$ $<\ \>$ $\leqslant \ \ \geqslant$ $aaa-3.baa+3.bba$ $a^{3}-3ba^{2}+3b^{2}a).$

Albert Girard (1626) és William Oughtred (1631) bemutatta fejlesztéseiket . Girard zárójeleket és plusz-mínusz jelet adott hozzá . A négyzetgyöknek ekkorra már a maihoz hasonló körvonalai voltak; Girard azt javasolta, hogy a köbös és más nagyfokú gyökök kitevőjét írják a gyök jele fölé, és ez a konstrukció megmaradt a matematikában [28] [34] [35] .

Othred érdeme a következő szimbólumok bevezetése [36] [37] : a szorzójel (perjel kereszt ), az osztásjel (perjel ), valamint a párhuzamos szimbólum . A történészek becslése szerint Otred körülbelül 150 különböző matematikai jelölést használt, a sajátját és másokét. A legtöbb azonban nem állta ki az idő próbáját – például a , illetve a kockagyök konstrukcióit sikeresebb szimbólumok váltották fel [ 38] . $\szor$ $/$ $\|$ $Aq,Aqq$ $A^{2},A^{3}$ ${\sqrt {}}c$

A 17. században sok vezető matematikus arra a következtetésre jutott, hogy a kitevőt explicit számként kell kifejezni, nem pedig alapmegjelöléssel (mint a Cossistoknál) vagy szóbeli rövidítésekkel, például Q (négyzet) vagy C (kocka) kódolva. különben lehetetlen lenne ilyen szabályokat leírni.fokozatú cselekvések, mint például , és az algebrai transzformációk túlzott szellemi erőfeszítést igényelnek. Girard, Erigon és más matematikusok [39] tervezési lehetőségeket javasoltak az indikátor rögzítésére . ${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n))$

Az algebrai nyelv gyakorlatilag modern megjelenést kapott a 17. század közepén Descartestól . Azt javasolta, hogy az ábécé kezdőbetűit használjuk az ismert paramétereknél: az ismeretlen paramétereknél pedig az utolsó betűket: Descartes a fokozatok modern rekordját alkotta: a kitevő jobbra és a változó felett van; század vége felé Newton kiterjesztette ezt a jelölést a tört- és negatív kitevőkre. F. Cajori a fokozatok karteziánus jelölését az egész algebra legsikeresebb és legrugalmasabb szimbolikájaként jellemzi – nemcsak a transzformációkat segíti elő, hanem ösztönözte a hatványozás fogalmának negatív, tört, sőt összetett kitevőkre való kiterjesztését, valamint a megjelenést. a hatvány- és az exponenciális függvények matematikájában ; mindezeket a vívmányokat nehéz lenne megvalósítani a XVI. századi elnevezésekkel [40]. $a,b,c\dots ,$ $x,y,z.$ $x^{3},$

Descartes algebrai szimbolikáját szinte teljesen átvették a tudósok következő generációi, csak a szokatlan karteziánus egyenlőségjelet, amely Franciaországban és Hollandiában elterjedt, egy sikeresebb Robert Record szimbólum váltotta fel . Ezenkívül megszűntek az együtthatók korlátozásai, amelyek értékeit Descartes alapértelmezés szerint mindig nem negatívnak tartotta, és az előtte lévő negatív értékek szimbólumait mínuszjellel jelölte. Ha az együttható előjele ismeretlen volt, Descartes ellipszist tett elé [41] . Johann Hudde holland matematikus már 1657-ben megengedte, hogy a szó szerinti változók tetszőleges előjelű értékeket vegyenek fel [42] . Newton „ Univerzális aritmetika ” (1707) monográfiája, amely öt újranyomáson ment keresztül, a fordításokat nem számítva, Descartes jelölését és Record egyenlőségjelét használja. Az algebrai jelölés egységesítése a 17. század végére alapvetően befejeződött [41] .

Geometria

A 17. század elejére már számos gyakori szimbólum létezett a geometriában: a pontokat latin nagybetűkkel jelölték, a vonalszakaszokat, a görbék íveit, a háromszögeket és más alakokat határpontok betűivel jelölték: stb. Derékszöget jelöltek d betűvel (a francia droit 'egyenes' szóból). 1634-ben Pierre Erigon bevezette a szög és a szimbólumokat , amelyek jelentése " merőleges " [ 43] . Ősidők óta használják a párhuzamos szimbólumot is , amely egybeesik a modern egyenlőségjellel ; ez utóbbi megjelenése után a zavar elkerülése végett a párhuzamosság jelét függőlegesen elfordították [37] : . $AB,{\widehat {ab)),ABC$ $\szög$ $\perp$ $\|$

A 17-18. század fordulóján több új geometriai szimbólum is megjelent. William Jones angol matematikus használta először a szám jelölését (1706). Ezt a jelölést Euler általánosan elfogadta a 18. században [44] . Ugyanakkor Leibniz szimbólumokat talált ki a geometriai alakzatok hasonlóságának vagy egybevágóságának jelzésére [45] . $\pi$ $\sim \ \cong$

Matematikai elemzés

Amikor a 17. század végén Isaac Newton és Gottfried Leibniz megalkotta a matematika egy hatalmas új ágát - a matematikai elemzést -, felmerült egy kényelmes jelölés kidolgozásának kérdése. Newton ezt szinte nem tette meg, és a matematikai elemzésben általa javasolt jelölésből csak az időderivált függvény szimbólum feletti ponttal való jelölésének módja maradt meg, például: Ez a jelölés kényelmetlen a magasabb rendű deriváltoknál (több mint a második). Newton is hozzájárult az infinitezimális szimbólumok ( "O" nagy és "o" kicsi ) tudományos megszilárdításához, amelyeket korábban James Gregory skót matematikus javasolt . A szimbolizmus területén Newton azzal az ötlettel is előállt, hogy indexeket használjon az egyes objektumok elnevezésére egy meghatározott halmazból: [46] [47] . ${\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.$ $x_{1},x_{2}\dots$

Newton nem ajánlott fel szimbólumot az integrálhoz , bár többféle lehetőséget is kipróbált: függőleges sávot a függvény fölé, valamint négyzet alakú szimbólumot, amely megelőzi vagy határolja a függvényt. Ezek a változatok még Angliában sem terjedtek el, a fő matematikusok közül csak Newton tanítványa, Brooke Taylor (1715) használta őket. Newton „ Elvei ”-ben számos helyen magukat a függvényeket nagybetűkkel jelölte, származékait ( sebességeit ) pedig ugyanazzal, de kisbetűvel [48] .

Leibniz jobban odafigyelt a kottaírás fejlesztésére. Több éven át alaposan és türelmesen végiggondolta a kifejezések és megnevezések különféle lehetőségeit, megbeszélte a kollégákkal, majd kiválasztotta a legjobbakat, egységes rendszerbe foglalta és aktívan népszerűsítette. Leibniz a differenciál , a derivált (magasabb rendűeket is beleértve) és az integrál modern jelölésének szerzője. Szinte minden újítása ezen a területen gyökeret vert a tudományban, mert Leibniz szimbolikája Newtonéval ellentétben egyértelműen tükrözte az elemzési módszerek működési sajátosságait [49] [50] .

Példa erre a jól ismert képlet egy integrálban lévő változó megváltoztatására : $x=\varphi (t)$

\int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot {d\varphi (t) \over dt}dt

Világosan mutatja, hogy Leibniz miért nem magát az integrációs változót jelzi az integrál alatt, hanem annak differenciálját – csak ebben az esetben a helyes képletet tisztán algebrai úton kapjuk meg, „minden különösebb gondolkodási erőfeszítés nélkül” [51] .

18. század

Leonhard Euler , a 18. század vezető matematikusa jelentős mértékben hozzájárult a jelöléshez. Euler három alapvető numerikus objektumnak adott nevet – e az " Euler-számnak ", a kör kerületének és átmérőjének arányának , és i a képzeletbeli egységnek [52] . Bevezette a kettős integrál szimbólumát is egy tetszőleges sík területre (1769), az összeg jelét (1755) [53] , a jelet („nem egyenlő”) [54] . $\pi$ ${\boldsymbol {\Sigma ))$ $\neq$

Simon Lhuillier 1787-ben javasolta az elemzés egyik legfontosabb szimbólumát - a határérték kijelölését, amelynek különböző matematikusok általi "csiszolása" a 19. század végéig folytatódott [55] .

19. század

A 19. század elején Carl Friedrich Gauss jelentősen hozzájárult a jelöléshez . Ő a szerzője az „ egész rész ” függvény általánosan elfogadott szimbólumainak: és az Euler-függvénynek , a szorzat jelének: (1812), valamint a modulo összehasonlítások szimbolikájának [56] . $[x]$ ${\félkövér szimbólum {\Pi ))$

A 19. században folytatódott a matematikai elemzés szimbolikájának kialakulása . Weierstrass 1841 - ben vezette be az abszolút érték szimbólumot . A ∂ szimbólum a parciális deriváltot kezdte jelölni [47] [57] . A határozott integrál határaira ( Fourier , 1816), valamint a görbe vonalú , felületi és térfogati integrálokra modern tervezést hoztak létre [58] . A század végére alapvetően kialakult az elemzés legfontosabb funkcióinak standard jelölése.

A 19. században a matematikának számos új ága jelent meg, amelyek speciális, kényelmes jelölések kidolgozását követelték meg. Különösen a lineáris algebrában jött létre a mátrixok , determinánsok és a velük végzett műveletek általánosan elfogadott tervezése . Ezzel a tevékenységgel összefügg a vektorszámítás és a vektoranalízis megalkotása és elterjedésének kezdete , ami gazdag szimbolizmus kialakulását idézte elő a vektorok, tenzorok és a velük végzett műveletek kijelölésére [59] .

A 19. században megkezdődött egy hosszú munka a matematikai logika formalizálásával kapcsolatban , amelyet a XX. Az „ezért” és „mert” szakszervezeteket felváltó első szimbólumokat Johann Rahn javasolta még a 17. században. Leibniz nem javasolt új szimbolikát a matematikai logika alapjain alapuló munkáiban [60] . A kibővített logikai jelölésrendszereket egyidejűleg publikálták August de Morgan és George Boole angol matematikusok 1847-ben. De Morgan szimbolikája messze volt a moderntől, néha nehézkes, és Boole igyekezett nem új szimbólumokat kitalálni (a műveletek szokásos aritmetikai jeleit használta, amelyeknek logikai jelentést adott), de valójában szimbólumokat definiált az alapvető logikai műveletekhez - konjunkció , diszjunkció és tagadás . Így elkészült a logikai objektumok algebra első vázlata (" Boole -algebra"), és kidolgozták a logikai transzformációk szabályait [61] .

A 19. század végén Georg Cantor munkáiban jelentek meg a halmazelmélet első jelképei , amelyek főként a matematika alaphalmazainak és a hatványjelekkel végzett műveletek számosságával foglalkoztak. Gottlob Frege két monográfiája (1879 és 1893) a matematikai logika új ideológiai állomása lett , de a Frege által kidolgozott logikai szimbolika sikertelen volt, és az általános elképzeléseken és a „levezethetőség jelén” kívül ebből kevés maradt a tudományban. Szinte egyidejűleg jelentek meg Ernst Schroeder (1877 és 1890) és Giuseppe Peano (1895 és 1897) munkái eredeti szimbólumokkal, amelyek egy része (különösen az egzisztenciális kvantor ∃, a "tartalmazza" ∋ és a "tartalmaz" ∈ szimbólumok. ) a tudományban maradt. $\vdash$

Egy 1895-ös cikkében Peano magabiztosan kijelentette: a szimbólumok formáját meg lehet változtatni, egyeseket eltávolíthatunk, másokat hozzáadhatunk, de „ma már képesek vagyunk minden matematikai állítást kifejezni kis számú előjellel, amelyeknek pontos jelentése van és jól engedelmeskednek. -meghatározott szabályok” [62] .

20. század

A 20. században szabványosították a valós számok intervallumának jelölését : [63] . ${\megjelenítési stílus (a,b),\ [a,b]}$

A Principia Mathematica logikai axiómáinak egy része az 1. kiadás jelölésében (szimbólum ⊃ implikáció , ma már gyakrabban használt szimbólum )

\jobb nyíl

✸1.2 . ⊦ : p ∨ p . ⊃ . o .

✸1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q .

✸1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ p .

✸1,5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( p ∨ r ).

✸1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p∨r _ _ _

Amint fentebb említettük, a 19-20. század fordulóján felbukkanó matematika két új ága – a matematikai logika és a halmazelmélet – új szimbólumkészletre volt szükség a logikai és halmazelméleti műveletekhez . A matematikusok több mint egy tucat ilyen jelölési rendszert javasoltak, amelyek közül az idő a legegyszerűbb opciókat választotta [64] . Whitehead és Russell alapvető Principia Mathematica című munkája jelentősen továbbfejlesztette a matematikai logika elméletét és szimbolikáját; A javított stílusú Peano jelölést vették alapul. A logikai jelölés mellett Whitehead és Russell könyvében a halmazelmélet szimbolikáját alkalmazza, amely nagyrészt azzal rokon, és részben Peano művei is foglalkoztak vele. A szerzők a formai szimbolika erős használatának céljait sorolták fel ebben a könyvben [65] ;

Szükséges, hogy az olvasó félreérthetetlenül megértse a nagyfokú absztrakciós anyagot.
A jól átgondolt formalizmus segíti az emberi intuíciót a tematikus ideológiai motívumok és összefüggések megértésében.
A szimbolikus feljegyzés rövidsége megkönnyíti annak vizuális észlelését.
A szimbolika segítségével a logikai érvelés kiterjeszthető olyan területekre, amelyekről általában azt feltételezték, hogy a matematikai megfontolás nem hozzáférhető.

A 20. század második felében a programozási nyelvek fejlesztése során kiterjedt munkára volt szükség új szimbólumok létrehozására . A probléma az, hogy ezeknek a nyelveknek az ábécéje az ASCII karakterkódoláson alapult ( hét-nyolc bit), amely nem tartalmaz sok olyan tervezési jellemzőt, amely a matematikában ismerős - különösen nincs benne felső és alsó index, sok diakritikus karakter , sok speciális karakter (gyökjel, plusz vagy mínusz) stb. [66] Például a hatványozás derékszögű ábrázolása algebrai szempontból nagyon sikeresnek bizonyult, de az explicit műveleti jel hiánya arra kényszerít bennünket, hogy ezt a fontos eszközt más módon valósítsuk meg egy programozási nyelvben, és ez különböző nyelveken eltérően történik (további részletekért lásd a Hatványozás című cikket ). Például a Fortranban úgy van kódolva, mint a BASIC - as -ban, és egyes nyelvek (például C vagy Pascal ) egyáltalán nem tartalmazzák a hatványozási művelet szimbólumát, és könyvtári függvényeket használnak erre a célra [67] . $a^{b}$ a ** b,a^b

Hasonló a helyzet más, gyakorlatilag fontos szimbólumokkal is: a tömbelemek indexei (általában négyzetbe vagy zárójelbe zárva), az egész osztásból származó maradék megszerzésének művelete, logikai és bites műveletek stb. Az ilyen megnevezések egységesítésének hiánya, annak ellenére, hogy A 31-11 és az ISO 80000-2 nemzetközi szabványok megjelenése továbbra is általános gyakorlat.

Az egyes karakterek története

Algebra

Objektumok

$0123456789$

A számok jelölésére a hieroglifa írásmóddal rendelkező országokban (Ókori Egyiptom, Kína) speciális hieroglifákat használtak, a fonetikus ábécével rendelkező országokban pedig eleinte általában betűket használtak erre, gyakran speciális jelzéssel. Az így felépített római számokat néha még ma is használják. Indiában a Kr.e. 6. századtól. e. 1-től 9-ig minden számjegyhez speciális jeleket vezettek be. Némi változás után ezek a jelek modern számokká váltak [68] .

A számok írására szolgáló decimális helyzetrendszer feltalálásával kapcsolatban (kb. 500 i.sz.) új nullajelre volt szükség . A nulla első kódját, amely egy számunkra ismerős körnek tűnik, magában Indiában találták meg egy 876-os Gwalior feliraton [69] . Délkelet-Ázsiában találtak a nulla képét tartalmazó korábbi feliratokat : egy felirat egy kőtáblán egy templom romjaiból származó kőtáblán, amely 683-ból származik az ókori Chenla khmer királyságból (a modern közigazgatási felosztás szerint - Sambour kerület a kambodzsai Kratie tartományban ), és ugyanebből (vagy a következő) évből származó felirat Palembang (Szumátra, Indonézia) környékéről, amely akkoriban az ősi maláj királyság, Srivijaya fővárosa volt ; az első esetben a nullát vastag pontként, a másodikban kis körként ábrázoljuk [70] [71] .

Tudósok és amatőrök tucatnyi magyarázatot kínáltak arra, hogy a számok miért ilyen formát öltöttek; ezen hipotézisek egyikét A. S. Puskin fejtegetése ismeri [72] . F. Cajori e magyarázatok elemzése eredményeként arra a következtetésre jut, hogy ezek mind áltudományos fantáziák [73] .

$\ {\frac {7}{12}}$

A közönséges tört „kétszintes” rekordját használták az ókori görög matematikusok , bár felírták a nevezőt a számláló fölé , de a törtnek nem volt sora. Az indiai matematikusok feljebb helyezték a számlálót; az arabokon keresztül ezt a formátumot alkalmazták Európában. A törtvonalat először Pisai Leonardo vezette be Európában (1202), de csak Johann Widmann (1489) [14] támogatásával került használatba .

$3{,}62$

A tizedes törtekkel először Kínában találkoztak az i.sz. 3. századból. e. a számlálótáblán történő számításnál ( suanpan ) [74] . A perzsa matematikus , Dzsamsid al-Kasi a tizedes törtek feltalálójának vallotta magát, bár az 5 évszázaddal korábban élt Al-Uqlidisi [75] műveiben megtalálhatók . Európában a tizedes törteket eredetileg egész számként írták fel valamilyen egyeztetett skálán. Az első tizedes törteket Európában Immanuel Bonfils írta le 1350 körül, de csak Simon Stevin A tizedik (1585) [76] megjelenése után terjedtek el . Az érthetőség kedvéért (és az általánosan elismert tizedeselválasztó hiánya miatt ) Stevin kifejezetten feltüntette az egyes tizedesjegyek számát – például a számot a következő formában ábrázolta: . Egy ilyen összetett terv kevés követőre talált (például Ozanam ), a legtöbb matematikus feleslegesnek tartotta [77] . $0{,}3759$ ${\displaystyle 3^{(1)}7^{(2)}5^{(3)}9^{(4)))$

A tizedesvesszőt , amely a szám tört részét választja el az egész számtól, G. A. Magini (1592) és Napier (1617) olasz csillagász vezette be, de Napier is pontot használt. Korábban más szimbólumokat használtak vessző helyett - Viet függőleges vonalat használt: 3 | 62, vagy a tört részt kisebb számokkal írta le [78] ; egyéb lehetőségek között szerepel egy nulla zárójelben: 3 (0) 62 vagy kettőspont. Néhány szerző al-Kashi nyomán különböző színű tintát használt [14] [79] . Angliában vessző helyett inkább a Clavius által 1593-ban javasolt pontot használták, amelyet egy sor közepére tettek; ezt a hagyományt az USA-ban átvették, de a pontot lejjebb helyezték, hogy ne keverjék össze a Leibniz-szorzójellel [80] . A decimális elválasztó szimbólum egységesítésének hiánya sok új javaslatot eredményezett a 18. és 19. században, amelyek közül egyik sem vált általánosan elfogadottá [81] . A 20. század második felében új tényező volt, hogy a numerikus állandók jelölése a legtöbb programozási nyelvben csak az angol-amerikai időszakot teszi lehetővé elválasztóként.

$706.510.941{,}252$

A hosszú számok számjegyeinek csoportosítása kényelmes azok gyors kiértékeléséhez és összehasonlításához. Pisai Leonardo (Fibonacci) már az Abakusz könyvének első kiadásában (1202) tett ajánlást erre a partitúrára; azt tanácsolta, hogy felülről egy vonással jelölje meg a százakat, százezreket stb., és egyben alulról jelölje meg az ezret, milliót stb. Az Abacus könyve második kiadásában (1228) Fibonacci még egy ajánlást adott: a számjegyhármasokat felülről jelölje zárójellel [82] , például: ${\widehat {678}}\ {\widehat {935}}\ {\widehat {784}}\ {\widehat {105}}\ 296.$

A 13. században Sacrobosco azt javasolta, hogy ezreket válasszanak el pontokkal. Luca Pacioli és néhány német matematikus a pontok elválasztása helyett alsó indexeket használt, és a pontok száma megfelelt a számjegycsoport számának, Otred pedig függőleges vonalakat használt. Végül a legtöbb országban Sacrobosco egyszerű sémája nyert, csak az Egyesült Királyságban és az Egyesült Államokban, ahol a pont a tizedes elválasztó, helyére vessző került [82] . A nyomtatott kiadványokban az International Bureau of Weights and Measures és az ISO [83] [84] ajánlása szerint a semleges változat az irányadó, Pacioli-ig visszamenőleg, amelyben a számhármasokat nem törő szóközök választják el egymástól : 678 935 784 105 296 .

$-273$

A negatív számok gyakorlati értékének felismerésével felmerült a kérdés, hogyan írjuk fel őket. Nicolas Shuquet 1484-ben javasolta, hogy tegyék eléjük az akkoriban a kivonás jeleként használt megnevezést. A modern plusz és mínusz szimbólumok megjelenésével (1489) sok matematikus a mínuszt kezdte a negatív számok elé tenni, de néhány matematikus tiltakozott, rámutatva arra, hogy ugyanazt a szimbólumot nem szabad számjelként és számjegyként használni. kivonási művelet, főleg mivel a mínusz a számjel szerepében könnyen összetéveszthető a kötőjellel . Más szimbólumok projektjeit javasolták a szám jeléhez, például sarkokat vagy a fogyó / növekvő hold képét (lásd az ábrát). Bolyai Farkas a plusz és mínusz jelek használatát javasolta a számokhoz, de sajátos stílusban kiemelve (pluszja olyan volt, mint egy máltai kereszt ). Ennek ellenére a mínusz kettős használata rögzült a tudományban [85] [86] . ${\tilde {m)),$

$x,\y,\z$
$a,\ b,\ c$

Speciális jeleket (csak ismeretlen mennyiségekre) a babiloni matematikusok , az ókori görögöknél pedig Diophantus is használtak . Vieta volt az első, aki javasolta az aritmetika törvényeinek és képleteinek általános, szimbolikus formában történő lejegyzését, bizonyos számok (nemcsak az ismeretlenek, hanem a különféle együtthatók) betűkkel való helyettesítését (1591). Viète az ismeretlen mennyiségeket a magánhangzók nagybetűivel ( A, E, I, O, U, Y ), az ismerteket pedig nagy mássalhangzókkal jelölte [87] .

Más matematikusok (különösen Johann Rahn ) javasolták a kis- és nagybetűk megkülönböztetését ugyanerre a célra. 1637-ben Descartes egy kényelmesebb rendszert javasolt: ismeretlen mennyiségeknél az ábécé utolsó betűit ( x, y, z ), az ismerteknél pedig az elsőket ( a, b, c ... ), ill. nem nagybetűvel, hanem kisbetűvel. Descartes ugyanazt a hármast használta koordináta szimbólumként a grafikonok ábrázolásakor; Maga Descartes azonban a lapos ívekre szorítkozott, a térbeli koordináták aktív használata később kezdődött Clairautnál . Ez az egyezmény a tudományban gyökerezik. Sok sejtés született arról , hogy Descartes miért választotta az x, y, z betűket az ismeretlenekre, de semmi sem igazolódott be [88] [89] . $x,y,z$

${\félkövér szimbólum {i}}$

Az i betű mint képzeletbeli egységkód : Euler javasolta a De formulis differentialibus secundi gradus, quae integrationem accepttunt című cikkében ; egy 1777-ben írt cikk (posztumusz) 1794-ben jelent meg. Az általános vélemény szerint Euler a latin imaginarius (képzetes) szó első betűjét vette a képzeletbeli egység szimbólumának [52] . A szimbólumot Gauss támogatta („ Aritmetikai vizsgálatok ”, 1801), és gyorsan általánosan elfogadottá vált, bár sok matematikus sokáig a gyök kifejezett jelölését használta: Némi félreértés támadt, amikor a fizikusok elkezdték meghatározni az elektromosság nagyságát. aktuális betűvel; hamarosan a váltakozó áram elektrodinamikájában felfedezték a komplex számok (rezgések leírására) szükségességét, és az összetévesztés elkerülése végett a fizikusok elkezdték a képzeletbeli egységet a [90] betűvel jelölni . $i={\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1)).$ $én$ $j$

0123456789ABCDEF

A hexadecimális számjegyek jelölésének igénye az 1950-es években jelent meg, amikor a számítógépek nyolc bites, kifejezetten címezhető bájttal jelentek meg ; tartalmát legkényelmesebben két hexadecimális számjegyként ábrázoltuk. A 0-tól 9-ig terjedő számok jelölésére ugyanazokat a karaktereket használták, mint a decimális rendszerben, a 10-től 15-ig terjedő hexadecimális számokhoz pedig különböző lehetőségeket kínáltak - 0-tól 5-ig terjedő számok kötőjellel ( makron ) a tetején, U betűk Z-nek (Bendix számítógépek G-15, 1956); a modern A–F karakterkódolás az IBM System/360 sorozatban jelent meg (1964) [91] .

Műveletek

${\félkövér szimbólum {+\;-}}$

A plusz és mínusz jeleket nyilvánvalóan a német "kossisták" (vagyis algebristák) matematikai iskolájában találták ki. Használja őket a Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft , Johann Widmann 1489-ben kiadott „Gyors és kellemes beszámoló minden kereskedő számára” című tankönyvében . Ezt megelőzően az összeadást p betűvel (plusz) vagy a latin et szóval ("és" kötőszó), a kivonást m betűvel (mínusz) jelölték, ezeket a betűket gyakran tildával jelölték a tetején . Widmanben a plusz szimbólum nemcsak az összeadást, hanem az „és” uniót is helyettesíti. Ezeknek a szimbólumoknak az eredete nem tisztázott, de valószínűleg korábban a kereskedelemben az adásvétel jeleként használták őket. Néhány 16. és 17. századi matematikus a latin vagy máltai keresztet használta a plusz variációjaként, és a mínusz helyett a tildét vagy az obelust javasolták . Ennek ellenére Európában általánossá vált a plusz és a mínusz – Olaszország kivételével, amely körülbelül egy évszázadig használta a régi elnevezéseket, [92] [93] [94] .

${\boldsymbol {\times \;\cdot ))$

A ferde kereszt formájú szorzójelet William Oughtred (Anglia) vezette be 1631-ben. Előtte a leggyakrabban használt M betű volt, 1545-ben Michael Stiefel javasolta és Stevin támogatta . Később más elnevezéseket is javasoltak: a latin szót ( Francois Viet ), a téglalap szimbólumot a mű elején és a vesszőt a végén ( Erigon , 1634), a csillagot ( Johann Rahn , 1659), az x betűt ( Wallis ). , 1655, ez talán tipográfiai hiba, mivel Wallisnál az x betű és a kereszt is ugyanazon az oldalon) [36] [79] [95] . $\Doboz$

Az átlós kereszt szorzójelként való választásának oka nagy valószínűséggel a rövid számok ezekben az években elterjedt keresztszorzási séma volt [96] ; ez annál is inkább valószínű, mert az Oughtred előtt a perjelet a keresztszámítások különféle fajtáihoz kapcsolódó egyéb műveletek jelölésére használták [97] .

Leibniz , miután több különböző szimbólummal kísérletezett, végül úgy döntött, hogy a keresztet ponttal helyettesíti (17. század vége), hogy ne keverjék össze az x betűvel ; előtte ilyen szimbolikát találtak Regiomontanusban (15. század) és Thomas Harriotban . Sok matematikus Diophantustól kezdve a szorzójel helyett egyszerűen sorban írta az operandusokat: ez a kompakt jelölés különösen alkalmasnak bizonyult a szó szerinti kifejezések konvertálására [95] [36] . $ab=a\cdot b;$

${\félkövér szimbólum {/\;:\;\div ))$

Heron , Diophantus és iszlám szerzők a tört vízszintes vonalát használták az osztódás jeleként . A középkori Európában a felosztást gyakran D betűvel jelölték. Ootred előnyben részesítette a perjelet vagy (néha) a jobboldali zárójelet, ez utóbbi a Stiefelnél is megtalálható : a konstrukciók vagy a Colon által a felosztásra utalt 1684-től kezdték jelölni Leibniz [98]. . $8)24$ $8)24($ $24$ $8.$

Angliában és az USA-ban a szimbólum ( obelus ) terjedt el, amelyet 1659-ben Johann Rahn javasolt (talán John Pell közreműködésével , korábban Girard ezt a szimbólumot a mínusz szinonimájaként használta) [99] [100] . Az Amerikai Matematikai Követelmények Nemzeti Bizottságának kísérlete (1923) az obelus gyakorlatból való eltávolítására sikertelen volt [101] . $\div$

$([\{\}])$

A zárójelek Tartagliában (1556) jelentek meg a radikális kifejezésre, később Clavius és Girard támogatta [28] [102] . Bombelli (1560) egy L betű formájú sarkot használt kezdeti zárójelként, végső zárójelként pedig a függőlegeshez képest tükrözte vissza (lásd az ábrát) [C 1] ; egy ilyen rekord a szögletes zárójelek elődjévé vált. A göndör fogszabályzót Viet (1593) [28] javasolta .

A legtöbb matematikus a 18. század előtt (beleértve Newtont is) a zárójelek helyett inkább aláhúzta (vagy aláhúzta) a kiemelt kifejezést. Mivel ez megnehezítette a tipográfiai szedést, más módszerek is megjelentek. Wallis (1655) például kettőspontot vagy kettőspontot használt a kifejezés elején és pontot a végén a zárójelek helyett: a modern helyett különféle korlátozó pontok vagy vesszők konstrukcióit is javasolták, ami már azért is kényelmetlen, mert ezek a szimbólumok széles körben elterjedtek. más célokra használják. A zárójeleket Leibniz (kb. 1708-tól) és Euler vezette be általános használatba [103] [104] . ${\sqrt {}}:ad-a^{2}:$ ${\sqrt {ad-a^{2))}.$

${\boldsymbol {\pm ))$

A plusz-mínusz jel megjelent Girardban (1626) és Oughtredben. Girard a következőképpen alkotta meg ezt a szimbólumot [34] : egy plusz jel, alatta a „vagy” szó ( fr. ou ), és még lejjebb - egy mínusz: Newton javasolta a saját szimbólumát: („fél plusz”), amely nem nyereség eloszlás [105] . ${\boldsymbol {{\underset {-}{\overset {+}{\operatorname {\scriptscriptstyle ou} }}}\ \ }}.$ $\perp$

${\displaystyle {\boldsymbol {a^{n))}\ {\boldsymbol {a^{x))))$

Hatványozás . Európában eleinte szórövidítésekkel írták a fokozatot (q vagy Q négyzetet, c vagy C - kockát, bq vagy qq - bi-négyzetet, azaz 4. fokozatot stb.) vagy mintaként írták. termék - például úgy ábrázolták, ahogy Otred írta a következőképpen: (ha csak egy ismeretlen van, gyakran nem jelölték ki levéljelvényt) [106] . A német kosszisiskola külön gótikus jelvényt ajánlott fel az ismeretlenség minden fokára. $x^{4}$ $xxxx.$ ${\displaystyle x^{5}-15x^{4))$ $1qc-15qq$

A 17. században fokozatosan uralkodni kezdett a kitevő kifejezett feltüntetésének gondolata. Girard (1629) egy szám hatványra emeléséhez egy mutatót tett zárójelben a szám elé , és ha nem volt szám a mutató jobb oldalán, akkor ez azt jelentette, hogy a megadott mértékben ismeretlen jelenléte volt. [100] ; például úgy értette . Pierre Erigon és James Hume skót matematikus a kitevő elhelyezési lehetőségeit javasolta , és a [39] alakban írták . $(2)2+1(2)$ $2^{2}+x^{2}$ $x^{4}$ $x4$ $x^{IV}$

A kitevő modern rekordját - jobbra és az alap felett - Descartes vezette be " Geometriájában " (1637), azonban csak a 2-nél nagyobb természetes hatványokra (a négyzetesítést sokáig a régi módon jelölték, a termék által). Később Wallis és Newton (1676) kiterjesztette a fokozatírás karteziánus formáját a negatív és a töredékes kitevőkre, amelyek értelmezése ekkor már Orem , Shuquet , Stevin , Girard és Wallis műveiből is ismert volt. A 18. század elejére a „Descartes szerinti” fokozatírás alternatívái, ahogy Newton az „ Univerzális aritmetikában ” fogalmazott, „kiment a divatból ” . Az exponenciális függvény , vagyis a változó mértékű emelés először levelekben, majd Leibniz (1679) írásaiban jelent meg. A képzeletbeli hatványra emelést Euler (1743) [39] [107] [108] indokolta .

${\boldsymbol {\sqrt {x}}}$

A középkori matematikusok (például Pacioli és Cardano ) a négyzetgyököt szimbólummal vagy stilizált kombinációval jelölték (a latin Radix szóból gyök) [109] . Némi zavart okozott az a tény, hogy a 16. században a rövidítések és gyakran nemcsak a négyzetgyököt, hanem az egyenlet gyökerét is jelölték , vagyis az ismeretlen kívánt értékét; mindazonáltal ezeket a jelöléseket egyes olasz és spanyol matematikusok a 17. század végéig használták [110] . $R$ $R_{x}$ $R$ $R_{x}$

A gyökjel modern elnevezését először Christoph Rudolph német matematikus használta 1525-ben a kosszisták iskolájából [28] . Ez a karakter ugyanannak a radix szónak a stilizált első betűjéből származik . A gyök kifejezés ( vinculum ) feletti vonal eleinte hiányzott; később Descartes (1637) vezette be más céllal (zárójelek helyett), és ez a tulajdonság hamarosan összeolvadt a gyökérjellel [35] .

${\boldsymbol {\sqrt[{3}]{x}}}$

A 16. századi kockagyököt így lehetett jelölni: R x .u.cu (a latin Radix universalis cubica szóból ), volt más lehetőség is [109] . A radikális modern jelének megjelenésével a másodiknál egy fokkal magasabb gyökereket egy ideig bonyolult cikcakkokkal jelölték, amelyek a megfelelő számú alkalommal „ragasztott” radikális jelekből álltak, vagy egy jel a gyök után - jelölhető például , ahol a C betű „köböst” jelentett, vagy A tetszőleges fok gyökének mai jelölését bal felső mutatóval, Albert Girard (1629) kezdte használni. Ezt a formátumot Newtonnak és Leibniznek [35] [111] köszönhetően rögzítették . ${\sqrt[ {3}]{x}}$ ${\sqrt {Dx))$ ${\sqrt {3:x}}.$

${\boldsymbol {\Sigma ))$

Az összegjelet Euler vezette be 1755-ben [53] .

${\félkövér szimbólum {\Pi ))$

A szorzat jelét Gauss vezette be 1812-ben a hipergeometrikus sorozatról szóló munkájában [56] .

$|x|$

A komplex szám abszolút értékének és modulusának jelölését Weierstrass adta meg 1841-ben. 1903-ban Lorentz ugyanezt a szimbolikát használta a vektor hosszára [112] .

Kapcsolatok

${\bold symbol {=}}$

A matematikusok egyenlőségjelként különféle elnevezéseket javasoltak: alsó index, kötőjel, szóköz, az est szó , az "egyenlő" szó rövidítései ( aequantur, faciunt ), stb. A modern szimbólumot Robert Record javasolta 1557-ben; a szimbólum felirata jóval hosszabb volt, mint a jelenlegi. A szerző kifejtette, hogy nincs egyenlőbb a világon, mint két párhuzamos, azonos hosszúságú szakasz. Kezdetben a Record szimbólum mérete változó volt - a jelet meg lehetett hosszabbítani úgy, hogy az után rögzített eredmény a lap kívánt oszlopába került a számítással [57] [113] .

A Rekord szimbólum elterjedését egy ideig hátráltatta, hogy ősidők óta ugyanazt a szimbólumot használták a vonalak párhuzamosságának jelzésére ; végül úgy döntöttek, hogy a párhuzamosság szimbólumát függőlegessé teszik. Az 1630-as években Angliában szinte minden jelentős matematikus, Harriottól Newtonig , átvette a rekord szimbólumot, de Viet és Girard ugyanazt a szimbólumot használta mínusz helyett, Descartes pedig annak jeleként, hogy egy változónak bármilyen előjele lehet. Descartes egy másik szimbólumot javasolt az egyenlőség jegyében, amely a Wallis végtelenség szimbólumára emlékeztet, amely ugyanebben az időszakban jelent meg : Egy meglehetősen egzotikus egyenlőségjel három szimbólumból: Erigon védte (1644); a jel egy másik változatát is javasolta: . Mindez késleltette egy ilyen fontos szimbólum egységesítését; ennek ellenére a 17. század második felében a rekord jelképe a kontinentális Európában is elkezdte kiszorítani a versenytársakat [113] ( Leibniz és a Bernoulli fivérek támogatása volt a döntő), és végül a 18. század folyamán honosodott meg [114] ] . $\infty .$ $2|2$ ${\mathcal {t))$

Sok programozási nyelv az egyenlőségjelet használja a hozzárendelési operátor szimbólumaként .

$\kb$

A „körülbelül egyenlő” jelet Sigmund Günther német matematikus találta fel 1882-ben [57] [115] . Jelentésében és stílusában hasonló, az egyenlőségjelből és fölötte lévő tildából álló szimbólumot korábban (1777) használta I. Heseler [116] . $\cong ,$

$\neq$

A „nem egyenlő” jellel először valószínűleg Euler találkozott; mindenesetre aktívan használta ezt a megnevezést [54] .

$\equiv$

Az „ azonosan egyenlő ” jel szerzője Bernhard Riemann (1857). Ugyanezt a szimbólumot Gauss javaslata szerint a számelméletben modulo összehasonlító előjelként , a logikában pedig az ekvivalenciaművelet jeleként használják [117] .

$<\ \>$

Az összehasonlító jeleket Thomas Harriot vezette be posztumusz, 1631-ben megjelent munkájában. Előtte a következő szavakkal írták: több , kevesebb [32] [53] .

$\leqslant \ \ \geqslant$

A nem szigorú összehasonlító szimbólumokat először Wallis javasolta 1670-ben. Kezdetben a sáv az összehasonlító jel fölött volt, és nem alatta, mint most. Ezek a szimbólumok Pierre Bouguer francia fizikus (1734) támogatását követően kaptak általános terjesztést , akitől modern formát nyertek [32] .

$A:B=C:D$

Az arány számos megjelölését javasolták – Descartes az Othred által írt jelölést és másokat használt, végül a Leibniz által 1708-ban javasolt modern szimbolika [118] nyerte a győzelmet . $a|b||c|d,$ $AB::CD$

$\ll\;\gg$

Ezeket a jelöléseket Henri Poincaré és Émile Borel (1901) vezette be, és arra használták őket, hogy jelezzék, hogy az egyik sorozatot a másik dominálja . Néha még most is ebben a szűk értelemben használják, de gyakrabban jelentenek "sokkal kevesebbet" és "sokkal többet" [32] .

Geometria

$\angle \ \ \perp$

A " szög " és a " merőleges " szimbólumokat Pierre Erigon francia matematikus találta fel 1634-ben . Erigon szögszimbóluma ikonra hasonlított ; a modern formát a korábban bevezetett kevesebb jellel való összetéveszthetőség elkerülése érdekében Seth Ward (1654) és William Oughtred (1657) angol matematikusok adták neki. A derékszöget gyakran d betűvel jelölték (a francia droit 'egyenes' szóból) [119] [43] . $<$

$\|$

A párhuzamosság szimbóluma ősidők óta ismert, az alexandriai Heron és Pappus használta . Eleinte ez a szimbólum a jelenlegi egyenlőségjelnek tűnt, de az utóbbi megjelenésével a félreértések elkerülése végett Oughtred (1677), Kersey (1673) és más 17. századi matematikusok függőleges irányt adtak a szimbólumot alkotó vonalaknak . 37] [120] .

$30^{\circ }40'50''$

A szögmértékegységek ( fok, perc, másodperc ) mai elnevezése megtalálható Ptolemaiosz Almagestjében , de a középkori Európában a gradus, perc, secundae szavakkal írták (teljesen vagy rövidítve). A fokozat szimbólumát 1568-ban használta újra Jacques Peletier francia matematikus és költő ; a következő évtizedben Erasmus Reingold , Tycho Brahe és Juan Caramuel már mindhárom szögjelet használja, majd ezek a jelek gyorsan általános használatba kerültek [121] .

Az elemzéshez kényelmesebb radián szögmértéket Roger Coates angol matematikus javasolta 1714-ben . Magát a radián kifejezést James Thomson , a híres fizikus Lord Kelvin testvére alkotta meg 1873-ban . Egyes szerzők a radiánértékek betűkkel vagy felső indexekkel történő megjelölését javasolták , de ezek a javaslatok nem találtak támogatást, bár a betűt néha használják a geodéziai munkákban [121] . $\rho$ $R,$ $\rho$

${\widehat {ab}),{\widehat {abc}}$

A körívek vagy egy másik görbe ma már általánosan elfogadott jelölését a 12. századi zsidó matematikus, Abraham bar-Hiya ( Savasorda ) használta először Európában a Geometria traktátusában ; ezt a művet Platón azonnal latinra fordította Tivoliból [43] .

$\pi$

John Wallis a négyzet szimbólumot használta a kerület és az átmérő arányára (utalva a kör négyzetre emelésére ), vagy a héber מ ("mem") betűt, amely szintén a négyzethez hasonlít. William Oughtred és Isaac Barrow a következőképpen jelölte ezt a számot: : itt a görög περιφέρεια, „ kör ” szó első betűjét jelöli, hasonlóan az átmérőhöz , tehát az egész jelölés a „kör kerületének és a kör kerületének arányának” rövidítése. átmérője" [122] . $\Doboz$ $\pi /\delta$ $\pi$ $\delta$

Az általánosan elfogadott elnevezést először William Jones alkotta meg " Synopsis Palmariorum Matheseos " (1706) című értekezésében , a kör görög nevének első betűjét is szem előtt tartotta. Euler később úgy döntött, hogy ugyanezt a rövidítést használja (korai írásaiban a c és p betűk között tétovázott ). Euler munkája az 1740-es években megszilárdította az elnevezést [44] . $\pi$

$\sim \ \cong$

A geometriai alakzatok hasonlóságának vagy egybevágóságának jelzésére szolgáló szimbólumokat Leibniz javasolta a 18. század elején. Leibniz egybevágósági szimbólumának a moderntől eltérően csak egy egyenes vonala volt a tilde alatt; a modern forma később több matematikus kezében jelent meg [45] .

$\phi$

Az aranymetszet arányának jelölését (ők a feliratot is használják ) Mark Barr amerikai matematikus javasolta (1909 körül). A megjelölés az ókori görög szobrász , Phidias ( más görög Φειδίας ) nevének első betűjére nyúlik vissza, aki egyes építészettörténészek szerint szisztematikusan alkalmazta az aranymetszés alkotásait (ezek az állítások jelenleg megkérdőjelezhetők). A matematikai szakirodalomban ezt az arányt gyakran jelölik (a görög τομή 'szakasz' szóból) [123] [124] . $\phi$ $\varphi$ $\tau$

Számelmélet

$a\equiv b{\pmod m}$

A modulo-összehasonlítás szimbolikáját Gauss dolgozta ki 1801-ben Aritmetikai vizsgálatok című művében . A pedáns Gauss egy pontot tett a "mod" kód után, mivel ez a lat rövidítése. modulo , de követői redundánsnak tartották a pontot [125] .

$a\mid b$

A függőleges sávot, mint az " oszt " (vagy ami ugyanaz: " oszt ezzel ") összefüggés szimbólumát, Edmund Landau javasolta először az "Elementary Number Theory" (1927) című könyvében; korábban ezt a szimbólumot néha Godfrey Harold Hardy is használta szemináriumának kiadatlan anyagaiban [126] . $a$ $b$ $b$ $a$

$\varphi (n)$

A számelméletben és az általános algebrában fontos szerepet játszó Euler-függvény 1760-ban jelent meg Eulernek, majd a Gauss (1801) által javasolt modern elnevezést jelölte meg [127] . $\pi D,$

$n!\$

A faktoriális tömör jelölését Christian Kramp javasolta (1808); korábban Euler használta [128] az a szimbólumot , míg Gauss, Jacobi és mások [129] a és a szimbólumokat . ${\megjelenítési stílus[n],}$ $\Pi (n)$ $\Pi _{n}$

$[x]$

Az egész rész szimbólumot Gauss vezette be 1808-ban. Egyes matematikusok inkább a Legendre által 1798-ban javasolt E(x) jelölést használják [130] helyett .

$\lfloor x\rfloor ,\;\lceil x\rceil$

Két sarokszimbólumpárt, amelyek egy valós számról egész számra felfelé vagy lefelé kerekítést jelentenek, Kenneth Iverson vezetett be 1962-ben [131] .

$\left({\frac {a}{p}}\right)$

Legendre számelméleti monográfiájában (1791) vezette be a prímszám szimbólumát , amely a nevét kapta . Egy hasonló kialakítású, de bármilyen páratlan számra definiált szimbólumot Jacobi (1837) publikált [132] . $p$

Funkciók

$f(x)$

A függvények első általános jelölését Johann Bernoulli használta 1718-ban. A matematikusok sokáig zárójelek nélkül határozták meg az argumentumokat: a zárójelet csak sok argumentum esetén használták, és akkor is, ha az argumentum összetett kifejezés volt. Az akkori idők visszhangja gyakori, ma már feljegyzések stb. De fokozatosan (Eulernél - 1734-től, d'Alembertnél - 1754-től) általános szabály lett a zárójelek használata [133] [134] [135] . $fx$ $\sin x,\lg x$

Elemi függvények

$\log _{a}b,\;\lg ,\;\ln$

A rövidítések már a 17. században megjelentek, de a 19. század végéig nem volt általánosan elfogadott logaritmus jelölés – az ɑ alapot vagy balra és a szimbólum felett, majd felette jelölték. Végül a matematikusok arra a következtetésre jutottak, hogy az alap legkényelmesebb helye a vonal alatt, a szimbólum után található . A természetes logaritmus szimbóluma először Irving Stringhamben (1893) [136] jelenik meg . $\log ,\operatorname {Log} ,\operatorname {L}$ $\log$ $\log$ $\ln$

$\sin ,\operátornév {tg} \ (\tan ),\sec$

A szinusz , érintő és szekáns első rövidített jelölését Thomas Fincke (1583) javasolta , aki ezt írta: sin., tan., sec. ; ugyanezen függvények pont nélküli jelölését William Oughtred vezette be (1632); század közepéig azonban sok szerző továbbra is véget vetett a trigonometrikus függvények jelölésének [137] [138] . Leonhard Euler 1748-ban a ponttal történő írásmódot használja ( sin., tang., sec. ), 1753-ban pedig elutasítja a pontot (és a tang mellett az orosz nyelvű irodalomban használatos tg jelölést is használja) [139] .

$\cos ,\operátornév {ctg} \ (\cot ),\operátornév {cosec} \ (\csc )$

Fincke koszinusz , kotangens és koszekáns jelölést kapott a sin.com., tan.com., sec.com oldalon (ahol a com a latin kiegészítés 'összeadás' rövidítése ). A különféle szerzők által később javasolt megnevezések között megtalálható Jonas Moore (1674) Cos and Cot., valamint Samuel Jake 1696-ban megjelent értekezésében – cos., cot., cosec . A cos (pont nélkül) írásmód 1729-ben fordul elő Eulerben (1753 óta rendszeresen); Abraham Kestner (1758) következetesen használja a cos, cot, cosec elnevezéseket [138] [140] . F. Cajorie szerint a modern nyugati irodalomban használt koszekáns csc megjelölése Oliver, Waite és Jones Trigonometria traktátusában (1881) jelenik meg, az orosz irodalomban rögzült kotangens ctg elnevezése pedig először. in Arthur Schoenflies (1886) [141] .

$\arcsin$

Az inverz trigonometrikus függvények arc- előtaggal való jelölésének módja Karl Scherfer osztrák matematikusnál (németül Karl Scherffer ; 1716-1783) jelent meg , és Lagrange - nek köszönhetően rögzítették . Ez azt jelentette, hogy például a szokásos szinusz lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a körív mentén az azt alátámasztó húrt, az inverz függvény pedig az ellenkező problémát oldja meg. A 19. század végéig az angol és a német matematikai iskolák más jelöléseket is kínáltak: , de ezek nem honosodtak meg [142] . $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }}$

$\operátornév {sh} \ (\sinh ),\operátornév {ch} \ (\cosh )$

A hiperbolikus szinusz és koszinusz Vincenzo Riccati (1757) vezette be , aki Sh -nak és Ch -nek nevezte el őket . A modern jelölés ( sh és ch ), valamint a hiperbolikus érintő th -je megtalálható William Cliffordban (1878). Az angol nyelvű országokban elterjedt sinh és cosh elnevezések Johann Lamberthez (1768) [143] nyúlnak vissza . A javasolt elnevezések között szerepel a sinhyp és a coshyp is (amelyeket például Brockhaus és Efron enciklopédiája használ ); ez a két elnevezés mára használaton kívül van [144] .

$\operatorname {sgn} (x)$

A sok esetben hasznos sgn( x ) függvényt (a latin signum 'jel' szóból) Kronecker (1884) kezdte használni előadásaiban , de más megjelöléssel: [ x ] . A modern sgn szimbólumot Peano (1908) [145] [146] vezette be .

Különleges szolgáltatások

$\Gamma (a),\operátornév {\mathrm {B} } (a,b)$

Az Euler által (1729-ben és 1730-ban) bevezetett 2. és 1. típusú Euler-integrál modern jelölését Adrien Marie Legendre (1811) javasolta a 2. típusú integrálra és Jacques Philippe Marie Binet (1839) a 2. típusú integrálra. integrál 1 -városok. Ezt követően a „ gamma függvény ” és a „ béta függvény ” [147] [148] kifejezések széles körben elterjedtek . $\Gamma (a)$ $\operatorname {\mathrm {B} } (a,b)$

$\mathrm {li} ,\mathrm {Si} ,\mathrm {Ci} ,\mathrm {Ei}$

Az integrál logaritmus li jelölésének szerzője Johann von Soldner (1809) . 1843-ban Karl Anton Bretschneider bevezette az si -t és a ci -t az integrál szinuszra és az integrál koszinuszra . Oskar Schlömilch (1846) módosította ezeket a jelöléseket Si és Ci -re , és bevezette az Ei jelölést az integrál exponenciális függvényre is [149] .

$\operatorname {\zeta } (s)$

A számelméletben döntő szerepet játszó Riemann-zéta-függvény (amelyet Euler , majd P. L. Csebisev tanulmányozott) jelölését Bernhard Riemann javasolta 1857-ben [150] . $\operatorname {\zeta } (s)$

$F(\varphi ,k),\;\,E(\varphi ,k),\;\,\Pi (\varphi ,n,k)$

Az 1., 2. és 3. típusú (nem teljes ) elliptikus integrálok jelölését Legendre normál alakjában lényegében maga Legendre vezette be (1825); az egyetlen különbség az ő jelölése és a modern között, hogy egy elliptikus integrál modulusát a következővel jelölte (a modern jelölést először Carl Jacobi használta 1829-ben), és a változót az utolsó helyre tette az argumentumlistában [ 151] . $F(\varphi ,k),$ $E(\varphi ,k),$ $\Pi (\varphi ,n,k)$ $c$ $k$ $\varphi$

$\operatorname {am} u$

Az elliptikus integrál amplitúdójának fogalmát, mint egy 1. típusú elliptikus integrál inverzének függvényét, és ennek jelölését Carl Jacobi (1829) vezette be [152] . $\varphi =\operátornév {am} u$

$\operátornév {sn} u,\;\operátornév {cn} u,\;\operátornév {dn} u$

A fő Jacobi elliptikus függvényeket - az sn amplitúdó szinuszát, a cn amplitúdó koszinuszát és a dn amplitúdó deltáját - Jacobi (1829) vezette be , aki sin am u , cos am u és Δ am u néven jelölte meg őket. (a Δ betű helyettesíti a Legendre által 1825-ben javasolt kifejezést). A tömörebb sn, cn és dn jelölést Christoph Gudermann (1838) vezette be . 1882-ben James Glaisher további kilenc elliptikus függvény jelölését vezette be: ns, nc, nd, cs, ds, dc, sc, sd és cd [153] . ${\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi )),$

$\vartheta _{0}(v),\;\dots ,\;\vartheta _{3}(v)$

Az elliptikus függvények hatékony kiszámítása érdekében Jacobi azt javasolta, hogy théta-függvények arányaként fejezzék ki őket , amelyekre a függvények gyorsan konvergens sorozataként kapott reprezentációkat . Jacobi eredetileg 1862-ben jelölte a théta függvényeket . Karl Weierstrass , aki módosította Jacobi definícióit, bevezette a modern jelölést [153] . $\operatorname {\Theta} (v),$ $\operatorname {\mathrm {H} } (v),$ $\operatorname {\mathrm {H} _{1}} (v),$ $\operatorname {\Theta _{1)) (v);$ $\vartheta _{0}(v),\;\dots ,\;\vartheta _{3}(v)$

$\wp (z),\;\operátornév {\zeta } (z),\;\operátornév {\sigma } (z)$

A Weierstrass-elliptikus függvényt (értsd: "pe-függvény"; itt - a Weierstrass-jelet , amely egy stilizált P betű ) és a szorosan kapcsolódó Weierstrass-zéta-függvényt és a Weierstrass-szigma-függvényt (a megfelelő jelöléssel együtt) Karl Weierstrass vezette be. , aki ezeket alapozta meg általános elliptikus függvényelméletének alapjául, amelyet 1862-től fejtett ki a berlini egyetem előadásain [154] . $\wp (z)$ $\wp$ $\operatorname {\zeta} (z)$ $\operátornév {\sigma} (z)$

$J_{\nu }(x),\;Y_{\nu }(x),\;H_{\nu }^{(1)}(x),\;H_{\nu }^{( 2)}(x)$

Az 1. típusú Bessel-függvények ma már általánosan elfogadott jelölése először Isaac Todhunternél (1875) [155] jelenik meg . A 2. típusú Bessel-függvények jelölését ( Weber-függvények) Hermann Hankel (1869) vezette be , a 3. típusú Bessel -függvények (Hankel-függvények) jelölését pedig Niels Nielsen (1902) [156] . $J_{\nu }(x)$ $Y_{\nu }(x)$ $H_{\nu }^{(1)}(x)$ $H_{\nu }^{(2)}(x)$

$I_{\nu }(x),\;K_{\nu }(x)$

Az 1. típusú módosított Bessel - függvények jelölését Alfred Basset (1886), a 2. típusú módosított Bessel-függvények (MacDonald-függvények) jelölését pedig 1899-ben Hector Macdonald javasolta . 156] megmarad . $I_{\nu }(x)$ $K_{\nu }(x),$

$\operátornév {Ai} (x),\;\operátornév {Bi} (x)$

Az Ai elnevezést az 1. típusú Airy funkcióra Harold Jeffreys javasolta 1828-ban [157] ; George Airy nevének első két betűjét használta , aki 1838-ban elsőként vizsgálta az Airy-egyenletet [158] . 1946-ban Jeffrey Miller hozzáadta a Bi jelölést a 2. típusú Airy függvényhez , amely szintén szabványossá vált [159] .

$B_{i,m}(x)$

A jelölést a következőképpen olvassuk: „ m fokú B-spline i számmal ” (feltételezzük, hogy ez a spline valamilyen mesh X i , …, X i+m+1 csomópontjaira épül ). Haskell Currie és Isaac Schoenberg (1947) a B-spline-ok általános definícióját adták meg a véletlenszerűen elosztott csomópontokkal rendelkező rácsokhoz , akik [160] cikkükben "alap spline-nek" nevezték őket, és B helyett N betűt használtak . Magát a "B-spline" kifejezést Schoenberg vezette be 1967-ben, ezután a megnevezés is megváltozott [161] [162] [163] . $B_{i,m}(x)$

$\operatorname {up} (x)$

Az up függvény (értsd: „ap-függvény”), amely történetileg az atomi függvények első és legfontosabb példája lett (amelyek a polinomiális spline -ok végtelenül differenciálható analógjai [164] ), ezzel a megjelöléssel 1971-ben vezették be a cikkben [165 ] V. L. Rvachev és V. A. Rvachev [166] [167] .

$\delta(x)$

A δ( x ) Dirac deltafüggvényt , amely az általánosított függvény első példája lett , Paul Dirac vezette be 1927 -es közleményeiben [168] [169] [170] [171] . Erről a függvényről és főbb tulajdonságairól azonban már Heaviside -nak (1893) volt világos elképzelése , amelyben a Heaviside-függvény származékaként jelent meg , de nem kapott külön jelölést [172] .

Lineáris algebra

${\bar {a)),{\vec {a)],\mathbf {a} ,{\mathfrak {A)),{\mathfrak {a))$

A vektor fogalmát 1847-ben [173] William Rowan Hamilton vezette be a tudományba a kvaterniók elméletének részeként ( a nulla skalárrésszel rendelkező kvaterniót vektornak nevezte ); a vektorokat görög betűkkel, a skalárokat latin betűkkel jelölte. Azonban még 1803-ban Lazar Carnot használta a geometriai mennyiség fogalmát , főként irányított szegmensekként értelmezve, és egy szakaszt jelölve, amelynek kezdete az A pontban van , és a vége a B pontban van, a tetején lévő kötőjellel: AB ; August Ferdinand Möbius 1827-ben javasolta egy olyan szegmens ábrázolását, mint a B − A különbség . James Clerk Maxwell előszeretettel jelölte meg a vektorokat gótikus betűkkel , a vektoranalízis megalapítói , Oliver Heaviside és Josiah Willard Gibbs félkövéren szedve. Szinte az összes ilyen típusú szimbolika még mindig megtalálható, különösen a félkövér betűtípus, egy kötőjel vagy egy nyíl a [59] [174] betű felett .

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\ \left[\mathbf {a} ,\mathbf {b} \right]$

A vektorokon végzett műveletek fogalmait és jelöléseit a 19. században sok matematikus alakította ki, a jelölések egységesítése máig sem sikerült. Grassmann a vektorszorzatot (1844) formában írta le , a skaláris szorzatot pedig (1846) vagy (1862) jelöléssel jelölte ; az utolsó változat a 20. században váratlanul újjáéledt a Dirac (1939) által bevezetett és a kvantummechanikában használt bra-ket szimbolika formájában [175] [176] . Heaviside a skalárszorzat legegyszerűbb formáját részesítette előnyben , míg Gibbs egy alacsonyabb pontot adott a skalárszorzat operandusai közé, és a vektorszorzatot Hendrik Lorentz skalár- és vektorszorzataként írták fel : és A jelölés először a Olaus Henrici (1903). A modern szerzők megnevezései leggyakrabban változtatják az adott lehetőségeket [175] . $\left[\mathbf {a} \mathbf {b} \right]$ $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ $\left[\mathbf {a} |\mathbf {b} \right]$ $\mathbf {a} \mathbf {b} ,$ $\mathbf {a} \times \mathbf {b} .$ $\mathbf {a} .\mathbf {b}$ $\left[\mathbf {a} .\mathbf {b} \right].$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$

$\left\|{\bar {a}}\right\|$

A vektor normájának jelölése először Erhard Schmidtnél (1908) jelent meg a térbeli norma speciális esetében . Az absztrakt vektortér normájának általános definícióját Stefan Banach adta meg "On operations on abstract sets..." [177] (1922) című cikkében , ahol szintén ezt a jelölést használta [178] . $\left\|{\bar {a}}\right\|$ ${\bár {a}}$ $\ell _{2}$

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\ {\begin{Vmatrix}a&b\\c&d\end{Vmatrix}}\ {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{ vmatrix}}$

A két függőleges vonallal határos mátrixokat Cayley vezette be 1843 körül; ma már gyakran használnak helyette zárójelet vagy szögletes zárójelet. A modern tankönyvek egy sorba foglalják a determinánst , szintén Cayley nyomán. A mátrixok zárójelét valószínűleg először Cuthbert Edmund Cullis angol matematikus használta 1913-ban [179] [180] .

$\Gamma^{k}_{ij}$ vagy $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}$

A tenzoranalízis és az általános relativitáselmélet középpontjában álló Christoffel-szimbólumokat Alvin Bruno Christoffel vezette be egy 1869-es írásában, amely a jelölési formátumot használta ; egy 1923-ban George Birkhoff által javasolt változat [181] [182] . $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}$ $\Gamma^{k}_{ij}$

$\delta _{s_{1}\dots s_{n}}^{r_{1}\dots r_{n}}$

A tenzorszámításban nagy szerepet játszó Kronecker-szimbólum , amelyet Kronecker az esetre egy 1866-os cikkben határoz meg; 1924-ben Francis Murnaghan leírta egy tetszőleges rangú tenzorra történő általánosítását [182] . $n=1$

Matematikai elemzés

$(a,b)\ [a,b]$

A valós számok intervallumának jelölését először Gerhard Kovalevsky német matematikus használta 1909-ben ; ha a határpont szerepel az intervallumban, akkor zárójelek helyett szögletes zárójeleket használtunk. 1921-ben Hans Hahn a szögletes zárójeleket szögletes zárójelekre cserélte, és ez a szimbolika gyökeret vert a tudományban [63] .

$e$

Az Euler-szám e = 2,7182818... szabványos jelölését először Euler jegyezte fel egy 1728-as, kiadatlan kéziratában, és ismét előfordul a „ Mechanics ” (1736) című művében és számos későbbi munkájában. Később más javaslatok is születtek: a c betű ( D'Alembert , 1747), ( August de Morgan , 1842), és Benjamin Pierce bonyolult, iratkapocs alakú jeleket javasolt a konstansok számára (1859); ezek a változatok nem szereztek népszerűséget [183] . $\epsilon$ $e,\pi$

$\Delta x$

A növekmény betűvel történő megjelölését először Johann Bernoulli (aki azonban nem tett egyértelmű különbséget a növekmény és a differenciál között ) és Euler (1755) [184] [185] használta . $\Delta$

$ó, o$

Az infinitezimális szimbólumokat James Gregory skót matematikus használta . Newton átvette tőle a "körülbelül kicsi" elnevezést [186] . A szimbólum nagybetűs változata mai jelentésében ( "nagy" ) Paul Bachmann Analitikus számelméletének második kötetében (1894) jelent meg . Mindkét szimbólumot Edmund Landau népszerűsítette egy 1909-es cikkében [187] , ezért gyakran "Landau szimbólumokként" [188] emlegetik őket .

${\displaystyle dx\quad {\frac {dy}{dx}}\quad {\frac {d^{n}y}{dx^{n))))$

A dx és dy jelölést egy argumentum és függvény differenciáljára Leibniz vezette be „A maximumok és minimumok új módszere…” című emlékiratában [189] (1684), majd a derivált jelölését a differenciálok arányaként. természetesen megjelent . „Válasz Bernard Nieventeit úrnak…” című emlékiratában [190] (1695) Leibniz a magasabb rendű különbségeket is figyelembe veszi , és egészen modern elnevezéseket vezet be ezekre [191] [192] .

${\pont {x}}$

Az időszármazék betű feletti ponttal való jelölésének hagyománya Newtontól (1691) származik [47] .

$f'(x)$

A vonásos derivált rövid megnevezése Lagrange - ig nyúlik vissza , amelyben Leibnizzel ellentétben az elemzés alapfogalma nem a differenciál , hanem a derivált volt [193] .

${\frac {\partial }{\partial x))$

A 18. század közepéig a részleges származékos szimbólum feljegyzése semmiben sem tűnt ki. Euler 1755-ben azt javasolta, hogy a parciális származékokat zárójelbe tegyék; ennek a szimbolikának volt némi forgalma. A modern elnevezéssel először Condorcet (1770) és Legendre (1786) cikkeiben találkoztunk, de még ezek a szerzők sem rögzítették. Lagrange többféle lehetőséggel próbálkozott – például a származékok indexelésével: vagy zárójelben feltüntetve, hogy melyik változót különböztetjük meg –, de ez a szimbolika egyértelműen nem járt sikerrel. William Hamilton több cikkében is megtalálható a modernhez közel álló szimbólum . A modern jelölést Carl Jacobi (1841) tette általánossá [194] . ${\displaystyle F'_{1))$ $F'(y),$ ${\frac {\delta f}{\delta x))$

$\int \ \iint \ \iiiint$

A korai jegyzetekben Leibniz az omn szimbólumot használta az integrál szimbólumaként . (a latin de omnium szóból 'összesen' – ezt a rövidítést Cavalieri vezette be, hogy a területeket " oszthatatlanok módszerével " számítsa ki ). Az integrál modern megjelölését, amelyet Leibniz a "Summa" szó stilizált kezdőbetűjéből ( lat. Summa ) alkotott, először egy 1675. október 29-i, kiadatlan kéziratban találták meg, nyomtatásban pedig az "On" című emlékiratban jelent meg. Rejtett geometria és az oszthatatlanok elemzése..." (1686); a nyomda azonban munkája megkönnyítése érdekében ebben az első cikkben az integrál szimbólumot betűre cserélte . Johann Bernoulli Leibnizzel folytatott levelezésében kezdetben egy betűt javasolt az integrál szimbólumaként, de később beleegyezett a Leibniz-jel elfogadásába [195] [196] [197] . Első cikkeiben Leibniz gyakran aláhúzta az integrál és a differenciál kifejezéseit, talán meg akarta mutatni, hogy ezek integrál szimbólumok, de később felhagyott ezzel a gyakorlattal [198] . ${\mathit {f))$ $én$

A tetszőleges síktartomány feletti kettős integrált Euler (1769) vezette be, a hármas (több térfogatú) integrált pedig hamarosan Lagrange [199] .

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\ \ \lim _{x\to a+0}f(x)\ \ \varlimsup _{n\to \infty }x_{n))$

A határszimbólum 1787-ben jelent meg Simon Lhuillier -nél a következő formátumban: ezt a megjelölést Cauchy (1821) támogatta . A lim utáni pont hamar eltűnt [55] . $\operatorname {lim.} x:a;$

Weierstrass a modernhez közeli megjelölést vezetett be , bár a nálunk megszokott nyíl helyett az egyenlőségjelet használta: [200] . A nyíl a 20. század elején jelent meg több matematikus kezében [201] . $\operatorname {Lim} _{x=a}$

Az egyoldalú határ jelölését először Dirichlet (1837) javasolta a következő formában: Moritz Pasch (1887) további fontos fogalmakat vezetett be - a felső és alsó határértéket , amelyeket a következő formában írt: ill . Külföldön ez a szimbolika szabványossá vált, és az orosz irodalomban más elnevezések uralkodnak: Alfred Pringsheim vezette be 1898-ban [202] . $f(a+0),f(a-0).$ $\lim \sup$ $\lim \inf$ $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n},\ \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

A határozott integrál kialakítását a számunkra ismert formában Fourier találta ki , aki 1816 óta használja. Előtte a határokat először szóban jelezték; Euler 1768-ban az integrál után szögletes zárójelbe írta le őket két sorban (tól/ig) [203] [58] .

$\pont$

A kör alakú jelölést egy zárt körvonal feletti görbe integrálhoz Kramers javasolta 1923-ban [199] .

$f*g$

A függvények konvolúciójára szolgáló csillag jelölést először Vito Volterra javasolta 1912-ben a Sorbonne -ban tartott előadásai során (egy évvel később publikálták) [204] .

$\nabla$

Ennek a differenciáloperátornak a szimbólumát William Rowan Hamilton (1853) alkotta meg, a „ nabla ” nevet pedig a skót matematikus, Tait egyik barátja, Hamilton barátja javasolta viccből , megjegyezve, hogy ennek a jelnek az alakja. az asszír hárfára emlékeztet ezzel az (ógörög) névvel (1892). A " Hamilton-operátor " kifejezést is használják [205] .

$\Delta$

A matematikai fizikában elterjedt Laplace-operátor („ Laplacian ”) szimbóluma 1833-ban jelent meg Robert Murphy angol fizikustól és matematikustól (Robert Murphy, 1806-1843) [115] . Előtte néha a Fourier [206] által javasolt szimbólumot használták helyette $\Delta \Phi$ $D\Phi .$

$\mathrm {grad} ,\mathrm {div} ,\mathrm {rot}$

A vektoranalízis klasszikus differenciáloperátorainak szimbolikája a 19-20. század fordulóján fokozatosan alakult ki. A gradiens fogalmát William Hamilton már 1846-ban bevezette , de a kifejezés neve és általánosan elfogadott megnevezése 1900 körül jelent meg egy német iskolában, talán Heinrich Webernek köszönhetően . A divergencia és a hullámosság fogalmát Maxwell vezette be az elektromágneses térelméletről szóló munkájában ; a kifejezéseket és a jelölést Clifford (1878) javasolta [207] .

$\gamma \ C$

Az Euler-Mascheroni állandót Leonhard Euler vezette be 1735-ben . Euler betűvel jelölte , Mascheroni pedig [132] – a Bretschneider által javasolt elnevezést ma is gyakran használják, mivel ezt az állandót a gammafüggvénnyel [208] társítják . $C$ $A;$ $\gamma ,$

Matematikai logika és halmazelmélet

A matematikai logikában a logikai műveletek nagyszámú szimbólumát javasolták , és a különböző szerzők gyakran különböző jelöléseket használtak ugyanarra a műveletre. Sokkal nagyobb mértékű egységesítés a halmazelmélet szimbolikájára jellemző [209] .

$\land \ \&\ \lor$

George Boole (1854) a szokásos szorzási és összeadási jeleket használta a konjunkció és a diszjunkció logikai műveleteihez. A modernhez közeli elnevezéseket Giuseppe Peano (1895) javasolta ; a jelenleg használt opciókhoz képest inkább „kisimítottak”, körívek formájában. A modern diszjunkciószimbólum először Bertrand Russell „Matematical Logic Based on Type Theory” [210] (1908) című művében jelenik meg, míg a kötőszót ott egy pont jelzi a vonal vonalán (a diszjunkciós szimbólum a latin vel 'vagy Később kialakult a hagyomány a szigorú diszjunkció [211] ). A modern kötőszó szimbólumot (a fordított diszjunkciós jelet) Arend Heiting (1930) javasolta; a & [64] [212] és jel továbbra is gyakori alternatíva marad számára . $\land ,\ \lor$ $\lor$ $\föld$

A programozási nyelvekben a konjunkció, a diszjunkció és a szigorú diszjunkció általában más jelöléseket használ (például az Adaand a fenntartott , orés xor[213] szavakat használja , míg a C és C++& a , |, , jelölést használja ^bitenkénti műveletekhez és &&, ||logikai műveletekhez [214] ).

$\sim \ \lnot$

A logikai tagadást Giuseppe Peano 1897-ben egy mínuszhoz hasonló szimbólummal ( tilde ) jelölte meg; most a szabvány a hozzá közel álló szimbólum, amelyet Heyting javasolt 1930-ban [64] [212] . A kifejezés felett vízszintes sávot is használnak a tagadás jelölésére, amelyet Boole és Charles Pierce (1867) is talált [215] . Más jelöléseket használnak a negációra a programozási nyelvekben (például az Ada a fenntartott szót használja [213] , míg a C és a C++ a bitenkénti művelethez és a logikai negációhoz [ 214] ). $\sim$ $\lnem$ not ~!

$\to \ \supset \ \equiv \ \leftrightarrow$

A Johann Rahn által 1659- ben javasolt, „tehát” jelentésű első logikai szimbólum három pontból állt: . Otred (1677) két felső indexponttal ábrázolta a következményt. Fordított szimbólum: a 19. században az angol nyelvű országokban néha felváltotta a „mert” kötőszót [60] . ${\pont {.\ .))$ ${\pont {}}\,.{\pont {\ \,}}$

Az implikáció szimbólumát David Hilbert (1922) javasolta . Nem kevésbé gyakori a ⊃ jel , amelyet ebben az értelemben még Giuseppe Peano (1898) is használt, és ennek a jelnek a korábbi ɔ stílusát váltotta fel (amit Peano 1891 óta használt). Az ekvivalencia jelölésére mind az azonosság szimbólumát használják (ahogyan Russell tette a már említett 1908-as munkájában), mind az Albrecht Becker (1933) által javasolt jelet [212] [216] . $\nak nek$ $\equiv$ $\bal jobbra nyíl$

$\mid \ \downarrow$

Schaeffer vonását az antikonjunkció műveletének megjelölésére Henry Schaeffer vezette be , aki "Öt független posztulátum halmaza..." [217] (1913) című cikkében alátámasztotta az egyetlen logikai műveleten alapuló propozicionális logika felépítésének lehetőségét. - antikonjunkció [218] . Schaeffer eredményeire azonban Charles Peirce (1880) számított, aki a "Boole-algebra with One Constant" című, kiadatlan művében valójában egy másik művelet – az antidisjunkció – alapján hajtott végre egy ilyen konstrukciót , amelyet általában előjellel jelölnek. ( Pearce nyila ) [219] [220] . $\középső$ $\lefele nyíl$

$\forall \ \exists$

A kvantorok első szimbólumai 1879-ben jelentek meg Gottlob Frege Fogalmak kalkulusában; Frege jelölése nehézkes kétdimenziós jelölésen alapult, és a jövőben nem alkalmazták széles körben. Ezt követően több sikeres elnevezést javasoltak; például Oscar Mitchell 1883-ban és Charles Peirce 1885-ben nagy görög betűket és (magát a "kvantifikátor" kifejezést is Peirce javasolta) [221] . Az egzisztenciális kvantor általánosan elfogadott jelölése a következő volt ( Giuseppe Peano , 1897), az általános kvantorra pedig a szimbólum , amelyet Gerhard Gentzen 1935-ben, Peano szimbólumával analógia útján; ezek a karakterek az angol Exists 'exists' és All 'all' szavak fordított kezdőbetűi [222] [223] . $\Pi$ $\Sigma$ $\létezik$ $\mindenkinek$

$\vdash$

A származtathatósági jelet ( fordítókapu ) lényegében Frege (1879) vezette be a már említett "Fogalmak számítása" című könyvében [224] . Modern stílusban Bertrand Russellben (1908) [210] található .

$\lambda xE$

A kifejezés jelentése "olyan függvény, amely az argumentum minden értékéhez leképezi a kifejezés megfelelő értékét " (ahol általában a -tól függ ). A λ-absztrakciós operátort és a használatán alapuló λ-számítást Alonzo Church javasolta az 1920-as évek végén (az első publikáció az ő tanulmánya [225] volt 1932-ben, amelyben Church azonban még mindig azt írta ; a modern szabványos jelölést vették 1941-re ) [226] . $\lambda xE$ $x$ $E$ $E$ $x$ $\lambda x[E]$

$\in \ \cap \ \cup \ \subset \ \supset$

A halmazelmélet szimbolikáját nagymértékben befolyásolta a vele szorosan összefüggő, a 19. század végére már jól kifejlődött matematikai logika szimbolikája . A tagság jelét (eredetileg stilizált ε betű a görög εστι 'lenni') Giuseppe Peano (1889) vezette be "Az aritmetika alapjai új úton bemutatva" [227] című munkájában . A halmazok metszéspontját és egyesülését jelző szimbólumok szerzője is (1888). A halmazelméleti szimbólumok "tartalmaz" és "tartalmaz" 1890-ben jelentek meg Ernst Schroedernél [212] [228] . $\ban ben$

$\aleph \ \omega \c$

Az 1880-as években Georg Cantor felfedezte a végtelen halmazok hierarchiáját, és kardinalitás szerint rendezte őket . Közülük a legkisebbet - a természetes sorozat erejét - a héber ábécé első betűjét " alef "-nek jelölte nulla indexszel: Kantor a természetes sorozat sorszámát a görög ábécé utolsó betűjének betűjével jelölte meg . A valós számok halmazának számosságát általában betűvel jelölik (a kontinuum 'folytonosság' szóból) [229] [230] . $\aleph _{0}.$ $\omega,$ $c$

$\varnothing \ \emptyset$

Az üres készlet jelét André Weil javasolta 1939-ben , a Bourbaki-csoportnak a „Halmazok elmélete. Eredmények összefoglalása" az "Elements of Mathematics" értekezésben ( a norvég ábécé azonos stílusú betűjét használták a jel prototípusaként) [231] . 1939 előtt az üres halmazt néha a nulla szimbólummal jelölték [232] . $\varnothing$

$f\colon X\rightarrow Y$

Az X halmaz Y halmazba való leképezésének jelölése először 1940-ben jelent meg Vitold Gurevich relatív homotópiacsoportokról szóló előadásaiban [233] . $f\colon X\rightarrow Y$

$\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

1888-ban Richard Dedekind " Was ist und was sollen die Zahlen " című cikkében használta először a szimbólumot a természetes számok halmazára és a valós számok halmazára . Egész és komplex számokhoz Dedekind szimbólumokat javasolt . Az egész számok halmazának modern, általánosan elfogadott jelölését Edmund Landau használta először 1930-ban (Landaunál volt egy kötőjel a Z szimbólum felett , amelyet később eltöröltek). Bourbaki az Algebraic Structures (1942) című művében támogatta a szimbólumot , és jelölést javasolt a racionális számok mezőjére. A komplex számok mezőjének szimbóluma Nathan Jacobson (1939) cikkében jelent meg, és az 1950-es években vált általánosan elfogadottá [234] . $\mathbb {N}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {K} ,\mathbb {J}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {\bar {Z))$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$

Egyéb megnevezések

A százalékjel a 17. század közepén egyszerre több forrásban is megjelent, eredete tisztázatlan. Van egy hipotézis, hogy ez egy szedő hibájából keletkezett, aki a cto (cento, századik) rövidítést 0/0-nak írta be. Valószínűbb, hogy ez egy kurzív kereskedelmi jelvény, amely körülbelül 100 évvel korábban keletkezett [235] .

$C_{n}^{k}\ {n \choose k}\ A_{n}^{k}$

A kombinációk számának (vagy ami ugyanaz, a binomiális együtthatóknak ) jelölése 1880-ban jelent meg Robert Potts angol matematikusnál ( Robert Potts , 1805-1885), ez a lat. combinatio - kombináció. Ugyanakkor a Potts-jelölésben a felső szimbólum a C betűtől balra, nem pedig jobbra helyezkedett el. A nyugati szakirodalomban a jelölés második változata általános: Euler javasolta , de ez is eltért a jelöléstől. eleinte a modern: az Euler-eket átrendezték és vízszintes vonallal választották el egymástól, mint egy töredéket. A Nyugaton ma már elfogadott jelölést Andreas von Ettingshausen német matematikus szabványosította a Kombinatorikus elemzés (1827) című könyvében, majd Josef Ludwig Raabe (1851) támogatta őket . Az elhelyezések számának jelölését 1904-ben egy másik német matematikus , Eugen Netto javasolta a kombinációk számának analógiájára [236] [237] . $C_{n}^{k}$ $k$ ${n\choose k},$ $n,k$ $A_{n}^{k}$

$\infty \ +\infty \ -\infty$

A végtelen szimbólumot John Vallis találta fel 1655-ben [28] . Ennek a szimbólumnak két változata jelent meg Weierstrassban (1876), és széles körben alkalmazták az elemzésben: a plusz-végtelen és a mínusz-végtelen [230] .

$x_{n}$

A homogén változók számozásának indexálását modern formájában Newton (1717) vezette be. Eleinte a nyomdai megszorítások miatt az indexeket nem a vonal alá, hanem azonos szinten nyomtatták. A kettős indexeket ( mátrixok elemeire) Jacobi (1835) vezette be általános használatba [238] .

${\cancel {0}}\ {\cancel {\mathsf {O}}}$

A mérnöki gyakorlatban keresztezett kört használnak az átmérő jelzésére (Unicode-8960 karakter) [239] . Számítógéppel végzett munka során , mivel fennállt a veszélye annak, hogy a 0 -t összekeverik a latin vagy orosz O betűvel , egy időben volt egy ajánlás (különösen fontos, ha programokat írunk kódoló űrlapokra ) a nulla áthúzására [240] : (néha ennek az ellenkezőjét tették: számítógépen programozáskor a „ Minsk-32 ” áthúzta az O betűt , nem pedig nullát [241] ). Számos szövegterminál karaktergenerátora , személyi számítógépekhez való videoadapterek és mátrixnyomtatók szintén nullát adnak át áthúzással, amikor szöveges módban dolgoznak (egyes nyomtatók beépített kapcsolókkal rendelkeznek az áthúzott nulla üzemmód engedélyezésére és letiltására) [242] [ 243] . A modern számítógépes betűtípusokban az O betű észrevehetően szélesebb, mint a nulla, ezért általában nincs szükség áthúzásra. ${\cancel {0}}$

Lásd még

Jegyzetek

Hozzászólások

↑ N. V. Alexandrova könyvében a végsarok hibásan van ábrázolva, lásd Bombelli könyve oldalának fénymásolatát a könyvben: Cajori F. , vol. 1., 144. §.

Források

↑ Mazur J., 2014 , 20. fejezet Találkozás az elmében.
↑ Juskevics A. P. Leibniz és az infinitezimális számítás alapja // Uspekhi matematicheskikh nauk . - Orosz Tudományos Akadémia , 1948. - T. 3 , No. 1 (23) . - S. 155-156 . (Orosz)
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 199. §.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 639. §.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 12-13.
↑ 1 2 Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 21.
↑ Gardiner Alan H. Egyiptomi nyelvtan: bevezetés a hieroglifák tanulmányozásába 3. kiadás, rev. London: 1957, p. 197.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 200. §.
↑ O'Connor JJ, Robertson EF A babiloni matematika áttekintése . Letöltve: 2015. december 23. Az eredetiből archiválva : 2008. október 5.. (határozatlan)
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 42.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 157-161.
↑ Martzloff, Jean-Claude. . A kínai matematika története . - Springer, 1997. - P. 197-200 . — ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 62-64.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , p. 48-50.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 144-145.
↑ Bashmakova I. G. . Diofantin és diofantin egyenletek. - M . : Nauka, 1972 (reprint M .: LKI, 2007). — 68 s.
↑ Volodarsky A.I. Matematika az ókori Indiában // Történelmi és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1975. - 20. sz . - S. 289 .
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 181-183.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 188-189.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 185-186, 189.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 252.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 212-214, 227.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 134. §, 135.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 286-290.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 122. §, 130.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 290-291.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 301-304, 306.
↑ 1 2 3 4 5 6 Mathematical Encyclopedia, 1979 .
↑ 1 2 Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 308-311.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 176. §.
↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 22-23.
↑ 1 2 3 4 Aleksandrova N. V., 2008 , p. 111-112.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 188. §.
↑ 1 2 Aleksandrova N. V., 2008 , p. 127.
↑ 1 2 3 Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 41.
↑ 1 2 3 Alexandrova N.V., 2008 , p. 141.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , p. 123.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 185. §.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , p. 130-131.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 315. §.
↑ 1 2 Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 40-46.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 392. §.
↑ 1 2 3 Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 359. §.
↑ 1 2 Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 396-397.
↑ 1 2 Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 372. §.
↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 234-237, 266.
↑ 1 2 3 Alexandrova N.V., 2008 , p. 142-143.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 622. §.
↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 255-257, 266.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 45-46.
↑ Mazur J., 2014 , 18. fejezet A szimbólummester.
↑ 1 2 Aleksandrova N. V., 2008 , p. 54.
↑ 1 2 3 Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára, 1985 .
↑ 12 Rouse Ball W.W. Rövid beszámoló a matematika történetéről. 4. kiadás . - Dover Publications, 2010. - 522 p. — (Dover Matematikai Könyvek). - ISBN 978-0486206301 . — 242. o.
↑ 1 2 Hajász E., Wanner G. . Matematikai elemzés történetének tükrében. - M . : Tudományos világ, 2008. - 396 p. - ISBN 978-5-89176-485-9 . - S. 172.
↑ 1 2 Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 78-79 (451 dollár).
↑ 1 2 3 Alexandrova N.V., 2008 , p. 150-151.
↑ 1 2 Aleksandrova N. V., 2008 , p. 63.
↑ 1 2 Aleksandrova N. V., 2008 , p. 22-23.
↑ 1 2 Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 667-670.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 677-678.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 685-691.
↑ 1 2 Aleksandrova N. V., 2008 , p. 67.
↑ 1 2 3 Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 281-314.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 695. §.
↑ Orlov S. A. Programozási nyelvek elmélete és gyakorlata: Tankönyv egyetemek számára. 3. generációs szabvány. - M. : Piter, 2013. - S. 148-149. — 688 p. - ISBN 978-5-496-00032-1 .
↑ Akimov P. A., Kaitukov T. B., Mozgaleva M. L., Sidorov V. N. Építőipari informatika . - M. : ASV, 2014. - S. 56. - 432 p. - ISBN 978-5-4323-0066-9 .
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 214-215.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 114.
↑ Chrisomalis S. Numerical Notation: A Comparative History . - Cambridge: Cambridge University Press , 2010. - ix + 486 p. - ISBN 978-0-521-87818-0 . — 195. o.
↑ Joseph G.G. A páva címere: A matematika nem európai gyökerei. 3. kiadás . - Princeton: Princeton University Press , 2011. - xxvii + 561 p. - ISBN 978-0-691-13526-7 . — 339. o.
↑ Puskin A. S. . Komplett munkák . - M . : Pravda, 1954. - T. 5. - S. 286.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 96. §.
↑ Jean-Claude Martzloff. A kínai matematika története. - Springer, 1997. - ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Berggren J. Lennart. . Matematika a középkori iszlámban // Egyiptom, Mezopotámia, Kína, India és az iszlám matematikája: Forráskönyv . - Princeton: Princeton University Press, 2007. - 518. o . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
↑ Guter R. S., Polunov Yu. L. . John Napier, 1550-1617 — M .: Nauka , 1980. — 226 p. — (Tudományos és életrajzi irodalom). - S. 197-204.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 276-277.
↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 136.
↑ 1 2 Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 186., 195., 282. §.
↑ Glazer G.I., 1981 , p. 43.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 286-288.
↑ 1 2 Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 91. §.
↑ A Nemzetközi Mértékegységrendszer (SI) . Hozzáférés dátuma: 2015. december 30. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4. (határozatlan) : "A 9. CGPM (1948, 7. határozat) és a 22. CGPM (2003, 10. határozat) nyomán a sok számjegyű számok esetében a számjegyek vékony szóközzel hármas csoportokra oszthatók az olvasás megkönnyítése érdekében. Sem pont, sem vessző nem kerül beszúrásra a háromtagú csoportok közötti szóközökbe".
↑ 0. rész: Általános elvek, Szak. 3.3 // ISO 31-0 nemzetközi szabvány: Mennyiségek és mértékegységek. – Genf: Nemzetközi Szabványügyi Szervezet , 1992.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 212. §.
↑ Mazur J., 2014 , 17. fejezet A szimbólumok katalógusa.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 42, 144-145, 308-310.
↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 22, 40-41.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 340-341.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 498-500.
↑ Hexadecimális . Hozzáférés dátuma: 2016. február 21. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4. (határozatlan)
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 201-209.
↑ Cardano's Ars Magna, 4. oldal . Hozzáférés dátuma: 2013. október 8. Az eredetiből archiválva : 2014. augusztus 19. (határozatlan)
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 126-127.
↑ 1 2 Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 217. §, 232-233.
↑ Gyorsított szorzási technikák (2008. március 2.). Hozzáférés időpontja: 2016. január 12. Az eredetiből archiválva : 2016. március 5. (határozatlan)
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 218-230.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 235-239.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 40.
↑ 1 2 Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 164. §.
↑ Osztási szimbólumok (angol) (hivatkozás nem érhető el) . Letöltve: 2015. augusztus 22. Az eredetiből archiválva : 2011. május 14.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 161. §.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 170-171.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 195. §, 342-350.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 210. §.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 290-297.
↑ Glazer G.I., 1982 , p. 59-60.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , §298-301, 307-309.
↑ 1 2 Nikiforovsky V. A. . századi algebra történetéből. — M .: Nauka , 1979. — 208 p. — (Tudomány- és technikatörténet). - S. 81.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 318-321.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 328-333.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 22-23., 106., 218.
↑ 1 2 Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 260-268.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , p. 139.
↑ 12 Math4school _ _
↑ Ben-Menahem A., 2007 , p. 5503.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 173, 183.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 144.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 120, 190.
↑ A geometriai szimbólumok legkorábbi felhasználásai . Letöltve: 2015. augusztus 22. Az eredetiből archiválva : 2015. november 2..
↑ 1 2 Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , §514-515.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 124-125.
↑ Livio M. Az aranymetszés: Phi története, a világ legcsodálatosabb száma . - NY: Broadway Books , 2002. - viii + 294 p. — ISBN 0-7679-0815-5 . - P. 5-6, 72-75.
↑ Sen SK, Agarwal RP Aranymetszés a tudományban, mint véletlenszerű sorozatforrás, annak számítása és azon túl // Számítógépek és matematika alkalmazásokkal . - 2008. - Vol. 56. sz. 2. - P. 469-498. - doi : 10.1016/j.camwa.2007.06.030 .
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 408. §.
↑ Paul Pollack. A számelmélet szimbólumainak legkorábbi használata (a hivatkozás nem érhető el) . Letöltve: 2017. október 22. Az eredetiből archiválva : 2010. január 31. (határozatlan)
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 409. §.
↑ Donald Knuth . A programozás művészete, I. kötet. Alapvető algoritmusok. - M .: Mir , 1976. - S. 81. - 736 p.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 199-200.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. tizennégy.
↑ Knut D. A számítógépes programozás művészete. T. 1. Alapvető algoritmusok. — M .: Mir , 1976. — 735 p. - S. 68.
↑ 1 2 Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 407. §.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 643-646.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 204-205.
↑ Olvasó a matematika történetéről. Matematikai elemzés. Valószínűségelmélet, 1977 , p. 82.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 469-471.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 150, 158, 170.
↑ 1 2 A szimbólumok legkorábbi használata trigonometrikus és hiperbolikus függvényekhez . Hozzáférés dátuma: 2016. január 7. Az eredetiből archiválva : 2016. március 5. (határozatlan)
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 166.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 150, 163, 166.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 170.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 210-211.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 172-174.
↑ Hiperbolikus függvények // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 211. §.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 168.
↑ Ben-Menahem A., 2007 , p. 5503-5504.
↑ A funkciószimbólumok legkorábbi használata . Letöltve: 2016. január 8. Az eredetiből archiválva : 2015. november 30. (határozatlan)
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 280-281.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 278.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 272-275.
↑ Solomentsev E. D. . Az elliptikus integrál amplitúdója // Mathematical Encyclopedia. Vol. 1 / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet enciklopédia , 1977. - 1152 stb. - Stb. 243.
↑ 1 2 Solomentsev E. D. . Jacobi elliptikus függvények // Mathematical Encyclopedia. T. 5 / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet enciklopédia , 1985. - 1248 stb. - Stb. 1054-1058.
↑ Solomentsev E. D. . Weierstrass elliptikus függvények // Mathematical Encyclopedia. Vol. 1 / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet enciklopédia , 1977. - 1152 stb. - Stb. 621-624.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 279.
↑ 1 2 Watson G. N. . A Bessel-függvények elmélete. 1. rész - M .: IIL , 1949. - 798 p. - 70-71., 88., 92. o.
↑ Vallee O., Soares M. . Levegős funkciók és alkalmazások a fizikában . - London: Imperial College Press , 2004. - x + 194 p. — ISBN 1-86094-478-7 . — 4. o.
↑ Fedoryuk M. V. . Airy functions // Matematikai enciklopédia. T. 5 / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet enciklopédia , 1985. - 1248 stb. - Stb. 939-941.
↑ Airy Function Ai: Bevezetés az Airy funkciókba . // A Wolfram Functions Site. Letöltve: 2016. február 5. Az eredetiből archiválva : 2016. június 3. (határozatlan)
↑ Curry H. B. , Schoenberg I. J. A spline-eloszlásokról és határértékeikről: A Pólya-eloszlásfüggvények // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1947. - 1. évf. 53. sz. 11. - 1114. o.
↑ Tikhomirov V. M., 1987 , p. 190.
↑ Zavyalov Yu. S., Leus V. A., Skorospelov V. A. . Spline a mérnöki geometriában. - M . : Mashinostroenie, 1985. - 224 p. - S. 46-47.
↑ De Bohr K. . Gyakorlati útmutató a spline-ekhez. - M . : Rádió és kommunikáció, 1985. - 304 p. - S. 86-87, 91.
↑ Kravcsenko V. F. . Előadások az atomi függvények elméletéről és egyes alkalmazásaikról. - M . : Rádiótechnika, 2003. - 510 p. — ISBN 5-93108-019-8 . - S. 272.
↑ Rvachov V. L. , Rvachov V. O. Egy véges függvényről // DAN URSR. Ser. A. - 1971. - 8. sz . - S. 705-707 .
↑ Tikhomirov V. M., 1987 , p. 202-203.
↑ R -függvények elmélete és az alkalmazott matematika aktuális problémái / Otv. szerk. V. I. Moszakovszkij. - Kijev: Naukova Dumka , 1986. - 264 p. - S. 46.
↑ Dirac P.A.M. The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics // Proceedings of the Royal Society . - 1927. - 1. évf. 113. - P. 621-641.
↑ Dirac P.A.M. A sugárzás kibocsátásának és abszorpciójának kvantumelmélete // Proceedings of the Royal Society . - 1927. - 1. évf. 114. - P. 243-265.
↑ Egorov Yu. V. Az általánosított függvények elméletéről // Advances in Mathematical Sciences . - Orosz Tudományos Akadémia , 1990. - T. 45, 1. sz. 5 . - S. 3-40 . (Orosz)
↑ Bernstein J. . Harangok kórusa és egyéb tudományos kérdések . - Szingapúr: World Scientific , 2014. - xii + 274 p. — ISBN 978-9-81-457894-3 . - P. 70-71.
↑ Lützen J. . Az eloszlások elméletének őstörténete . - NY: Springer Science & Business Media , 2012. - viii + 232 p. - (Matematika- és fizikatudománytörténeti tanulmányok. 7. köt.). — ISBN 978-1-4613-9474-7 . - 115-116. o.
↑ Bogolyubov A. N. . Matematika. Mechanika. Életrajzi útmutató . - Kijev: Naukova Dumka, 1983. - 639 p. - S. 118.
↑ Glazer G.I., 1983 , p. 91.
↑ 1 2 Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , §506, 509.
↑ B.C. terem Kvantumelmélet matematikusoknak . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xvi + 553 p. - (Matematika érettségi szövegei. 267. köt.). — ISBN 978-1-4614-7115-8 . — 85. o.
↑ Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales // Fundamenta Mathematicae . - 1922. - 1. évf. 3. - P. 133-181.
↑ Megginson R. E. . Bevezetés a Banach térelméletbe . - NY: Springer Science & Business Media , 2012. - xix + 598 p. - (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 183). - ISBN 978-1-4612-0603-3 . - P. ix-x.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 97.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 462. §.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 510. §.
↑ 1 2 Aleksandrova N. V., 2008 , p. 168.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 400-401.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 45, 153.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 572. §.
↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 234, 2. lábjegyzet.
↑ Landau E. . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen . - Lipcse: Teubner, 1909. - xviii + 961 S. - S. 883.
↑ Narkiewicz W. . A prímszámelmélet fejlődése: Euclidtól Hardyig és Littlewoodig . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xii + 449 p. — ISBN 978-3-662-13157-2 . - P. xi.
↑ Leibniz G. W. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus // Acta Eruditorum . - 1684. - Kt. 3. - P. 467-473.
↑ Leibniz G. W. Responsio ad nonnullas megnehezíti a Dn. Bernardo Niewentijt circa methodum differentialem seu infinitesimalem motas // Acta Eruditorum . - 1695. - P. 310-316.
↑ Rybnikov K. A. . A matematika története. 2. kiadás - M . : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1974. - 456 p. - S. 182-183.
↑ Bos H. J. M. Differenciálok, magasabb rendű differenciálok és a derivált a Leibnizi-számításban // Archívum az Exact Sciences történetéhez . - 1974. - 1. évf. 14. sz. 1. - P. 1-90.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 575. §.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , §593-611.
↑ Leibniz G. W. De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum // Acta Eruditorum . - 1686. - Kt. 5. - P. 292-300.
↑ Durán, Antonio H. Az igazság a határon. Infinitezimálisok elemzése. - M. : De Agostini, 2014. - S. 86. - 144 p. — (A matematika világa: 45 kötetben, 14. kötet). - ISBN 978-5-9774-0708-3 .
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 620. §.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 539-541.
↑ 1 2 Aleksandrova N. V., 2008 , p. 58-59.
↑ Yushkevich A.P. A határ fogalmának kidolgozása Weierstrass K. előtt // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1986. - 30. sz . - S. 76 .
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 133-135.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 631-637.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 626. §.
↑ Domínguez A. A konvolúciós művelet története // IEEE Pulse. - 2015. - Kt. 6, sz. 1. - P. 38-49.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 107-108.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 592. §.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 37, 44, 158.
↑ Carl Anton Bretschneider. Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (1835. október 13.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1837. - Kt. 17. - P. 257-285.
↑ Kondakov N. I., 1975 , p. 534-540.
↑ 1 2 Russell B. Matematikai logika a típuselmélet alapján // American Journal of Mathematics . - 1908. - Kt. 30, sz. 3. - P. 222-262.
↑ Kondakov N. I., 1975 , p. 150.
↑ 1 2 3 4 A halmazelmélet és -logikai szimbólumok legkorábbi felhasználásai . Hozzáférés időpontja: 2015. december 17. Az eredetiből archiválva : 2015. április 10. (határozatlan)
↑ 1 2 Wegner P. . Programozás Ada nyelven. — M .: Mir , 1983. — 240 p. - S. 68.
↑ 1 2 Ellis M. , Stroustrup B. . Útmutató a C++ programozási nyelvhez megjegyzésekkel. — M .: Mir , 1992. — 445 p. — ISBN 5-03-002868-4 . - S. 65, 86-87.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 291.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 299, 301.
↑ Sheffer H. M. Öt független posztulátum készlete Boole-algebrákhoz, logikai konstansokra való alkalmazással // Transactions of the American Mathematical Society . - 1913. - 1. évf. 14. - P. 481-488.
↑ Kondakov N. I., 1975 , p. 43, 672-673.
↑ Styazhkin N.I., 1967 , p. 443-444.
↑ Kondakov N. I., 1975 , p. 42, 571.
↑ Styazhkin N.I., 1967 , p. 357, 429-430, 438.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 72.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 293-314.
↑ Kondakov N. I., 1975 , p. 102.
↑ Church A. Posztulátumok halmaza a logika megalapozásához // Annals of Mathematics. Sorozat 2. - 1932. - 2. évf. 33. sz. 2. - P. 346-366.
↑ Seldin J. P. . Church és Curry logikája // Logika Russelltől egyházig / Szerk. írta: DM Gabbay & J. Woods. - Amszterdam: Észak-Hollandia , 2009. - xii + 1055 p. - (Logikatörténeti kézikönyv. 5. köt.). — ISBN 978-0-444-51620-6 . - P. 819-874.
↑ Marciszewski W., Murawski R. . Az érvelés gépesítése történelmi perspektívában . - Amszterdam: Rodopi, 1995. - 267 p. – (Poznańi Tudomány- és Bölcsészettudományi Tanulmányok, 43. köt.). — ISBN 90-5183-790-9 . - P. 162-163.
↑ Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , p. 294.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 104-106.
↑ 1 2 Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 421. §.
↑ Weil A. . A matematikus gyakornoksága . - Bázel: Birkhäuser Verlag, 1992. - 197 p. — ISBN 3-7643-2650-6 . — 114. o.
↑ Hausdorf F. Halmazelmélet. - M. - L. : GITTL, 1937. - S. 10. - 305 p.
↑ Maclane S. . Kategóriák a dolgozó matematikus számára . - NY: Springer-Verlag , 1971. - ix + 261 p. - (Matematika érettségi szövegek. 5. köt.). - ISBN 978-0-387-90036-0 . — 29. o.
↑ A számelmélet szimbólumainak legkorábbi használata . Letöltve: 2021. április 3. Az eredetiből archiválva : 2021. április 16.. (határozatlan)
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 148.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 74-75.
↑ Donald Knuth . A programozás művészete, I. kötet. Alapvető algoritmusok. - M .: Mir , 1976. - S. 85. - 736 p.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 56-57.
↑ Bolsakov V.P., Tozik V.T., Chagina A.V. Mérnöki és számítógépes grafika . - Szentpétervár. : BHV-Pétervár, 2013. - 288 p. - ISBN 978-5-9775-0422-5 . - S. 90.
↑ Brich Z. S., Voyush V. I., Degtyareva G. S., Kovalevich E. V. . Programozás Assembler nyelven ES Computer. — M .: Statisztika, 1976. — 296 p. - S. 13-14, 19.
↑ Kulakovskaya V.P., Romanovskaya L.M., Savchenko T.A., Feldman L.S. Kobol számítógép Minsk-32. Támogatás a számítástechnikai központok alkalmazottai számára. - M . : Statisztika, 1973. - 284 p.
↑ Bryabrin V. M. . Szoftverek személyi számítógépekhez. 3. kiadás — M .: Nauka , 1990. — 272 p. — ISBN 5-02-014824-5 . - S. 17, 113-114.
↑ Szmirnov N. N. . Szoftverek személyi számítógépekhez. - L .: Mashinostroenie, 1990. - 272 p. — ISBN 5-217-00029-5 . - S. 13, 80-81.

Irodalom

Alexandrova N. V. . Matematikai szakkifejezések, fogalmak, megnevezések története: Szótár-kézikönyv. - 3. kiadás - Szentpétervár. : LKI, 2008. - 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
- 2015-ös újrakiadás: URSS, ISBN 978-5-382-01578-1 .
Bashmakova I. G. . Az algebra kialakulása (matematikai eszmetörténetből). - M . : Tudás, 1979. - 64 p. - (Matematika, Kibernetika, 9. sz. (1979)).
Vileitner G. A matematika története Descartes-tól a 19. század közepéig . - M. : GIFML, 1960. - 468 p. - S. 13-17.
Glazer G. I. . A matematika története az iskolában. IV - VI osztályok. - M . : Oktatás , 1981. - 239 p.
Glazer G. I. . A matematika története az iskolában. VII - VIII osztály. - M . : Oktatás , 1982. - 240 p.
Glazer G. I. . A matematika története az iskolában. IX-X osztályok. - M . : Oktatás , 1983. - 351 p.
Depman I. Ya. A számtan története. Útmutató tanároknak. 2. kiadás . - M . : Nevelés , 1965. - 416 p. - S. 208-212.
Matematikai jelek // Nagy Szovjet Enciklopédia . - Szerk. 3. - T. 9.
Matematikai jelek // Mathematical Encyclopedia. Vol. 2 / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet enciklopédia , 1979. - 1104 stb. - Stb. 457-463.
Matematikai jelek // Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára / Összeáll. A. P. Savin. - M . : Pedagógia , 1985. - 352 p. - S. 114-116.
A matematika története A. P. Juskevics szerkesztésében három kötetben:
- A matematika története. T. I. Az ókortól az újkor kezdetéig / Szerk.: A. P. Juskevics. — M .: Nauka , 1970. — 352 p.
- A matematika története. T. II. A 17. század matematikája / Szerk.: A. P. Juskevics. — M .: Nauka , 1970. — 301 p.
- A matematika története. T. III. A 18. század matematikája / Szerk.: A. P. Juskevics. — M .: Nauka , 1972. — 496 p.
Kondakov N.I. Logikai szótár-referenciakönyv. 2. kiadás . — M .: Nauka , 1975. — 720 p.
Cajorie F. Az elemi matematika története. 2. kiadás / Per. angolról. szerk. I. Yu. Timcsenko. - Odessza: Mathesis, 1910. - x + 368 p.
Styazhkin N. I. . A matematikai logika kialakulása. — M .: Nauka , 1967. — 508 p.
Tikhomirov V. M. . Közelítéselmélet // A matematika modern problémái. alapvető irányok. T. 14. - M. : VINITI AN SSSR , 1987. - 272 p. - S. 103-260.
Olvasó a matematika történetéről. Aritmetika és algebra. Számelmélet. Geometria / Szerk. A. P. Juskevics. - M . : Nevelés , 1976. - 318 p.
Olvasó a matematika történetéről. Matematikai elemzés. Valószínűségelmélet / Szerk. A. P. Juskevics. - M . : Oktatás , 1977. - 224 p.
Zeiten G. G. . A matematika története a 16. és 17. században. - M. - L. : ONTI, 1938. - 456 p.
Ben-Menahem A. Természettudományi és Matematikai Tudományok Történelmi Enciklopédia. Vol. 1 . - Berlin: Springer-Verlag , 2007. - cxxix + 5985 p. - ISBN 978-3-540-68831-0 .
Cajori F. . A matematikai jelölések története. Vol. 1 (1929-es utánnyomás) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7 .
Cajori F. . A matematikai jelölések története. Vol. 2 (1929-es utánnyomás) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xii + 392 p. - ISBN 978-1-60206-713-4 .
Mazur J. . Felvilágosító szimbólumok: A matematikai jelölés rövid története és rejtett ereje. - Princeton: Princeton University Press, 2014. - 312 p. — ISBN 978-0-69115-463-3 .

Linkek

Matematikai jelek . Letöltve: 2015. december 30. (határozatlan)
Cižmár, jan. A matematikai jelölés eredete és fejlődése (A történelmi vázlat) (angol) . Letöltve: 2016. február 4.
A különféle matematikai szimbólumok legkorábbi felhasználásai . Letöltve: 2015. december 17.
Michon, Gerard P. Tudományos szimbólumok és ikonok . Letöltve: 2015. december 17.
Weaver D., Smith AD The History of Mathematical Symbols (angol) . Hozzáférés dátuma: 2016. január 23. Az eredetiből archiválva : 2001. február 20.

A matematika története
Országok és korszakok	történelem előtti időszak Az ókori Egyiptom Babilon Ősi Kína Ókori Görögország India Örményország Inka Birodalom Iszlám országok Oroszország
Tematikus szakaszok	Algebra Analitikus geometria Számtan Variációszámítás Geometria Differenciálgeometria és topológia Kombinatorika Kriptográfia Lineáris algebra Logaritmusok Matematikai elemzés Nem euklideszi geometria Valószínűségi elmélet halmazelmélet Topológia Trigonometria funkcionális elemzés
Lásd még	elenyésző Valós számok Irracionális számok Komplex számok Matematikai jelölés Folytatva törtek Negatív számok Funkciók

Matematikai jelek

Plusz ( + )
Mínusz ( - )
Szorzójel ( · vagy × )
Osztályjel ( : vagy / )
Obelus ( ÷ )
Gyökér jel ( √ )
Faktoriális ( ! )
Integrált jel ( ∫ )
Nabla ( ∇ )
egyenlőségjel ( = , ≈ , ≡ stb. )
Egyenlőtlenség jelei ( ≠ , > , < stb. )
Arányosság ( ∝ )
zárójelek ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Függőleges sáv ( | )
Perjel, perjel ( / )
fordított perjel, fordított perjel ( \ )
Végtelen jel ( ∞ )
Fokozatjel ( ° )
Stroke ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Csillag ( * )
Százalék ( % )
Ppm ( ‰ )
Tilde ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflex ( ˆ )
Plusz-mínusz ( ± )
Mínusz-plusz jel ( ∓ )
Tizedes elválasztó ( , vagy . )
bizonyítási karakter vége ( ∎ )