Integrál logaritmus

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. április 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az integrál logaritmus az integrál által meghatározott speciális függvény

{\mathrm {li}}\,(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.

A szingularitás kiküszöbölésére néha az eltolt integrál logaritmust használják : $x=1$

{\mathrm {Li}}\,(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.

Ez a két funkció összefügg:

{\mathrm {li}}\,(x)-{\mathrm {Li}}\,(x)={\mathrm {li}}\,(2)\kb. 1{,}045~163~780~ 117~492\lpont

Az integrál logaritmust Leonhard Euler vezette be 1768-ban.

Az integrál logaritmust és az integrál exponenciális függvényt a következő összefüggés kapcsolja össze:

{\mathrm {li}}\,(x)={\mathrm {Ei}}\,(\ln x).

Az integrál logaritmusnak egyetlen pozitív nullája van egy pontban ( a Ramanujan-Soldner szám ). $\mu \körülbelül 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\lpont$

A sorozat bővítése

A sorozatot összekötő és követő identitásból: ${\mathrm {li}}\,(x)$ ${\mathrm {Ei}}(\ln x)$

{\mathrm {li}}\,(x)={\mathrm {Ei}}\,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},

hol van az Euler-Mascheroni állandó . $\gamma \kb. 0{,}577~215~664~901~532\lpont$

A Srinivasa Ramanujan által levezetett sorozat gyorsabban konvergál :

{\mathrm {li}}\,(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1 )^{{n-1}}(\ln x)^{n}}{2^{{n-1}}n!}}\sum _{{k=0}}^{{\lfloor (n -1)/2\rfloor }}{\frac {1}{2k+1}}.

Prímszámok integrál logaritmusa és eloszlása

Az integrál logaritmus fontos szerepet játszik a prímek eloszlásának vizsgálatában . Ez egy adott számnál kisebb vagy azzal egyenlő prímszám jobb közelítése . Ha a Riemann-hipotézis igaz, [ 1] $x/\ln {x}$

\pi (x)=\mathrm {Li} \,(x)+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}(x)).

A nem túl nagyok esetében azonban bebizonyosodott, hogy néhány kellően nagy esetében az egyenlőtlenség előjelet vált. Ezt a számot Skewes-számnak nevezik , amely jelenleg valahol 10 19 [2] és 1,3971672 10 316 ≈ e 727,951336108 [3] között van . $x$ $\pi (x)<{\mathrm {Li}}\,(x)$ $x$

Jegyzetek

↑ Modern. prob. Mat., 2008, 11. szám - p. 30-31
↑ Jan Buthe. Analitikus módszer ψ ( x ) határolására // Math. Összeg. - 2018. - Kt. 87. - P. 1991-2009. - arXiv : 1511.02032 . doi : 10.1090 / mcom/3264 . A bizonyítás a Riemann-hipotézist használja.
↑ Yannick Sauter, Timothy Trudgian és Patrick Demichel. Egy még élesebb tartomány, ahol π ( x ) − li( x ) pozitív // Math. Összeg. - 2015. - Kt. 84. - P. 2433-2446. - doi : 10.1090/S0025-5718-2015-02930-5 . MR : 3356033_ _ Ez a becslés nem igényli a Riemann-hipotézist.

Irodalom

Matematikai enciklopédikus szótár. - M. , 1995. - p. 238.