Principia Mathematica

Principia Mathematica
angol  Principia Mathematica
Szerző Bertrand Russell és Whitehead, Alfred North
Eredeti nyelv angol
Az eredeti megjelent 1910 (I. kötet), 1912 (II. kötet), 1913 (III. kötet)
Kiadó Cambridge University Press
 Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

A Principia Mathematica Alfred North Whitehead és Bertrand Russell 1910-ben, 1912-ben és 1913 háromkötetes munkája a matematika logikájáról és filozófiájáról . A monográfia angol nyelven íródott, de a címe latin. A címet oroszra fordították: "Matematika alapelvei", "Matematika alapelvei" és "Matematika alapjai".

Arisztotelész Organonja ( görögül : Ὄργανον ) és Gottlob Frege Az aritmetika alaptörvényei ( németül: Grundgesetze der Arithmetik ) mellett a történelem egyik legnagyobb hatású logikai munkája [1] . A Principia Mathematica kötete összesen mintegy 2000 oldal [2] .  

Russell és Whitehead munkájukban arra törekedtek, hogy bemutassák, hogy az egész matematika visszavezethető a logikára egy sor axióma és néhány alapfogalom segítségével, vagyis a logikát igazolták . Ehhez bevezették a típuselméletet , amelyen belül lehetetlen volt megfogalmazni a "minden halmaz halmaza" fogalmát, ami Russell paradoxonjához vezetett . Ezenkívül két axiómát vezettek be: a végtelen axiómáját (végtelen sok objektum van) és a redukálhatósági axiómát (minden halmazhoz van egy egyenlő térfogatú elsőrendű halmaz) [3] .

Történelem

A Principia Mathematica központi gondolatát a matematika logikára (logicizmusra) való redukálhatóságáról Leibniz implicit módon fogalmazta meg a 17. században, később Frege kifejezetten kifejezte , aki kidolgozta a logika technikai igazolásához szükséges logikai-matematikai apparátust. [1] .

1898-ban Whitehead kiadta logicizmusról szóló munkáját, A Traktátus az egyetemes algebráról , Russell pedig 1903-ban írta meg a The Principles of Mathematics című művét . Mivel mindkét matematikus hasonló következtetésekre jutott, és munkájuk témái átfedték egymást, hamarosan elkezdtek együttműködni egy közös munkán, melynek neve Principia Mathematica . A névválasztásnak kevésbé volt köze Newton Philosophiæ Naturalis Principia Mathematicájához , hanem Moore Principia Ethicájához [4] [5] .

A munka filozófiai részéért Russell felelt , a technikai szempontokat pedig közösen írták meg. Ahogy Russell írta:

A matematikai problémák tekintetében Whitehead kidolgozta a jelölések nagy részét, kivéve azt, amivel Peano már rendelkezett ; Én a sorokkal dolgoztam, Whitehead pedig szinte minden mást. De ez csak az első vázlatokra vonatkozik. Minden rész 3-szor lett átdolgozva. Egyikünk elkészítette a szöveg első vázlatát, és elküldte a másodiknak, aki általában lényegesen módosította és visszaküldte. Ezután az eredeti tervezet szerzője a szöveget végleges formába hozta. Mindhárom kötetben alig van egyetlen olyan sor, amely ne közös erőfeszítés eredménye.

Eredeti szöveg  (angol)[ showelrejt] Ami a matematikai problémákat illeti, Whitehead találta fel a jelölések nagy részét, kivéve, ha azt Peanotól vették át; A sorozatokkal kapcsolatos munka nagy részét én végeztem, a többit pedig Whitehead. De ez csak az első vázlatokra vonatkozik. Minden rész háromszor készült. Amikor egyikünk elkészítette az első tervezetet, elküldte a másiknak, aki általában jelentősen módosította. Ezután az, aki az első vázlatot készítette, végleges formába önti. Mind a három kötetben alig van olyan sor, amely nem közös termék. - Bertrand Russell. Filozófiai fejlődésem . - London: Allen és Unwin, 1959. -  74. o . — 279 p. — ISBN 0041920155 .

A matematikusok azt tervezték, hogy egy éven belül befejezik a munkát, de közel tíz év elteltével a munka még nem készült el. Ezenkívül a Cambridge University Press úgy döntött, hogy ennek a műnek a kiadása 600 font veszteséget okoz, amelyből 300 fontot a kiadó kész volt átvállalni, 200-at a Royal Society of London adományozott , és fejenként 50-et fizetett Russellnek és Whiteheadnek. személyes pénzből. Jelenleg nincs egyetlen akadémiai könyvtár sem, amelynek ne lenne Principia Mathematica kiadása [1] .

Tartalom

A Principia Mathematica 3 kötetből áll, amelyek 6 részre oszlanak.

Az I. kötet 1910-ben jelent meg, és alapvető axiómákat és magasabb rendű axiómák levezetésének szabályait, elemi műveleteket halmazokkal és bináris relációkkal , valamint az egy és a kettő számkénti meghatározását tartalmazza. Az I. kötet a Zermelo-tétellel , a választási axiómával és a Cantor-Bernstein-tétellel foglalkozott .

A II. kötet 1912-ben jelent meg. Bíboros számokkal és a rajtuk végzett számtani műveletekkel, véges számokkal, bináris relációs aritmetikával, lineárisan rendezett halmazokkal , rendezett Dedekind halmazokkal , határpontokkal és folytonos függvényekkel foglalkozott .

A III. kötet 1913-ban jelent meg. Jól rendezett halmazokat , teljesen rendezett halmazokat, egész számok halmazait, racionális, valós számokat és ezek mérését vette figyelembe. Szóba került a választási axióma és a jól rendezés elvének egyenértékűségének kérdése is.

A IV. kötet megjelenését tervezték, de meg sem írták. Állítólag a geometriának szentelték volna [1] [6] .

Kritika és befolyás

A Principia Mathematica című könyv két szempontból is nagy eredmény: jelentősen előremozdította a matematikai logika fejlődését, és megmutatta, hogyan lehet megszabadulni a halmazelmélet összes ismert paradoxonától . Szerzői azonban többet állítottak - a matematikai ismeretek lényegének tisztázására. Ebben a tekintetben álláspontjuk kevés támogatást kapott. A logika támogatói közé tartozik Alonzo Church és Willard Van Orman Quine , az ellenzők táborában olyan kiemelkedő matematikusok találhatók, mint A. Poincaré , D. Hilbert , G. Weyl és még sokan mások.

A kritikusok támadták mind a logicizmus ideológiáját, mind pedig annak konkrét megtestesülését a könyvben. Rámutattak, hogy a Russell-Whitehead konstrukció konzisztenciája nem bizonyított, és nincs garancia arra, hogy nem jelennek meg új paradoxonok. A szerzők által javasolt két új axióma, a végtelenség axiómája és a redukálhatóság axiómája különös elutasítást váltott ki. Sok matematikus azzal érvelt, hogy ezek az axiómák nem tisztán logikaiak [7] . Így a kritikusok szerint a végtelenség axiómája empirikus , de nem logikai. A redukálhatóság axiómája pedig híján van az intuitív bizonyítékoknak, és ad hoc módon vezették be , hogy megkerüljék a típuselmélet kellemetlen hatásait. Így a logicizmus tudományos értékének kérdése nyitva maradt [1] .

Amikor K. Gödel csatlakozott a Principia Mathematica formális rendszerei konzisztenciájának bizonyítására irányuló munkához , fordulópont következett. 1931-ben Gödel bebizonyította, hogy a formális aritmetika konzisztenciáját nem lehet saját eszközeivel igazolni, konzisztenciájának feltételezése pedig azt jelenti, hogy lehetetlen bizonyítani minden elsőrendű axiómát a természetes számokról (lásd Gödel hiányossági tételét ). A tudományos közösség ezt a Gödel-tételt a logika és a formalizmus teljes körű megvalósításának lehetetlenségeként fogta fel . Gödelnek a Principia Mathematica formális rendszereivel kapcsolatos munkájának eredményei nemcsak a logikát, a matematikát és a filozófiát érintették, hanem az emberi tudás olyan területein rejlő kérdéseket is, mint az ismeretelmélet , a pszichológia és a mesterséges intelligencia rendszerek módszertana [3] .

A kritikák ellenére a Principia Mathematica továbbra is a világ egyik legbefolyásosabb logikai alkotása. Ennek a munkának köszönhetően egy új matematikai logika sokkal nagyobb népszerűségre tett szert. Russell és Whitehead egyik érdeme itt az, hogy sikerült, mint korábban senki másnak, demonstrálniuk az állítási logika erejét. Megmutatták azt is, milyen gazdag és sokoldalú lehet a formális rendszerek gondolata, és ezzel egy új kutatási irányt nyitottak meg - a metalológiát . A Principia Mathematica nagy hatással volt a logika további fejlődésére, és számos metalológiai tanulmány kezdetét jelentette . Így 1920-ban E. Post bebizonyította a propozíciós logika deduktív és funkcionális teljességét , 1930-ban pedig K. Gödel az predikátumlogika deduktív teljességét [3] . A könyv koncepciói olyan logikusok és matematikusok munkáját is befolyásolták, mint A. Turing és A. Church [1] .

Ráadásul Russell és Whitehead egyértelmű kapcsolatot mutatott ki a logika és a filozófia két fő ága: a metafizika és az ismeretelmélet között . A Principia Mathematica mindkét irányban ösztönözte a kutatást, és továbbra is befolyásolja a matematikát és a logikát [2] .

Bár Russell és Whitehead logikáját a mai napig próbálják újraéleszteni, sok szerző úgy véli, hogy a Principia Mathematica formális rendszerei túl gyengék vagy zavarosak ahhoz, hogy valóban igazolják a logika lehetőségét [1] .

Fordítások más nyelvekre

A könyv első kötetének orosz nyelvű fordítása 2004-ben, a második kötet - 2005-ben, a harmadik kötet - 2006-ban jelent meg. A fordítás G. P. Yarovoy és Yu. N. Radaev [2] szerkesztésében készült .

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Irvine, AD Principia Mathematica  // The Stanford Encyclopedia of Philosophy. – 2010.
  2. ↑ 1 2 3 Samara Állami Egyetem (elérhetetlen link) . Hozzáférés dátuma: 2013. augusztus 7. Az eredetiből archiválva : 2007. január 26. 
  3. ↑ 1 2 3 A. S. Karpenko. A matematika alapelvei // Ismeretelméleti és Tudományfilozófiai Enciklopédia. - M . : "Kanon +", ROOI "Rehabilitáció". I. T. Kasavin, 2009.
  4. ↑ Nicholas Griffin. Bertrand Russell cambridge-i társa . - Cambridge University Press, 2003. - P. 66. - 550 p. — ISBN 0521636345 .
  5. ↑ I. Grattan-Guinness. The Search for Mathematical Roots, 1870–1940: Logikák, halmazelméletek és a matematika alapjai Cantortól Russellon át Godelig . — Princeton University Press. - 2011. - P. 380. - 624 p. — ISBN 1400824044 .
  6. ↑ Stanley Burris. Principia Mathematica: Whitehead és  Russell . – 1997.
  7. ↑ Kline M., 1984 , p. 260-267.

Irodalom

Orosz nyelvű kiadás

Linkek

  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák
Bibliográfiai katalógusokban