Weierstrass elliptikus függvények

A Weierstrass elliptikus függvények az egyik legegyszerűbb elliptikus függvények . Ez a függvényosztály (az elliptikus görbétől függően) Karl Weierstrassról kapta a nevét . Weierstrass -függvényeknek is nevezik , és egy szimbólumot (stilizált P ) használnak jelölésükre. $\wp$ $\wp$

Definíció

Legyen adott egy elliptikus görbe , ahol egy rács -ben . Ekkor a rajta lévő Weierstrass -függvény a sorozat összegeként definiált meromorf függvény $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ $\Gamma$ $\mathbb {C}$ $\wp$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}\left({\frac {1}{(zw)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\jobbra).

Látható, hogy az így definiált függvény -periodikus -on lesz , és ezért meromorf függvény -on . $\Gamma$ $\mathbb {C}$ $E$

A Weierstrass-függvényt meghatározó sorozat bizonyos értelemben a divergens sorozat „reguláris változata” – egy „naiv” kísérlet egy -periodikus függvény meghatározására. Ez utóbbi abszolút divergál (és természetes rend hiányában csak abszolút konvergenciáról van értelme beszélni) minden z-re, mivel fix z-re és nagy w-re a tagok modulusai így viselkednek , és az összeg egy kétdimenziós rács eltér. $\sum _{{w\in \Gamma }}{\frac {1}{(zw)^{2}}}$ $\Gamma$ $\Gamma$ ${\frac {1}{|w|^{2}}}$ $\sum _{{w\in \Gamma }}{\frac {1}{|w|^{2}}}$ $\Gamma$

A meghatározás változatai

A rácsot alapul véve, írhatunk $\Gamma$ $\Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in {\mathbb {Z}}\}$

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2))}+\sum _{{(m,n)\in {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\left({\frac {1}{(zm\omega _{1}-n\omega _{2})^{ 2))}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\jobbra).

Továbbá, mivel a Weierstrass-függvény három változó függvényében homogén , jelölve , egyenlőségünk van $\wp (az;a\omega _{1},a\omega _{2})=a^{{-2}}\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$ $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{{-2}}\wp (z/\omega _{1};1,\tau ) .

Ezért fontolja meg

\wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{(m,n)\in {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\left({\frac {1}{(zmn\tau )^{2}}}-{\frac {1}{ (m+n\tau )^{2}}}\jobbra).

Tulajdonságok

A Weierstrass-függvény egy páros meromorf függvény az E elliptikus görbén, egyetlen másodrendű pólussal 0-nál. $\wp _{E}:E\mapsto \widehat {{\mathbb {C}}}$
A 2. fokú meromorf leképezésként a Riemann-gömb kétlapos elágazó borítását határozza meg az E tórusz által. Ennek a borításnak négy elágazási pontja van : a végtelen és három kritikus érték . Ez a négy érték az E görbe automorfizmusa által helyben hagyott négy pont képe - a 0 pont és a három félperiódus . Így a Weierstrass-függvény egy izomorfizmust valósít meg (pontosabban: egy izomorfizmusra ereszkedik le) a topológiai szféra (amely egy összetett szerkezetet örököl E-vel) és a Riemann-szféra között . $e_{1},e_{2},e_{3}$ $z\mapsto -z$ $\omega _{1}/2,\omega _{2}/2,(\omega _{1}+\omega _{2})/2$ $E/(z\mapsto -z)$ $\widehat {{\mathbb {C}}}$
A kiterjesztést és az összegzést felhasználva a Weierstrass függvény pontjában a kiterjesztést Laurent sorozatba kaphatjuk : ${\frac {1}{(wz)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\sum \nolimits _{{j=1}}^{{\infty } }{\frac {j+1}{w^{{j+2))))z^{j}$ $w\in \Gamma \setminus \{0\}$ $z=0$

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{k=2}}^{{\infty }}(2k+1)G_{{ 2k}}(\Gamma )z^{{2k-2}},$ hol vannak a rács Eisenstein -sorai (a megfelelő páratlan összegek egyenlők nullával). $G_{{2k}}(\Gamma )=\sum _{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}w^{{-2k}}$ $\Gamma$

A és az együtthatók azonban gyakran egy másik, hagyományos normalizálással vannak felírva, amely egy elliptikus görbe beágyazásához kapcsolódik (lásd alább) : $z^{2}$ $z^{4}$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{ \frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\pontok,

hol és vannak a rács moduláris invariánsai : $g_{2}$ $g_{3}$ $\Gamma$

g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).

Elliptikus görbék beágyazása a ${\mathbb {C}}P^{2}$

A Weierstrass-függvények lehetővé teszik egy elliptikus görbe beágyazását a -ba a képet meghatározó egyenlet bemutatásával. Ez megfeleltetést teremt az elliptikus görbe "algebrai" és "topológiai" nézetei között – lehetővé téve az elliptikus görbe beágyazását és explicit kiírását a képet meghatározó egyenletbe. ${\mathbb {C}}P^{2}$ $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

Nevezetesen tekintsük a ponton kívül megadott leképezést mint Mivel a függvény meromorf, ez a leképezés kiterjed egy holomorf leképezésre től -ig . $F:E\to {\mathbb {C}}P^{2}$ $z=0$ $F(z)=(\wp (z),\wp '(z))\in {\mathbb {C}}^{2}.$ $\wp$ $E$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

Ennek a leképezésnek a képe kifejezetten megadható. Ugyanis mind a függvény, mind a függvény egyetlen pólusa a pont . Sőt, mivel páros függvény, páratlan, és ennek megfelelően páros. A függvénynek van egy másodrendű pólusa nullán - így a pólusok eltávolíthatók a hatványok lineáris kombinációjának kivonásával . Az együtthatók explicit kiválasztása a bővítésekből $\wp (z)$ $\wp '(z)$ $z=0$ $\wp (z)$ $\wp '(z)$ $(\wp '(z))^{2}$ $\wp (z)$ $(\wp')^{2}$ $\wp$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{ \frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\pontok,

(\wp '_{E}(z))^{2}=\left(-{\frac {2}{z^{3}}}+{\frac {1}{10}}g_{2} (\Gamma )z+{\frac {1}{7}}g_{3}(\Gamma )z^{3}+\pontok \jobbra)^{2}={\frac {4}{z^{6 ))}-{\frac {2}{5}}g_{2}(\Gamma ){\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {4}{7}}g_{3 }(\Gamma )+\pontok ,

látjuk a különbséget

\varphi (z)=(\wp _{E}'(z))^{2}-4\wp _{E}^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)

pontban nem egyes szám. De kívülről is holomorf (mert és holomorf ), tehát a teljes kompakt Riemann felületen holomorf függvény . A maximum elv alapján ez egy állandó. Végül ugyanabból a nullánál lévő bővítésből megtudjuk az értékét - kiderül, hogy egyenlő . Végül a függvény az azonos nullára fordul . Így a leképezés képe az egyenlet által adott elliptikus görbe $z=0$ $\varphi (z)$ $z=0$ $\wp$ $\wp'$ $\varphi (z)$ $E$ $\varphi (z)$ $-g_{3}(E)$ $(\wp '(z))^{2}-4\wp ^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)+g_{3}(E)$ $E$ $F$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

y^{2}=4x^{3}-g_{2}(E)x-g_{3}(E).

Szigorúan véve a „történelmi” 60 és 140 együtthatók, amelyek összekapcsolják a moduláris invariánsokat és a megfelelő inverz hatványösszegekkel és , pontosan ezzel kapcsolódnak : a normalizálás ilyen hagyományos megválasztása miatt a görbe egyenletében és pontosan az és együtthatója a szabad tag. $g_{2}$ $g_{3}$ $G_{2}(E)$ $G_{3}(E)$ $g_{2}$ $g_{3}$ $x$

Holomorf formák, periódusrácsok és inverz leképezés

Egy elliptikus görbe esetén az azt meghatározó rács nincs egyértelműen definiálva: arányosságig van definiálva. A rács azonban egy az egyhez felel meg a párnak , ahol egy nem nulla holomorf 1-forma van : felvehetjük a projekciót a -n lévő formákra , majd visszaállítjuk az összes lehetséges integrál halmazaként a hurkon keresztül. a tórusz : $E$ $\Gamma$ $(E,\omega)$ $\omega$ $E$ $\omega$ $E$ $dz$ $\mathbb {C}$ $\Gamma$ $\omega$ $E$

\Gamma =\left\{\int _{{\gamma }}\omega \mid \gamma \in H_{1}(E)\right\}

Az elliptikus görbén holomorf forma található , amely a leképezés képe . Könnyen belátható, hogy ez pontosan az űrlap képe jelenik meg . Ez lehetővé teszi számunkra, hogy egyszerre több következtetésre jussunk: $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$ $F=(\wp _{E},\wp '_{E})$ $\omega ={\frac {dx}{y}}$ $dz$ $E$ $F$

Az inverz leképezést a leképezéshez a következő űrlap integráljaként kell keresni : $F$ $\omega$

z(x,y)=\int _{{\infty }}^{{(x,y))){\frac {dx}{y}},

ahol az integrációt egy elliptikus görbén fekvő pálya mentén hajtjuk végre . A görbén a végtelenben lévő pontot választjuk az integrációs út kezdetének, mivel ez a pont F-képe , és az útvonal kiválasztásának egy másikra történő megváltoztatása az eredmény változásához vezet az eredmény egy elemére. időszaki rács . $F(E)$ $F(E)$ $z=0$ $\Gamma$

Az inverz leképezést a Weierstrass-függvényhez a

\wp _{E}^{{-1}}(x)=\int _({\infty }}^{x}{\frac {dx}{\pm {\sqrt {4x^{3}+g_ {2}(E)x+g_{3}(E)}}}}.

(az előjel megválasztása megfelel az elliptikus görbén lévő két előkép egyikének kiválasztásának, és az integrációs út változása a számított előkép elem általi eltolásához vezet ). $\Gamma$

A rácsot formaintegrálok halmazaként rekonstruáljuk egy elliptikus görbén az összes lehetséges zárt pályán . $\Gamma$ ${\frac {dx}{y))$ $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$

Pontok hozzáadása egy elliptikus görbéhez

Az elliptikus görbe összeadással Abel-csoport (pontosabban azzá tehető) . Az "algebrai" ábrázolásnál ez egyszerűen pontösszeadás . A "geometrikus" - görbébe ágyazott - esetében ezt az összeadást úgy adjuk meg, hogy egy végtelenül távoli pontot választunk nullának, és az "egy egyenesen fekvő három pont nullát ad össze". $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ $\mathbb {C}$ ${\mathbb {C}}P^{2}$ $y^{2}=4x^{3}+px+q$

Természetes, hogy a Weierstrass-függvényből szerkesztett leképezés az algebrailag adott összeadást geometriailag adottvá alakítja, ami így is van. Ez (mivel három pont kollinearitása a determináns nullára forgatásával adható meg) a következő összefüggésnek felel meg: $F=(\wp(z),\wp '(z))$

\det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w) &1\end{bmatrix}}=0

bármely . Ezenkívül a páros és páratlan paritást tekintve így is írható $u+v+w=0$ $\wp$ $\wp'$

\det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\\\wp (z+w)&-\wp ' (z+w)&1\end{bmátrix}}=0

Alkalmazások a holomorf dinamikában

A Weierstrass-függvény segítségével megszerkesztjük a Latte példáját – a Riemann-szféra önmagába való racionális leképezésének példáját , amelynek Fatou-halmaza üres (és ezért dinamikája mindenhol kaotikus). Nevezetesen a -t véve figyelembe vehetjük a duplázó térképet a tóruszon : $\wp$ $\Gamma ={\mathbb {Z}}[i]=\{a+bi\mid a,b\in {\mathbb {Z}}\}$ $D$ $E={\mathbb {C}}/\Gamma$

D(z)=2z\,\mod {\mathbb {Z}}[i].

Ez a leképezés mindenhol kaotikus – egy tetszőlegesen kis környék lefedi az egész tóruszot véges számú iteráció után.

Másrészt a leképezés helyesen ereszkedik le a faktorra . Ezért a leképezés általi D leképezés félig csatlakozik valamilyen racionális leképezéshez : $D$ $S^{2}=E/(z\sim -z)$ $\wp$ $R:{\mathbb {C}}P^{1}\ to {\mathbb {C}}P^{1}$

\wp \circ D=R\circ \wp .

Más szavakkal,

R(z)=\wp (2\wp ^{{-1}}(z)).

Egy ilyen leképezéshez a kis városrészek képei véges számú iteráció után a teljes Riemann-szférát is lefedik. Ezért a Julia és a Fatou halmaz üres. $R$ $J(R)={\mathbb {C}}P^{1}$

Végül könnyen belátható, hogy a leképezés foka négy (mivel a tórusz leképezése 4-es fokozatú), és ennek együtthatói explicit módon megkereshetők, ha a Taylor-sorból kellő számú együtthatót számítunk ki nullánál. a Laurent sorozat (és ennek megfelelően a számára ). $R$ $z\mapsto 2z$ $R$ $R$ $\wp$ $\wp ^{{-1}}$

Jegyzetek

Linkek

Weisstein, Eric W. Weierstrass elliptikus függvény (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .

Irodalom

J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of , Topology 18 (1979), no. 2. o. 143-146. $\mathbb {R} ^{2}$
Lavrentiev M. A., Shabat B. V., Egy komplex változó függvényelméletének módszerei.
A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2