Természetes szám

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. szeptember 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Természetes számok (a lat. naturalis "természetes" szóból) - olyan számok , amelyek a számolás során természetesen keletkeznek (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 és így tovább [1] ). Az összes természetes szám növekvő sorrendbe rendezett sorozatát természetes sorozatnak nevezzük [2] .

A természetes számok halmaza végtelen, mivel bármely természetes számhoz létezik nál nagyobb természetes szám . A negatív és nem egész számok nem minősülnek természetes számoknak. $n$ $n$

A természetes számok tulajdonságait és a velük végzett műveleteket az aritmetikai és (mélyebben) számelmélet vizsgálja .

Történelem

Ókori időszak

A természetes számok legprimitívebb ábrázolásának módja az, ha minden egyes objektum megszámlálásakor címkét helyezünk el. Később az objektumok halmazának egyenlősége, többlete vagy hiányossága ellenőrizhető - a jelölés törlésével és az objektum készletből való eltávolításával. Az absztrakció első jelentős előrelépése a számok használata volt a természetes számok jelölésére. Ez lehetővé tette a nagy számok írására alkalmas rendszerek kifejlesztését. Az ókori egyiptomiak kiterjedt számrendszert fejlesztettek ki, világos hieroglifákkal az 1-es, 10-es és minden hatványt 10-től 1 millió felettiig. Egy karnaki kőfaragványon , amely Kr.e. 1500-ból származik. és most a Louvre -ban a 276-os szám 2 százas, 7 tízes és 6 egyesben van ábrázolva; és hasonlóan a 4622-es számhoz [3] .

Sokkal újabb fejlemény volt az a gondolat, hogy a nullát úgy is felfoghatjuk, mint egy saját számjegyű számot. A 0 szám használata helymegjelölésben (más számokban) Kr.e. 700-ra nyúlik vissza. a babilóniaiak, akik kihagytak egy ilyen számjegyet, amikor az [a] szám utolsó karaktere volt . A nullát számként használták a középkori számításokban (a húsvét dátumának számítására), Dionysius Exiguus-tól kezdve i.sz. 525-ben, anélkül, hogy számmal ábrázolták volna (a szabványos római számokban nincs 0 szimbólum). Ehelyett a latot használtuk a nulla érték jelölésére. nulla (vagy genitivus lat. nullae jelentése "nem") [5] . A nulla újkori használata Brahmagupta indiai matematikustól származik i.sz. 628-ban.

A számoknak mint absztrakcióknak az első szisztematikus tanulmányozását általában a görög filozófusoknak, Püthagorasznak és Arkhimédésznek tulajdonítják . Egyes görög matematikusok az 1-es számot a nagy számoktól eltérően kezelték, és néha egyáltalán nem [b] számként . Eukleidész például először egy egység lényegét, majd a számot egységek halmazaként definiálta, így definíciója szerint az egység nem szám, és nincsenek egyedi számok (például bármely két egység az egységek határozatlan halmaza a 2) [7] .

Modern kor

A 19. századi Európában matematikai és filozófiai viták folytak a természetes számok pontos természetéről. Henri Poincaré volt az egyik szószólója egy ilyen koncepciónak, akárcsak Leopold Kronecker , aki így foglalta össze hitét: " Isten teremtette az egész számokat, minden más az ember műve ." Az ilyen fogalmat naturalisztikusnak [c] határozták meg .

A naturalistákkal ellentétben a konstruktivisták szükségét látták a matematika alapjaiban a logikai alap javításának. Az 1860-as években Hermann Grassmann a természetes számok rekurzív meghatározását javasolta, kijelentve, hogy ezek nem teljesen természetesek, hanem a definíciók következményei. Továbbá az ilyen formális definíciók két osztályát alkották meg; később kiderült, hogy a legtöbb gyakorlati alkalmazásban egyenértékűek.

A természetes számok halmazelméleti definícióit Frege kezdeményezte. Kezdetben úgy határozta meg a természetes számot, mint az összes halmaz osztályát, amelyek egy-egy halmaznak megfelelnek. Ez a meghatározás azonban paradoxonokhoz, köztük Russell paradoxonjához vezetett . Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében a formalizmust úgy változtatták meg, hogy egy természetes számot meghatározott halmazként definiálunk, és minden olyan halmazt, amely egy az egyben megfeleltethető ezzel a halmazzal, ilyen számú elemet tartalmaz. [9] .

A definíciók második osztályát Charles Sanders Peirce vezette be , Richard Dedekind finomította, és Giuseppe Peano vizsgálta meg – ezt a megközelítést ma Peano axiómáinak nevezik . A rendes számok tulajdonságainak axiomatizálásán alapul: minden természetes számnak van utódja, és minden nem nulla természetes számnak egyedi elődje. A Peano aritmetika több gyenge halmazelméleti rendszerrel ekvivalens. Az egyik ilyen rendszer a Zermelo-Fraenkel (ZFC) rendszer, amelyben a végtelen axiómáját a tagadása váltja fel. A ZFC -ben bizonyítható, de a Peano-axiómákkal nem igazolható tételek közé tartozik a Paris-Harrington- tétel, a Goodstein-tétel és mások [10] .

A definíciók ezen alapja alapján célszerű természetes számként felvenni a nullát (ami az üres halmaznak felel meg). A nulla szerepeltetése ma már általános a halmazelmélet [11] és a logikai konstrukciók [12] között .

Hely nulla

A természetes számok meghatározásának két megközelítése van:

az objektumok számlálása (számozása) során felmerülő számok : első , második , harmadik , negyedik , ötödik ...;
számok, amelyek a tételek számának megadásakor jelennek meg : 0 tétel , 1 tétel , 2 elem , 3 elem , 4 elem , 5 elem ...

Az első esetben a természetes számok sorozata egytől , a másodikban nullától indul . A legtöbb matematikusnak nincs közös véleménye az első vagy a második megközelítés preferálásáról (vagyis arról, hogy a nullát természetes számnak kell-e tekinteni vagy sem). Az orosz források túlnyomó többségében hagyományosan az első megközelítést alkalmazzák [13] . A második megközelítést például Nicolas Bourbaki írásai alkalmazzák , ahol a természetes számokat véges halmazok kardinalitásaként határozzák meg . A nulla jelenléte megkönnyíti számos tétel megfogalmazását és bizonyítását a természetes számok aritmetikájában, így az első megközelítés bevezeti a nullát tartalmazó kiterjesztett természetes sorozat hasznos fogalmát [13] .

Az összes természetes szám halmazát általában a szimbólummal jelöljük . Az ISO 31-11 (1992) és az ISO 80000-2 (2009) nemzetközi szabványok a következő elnevezéseket határozzák meg [14] : $\mathbb {N}$

$\mathbb {N}$ - természetes számok, beleértve a nullát is: $\{0,1,2,3,4\pontok\}.$
$\mathbb {N^{*}}$ - természetes számok nulla nélkül: $\{1,2,3,4\dots\}.$

Ugyanúgy, mint az ISO-ban, a természetes számok halmazának jelölése az orosz GOST 2011: R 54521-2011 6.1 táblázatában van rögzítve [15] . Ennek ellenére az orosz forrásokban ezt a szabványt még nem tartják be - bennük a szimbólum a természetes számokat jelöli nulla nélkül, és a kiterjesztett természetes sorozatot jelöli stb. [13] $\mathbb {N}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{+},\mathbb {Z} _{\geqslant 0))$

Axiómák, amelyek lehetővé teszik a természetes számok halmazának meghatározását

Peano axiómái természetes számokra

Egy halmazt természetes számok halmazának nevezünk, ha valamilyen 1 (egy) elem, egy definíciós tartományú függvény , amelyet szukcessziós függvénynek ( ) neveznek, rögzített, és a következő feltételek teljesülnek: $\mathbb {N}$ $S$ $\mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N}$

1 elem ebbe a halmazba ( ) tartozik, azaz természetes szám; $1\in\mathbb{N}$
a természetes számot követő szám is természetes szám (ha , akkor vagy rövidebb jelöléssel ); $x\in \mathbb {N}$ $S(x)\in \mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$
az egység nem követ semmilyen természetes számot ( ); $\nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)$
ha egy természetes szám közvetlenül követi mind a természetes számot , mind a természetes számot , akkor és ugyanaz a szám (ha és , akkor ); $a$ $b$ $c$ $b$ $c$ $S(b)=a$ $S(c)=a$ $b=c$
( indukciós axióma ), ha bármely állítás (állítás) igazolt egy természetes számra ( indukciós alap ), és ha abból a feltételezésből, hogy igaz egy másik természetes számra , az következik, hogy igaz a következő természetes számra ( induktív feltevés ) , akkor ez az állítás minden természetes számra igaz (legyen valamilyen unáris (unáris) predikátum , melynek paramétere egy természetes szám . Ekkor, ha és , akkor ). $P$ $n=1$ $n$ $n$ $P(n)$ $n$ $P(1)$ $\forall n\;(P(n)\Jobbra P(S(n)))$ $\forall n\;P(n)$

A fenti axiómák a természetes sorozatok és számegyenesek intuitív megértését tükrözik .

Az alapvető tény az, hogy ezek az axiómák lényegében egyedileg határozzák meg a természetes számokat (a Peano-féle axiómarendszer kategorikus jellegét). Ugyanis bebizonyítható (lásd [16] , valamint egy rövid bizonyíték [17] ), hogy ha és van két modell a Peano-axiómarendszerre, akkor azok szükségszerűen izomorfak , azaz létezik invertálható leképezés ( bijekció ) így és mindenért . $(\mathbb N, 1, S)$ $(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)$ $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ $f(1)={\tilde {1}}$ $f(S(x))={\tilde {S))(f(x))$ $x\in\mathbb N$

Ezért elegendő a természetes számok halmazának bármely konkrét modelljét rögzíteni. $\mathbb {N}$

Néha, különösen a külföldi és lefordított irodalomban, Peano első és harmadik axiómája az egyet nullára cseréli. Ebben az esetben a nullát természetes számnak tekintjük. Ha ekvivalens halmazok osztályaiban határozzuk meg, a nulla definíció szerint természetes szám. Természetellenes lenne kifejezetten elvetni. Ráadásul ez jelentősen megnehezítené az elmélet további felépítését és alkalmazását, hiszen a legtöbb konstrukcióban a nulla, akárcsak az üres halmaz, nem valami elszigetelt dolog. Egy másik előnye annak, hogy a nullát természetes számnak tekintjük, hogy monoidot képez, amikor ezt teszi . Mint fentebb említettük , az orosz irodalomban a nullát hagyományosan kizárják a természetes számok számából. $\mathbb {N}$

Természetes számok halmazelméleti definíciója (Frege-Russell definíció)

A halmazelmélet szerint bármely matematikai rendszer felépítésének egyetlen tárgya a halmaz .

Így a természetes számokat is bevezetik a halmaz fogalma alapján, két szabály szerint:

$0=\varnothing ;$
$S(n)=n\cup \left\{n\right\}.$

Az így megadott számokat sorszámoknak nevezzük .

Írjuk le az első néhány sorszámot és a hozzájuk tartozó természetes számokat:

$0=\varnothing ;$
$1=\varnothing \cup \left\{0\right\}=\left\{\varnothing \right\};$
$2=1\cup \left\{1\right\}={\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \));$
$3=2\cup \left\{2\right\}={\Big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\},\;{\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}{\Big \}}.$

A természetes számok halmazának kardinalitása

Egy véges halmaz elemszámának végtelen halmazokra történő általánosítását a " halmaz hatványa " fogalma jellemzi . A számosság szempontjából a természetes számok halmaza nagyobb bármely véges halmaznál, de kisebb bármely intervallumnál , például . A természetes számok halmaza ekvivalens a racionális számok halmazával . Minden olyan halmazt, amely egyenértékű a természetes számok halmazával, megszámlálható halmaznak nevezzük . Így bármely sorozat taghalmaza megszámlálható. Ugyanakkor létezik egy sorozat, amelyben minden természetes szám végtelen számú alkalommal fordul elő, mivel a természetes számok halmaza diszjunkt megszámlálható halmazok megszámlálható uniójaként is ábrázolható (például [18] , ). $(0,1)$ $\mathbb {N} =\bigcup \limits _{k=0}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }(2n+1)2^{ k}\jobbra)$

Műveletek természetes számokkal

A természetes számokon végzett zárt műveletek (olyan műveletek, amelyek nem adnak ki eredményt a természetes számok halmazából) a következő számtani műveleteket tartalmazzák:

összeadás : term + term = összeg;
szorzás : szorzó × szorzó = szorzat;
hatványozás :, ahol a fokszám alapja, a kitevő. Haés természetes számok, akkor az eredmény is természetes szám. $a^{b}$ $a$ $b$ $a$ $b$

Ezenkívül két további műveletet is figyelembe veszünk (formális szempontból ezek nem természetes számok műveletei, mivel nem minden számpárra vannak meghatározva (néha léteznek, néha nem)):

kivonás : minuend - subtrahend = különbség. Ebben az esetben a minuendnek nagyobbnak kell lennie, mint a részfejnek (vagy egyenlőnek kell lennie vele, ha a nullát természetes számnak tekintjük);
osztás maradékkal : osztalék / osztó = (hányados, maradék). A hányadososztásmaradékaakövetkezőképpen definiálható:, és. Vegye figyelembe, hogy amikor a definíciót a nem negatív egész számokra általánosítják, az utolsó feltétel tiltja a nullával való osztást, mivel ez a halmaz nem tartalmazza a. $p$ $r$ $a$ $b$ $a=p\cdot b+r$ $r<b$ $r<0$

Meg kell jegyezni, hogy az összeadás és a szorzás műveletei alapvetőek. Az egész számok gyűrűjét pontosan az összeadás és szorzás bináris műveletei határozzák meg .

Alaptulajdonságok

Összeadás kommutativitása :

a+b=b+a.

A szorzás kommutativitása:

a\cdot b=b\cdot a.

Az összeadás asszociativitása :

(a+b)+c=a+(b+c).

A szorzás asszociativitása:

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).

A szorzás eloszlása az összeadás tekintetében:

{\begin{cases}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{ esetek}}.

Algebrai szerkezet

Az összeadás a természetes számok halmazát egységnyi félcsoporttá alakítja , az egység szerepét 0 játssza . A szorzás a természetes számok halmazát is egységnyi félcsoporttá alakítja, ahol az 1 az azonossági elem . Az összeadás-kivonás és szorzás-osztás műveletek alatti lezárás segítségével megkapjuk az egész számok, illetve a racionális pozitív számok csoportjait . $\mathbb {Z}$ $\mathbb Q^*_+$

Halmazelméleti definíciók

Használjuk a természetes számok definícióját véges halmazok ekvivalenciaosztályaiként . Ha az A halmaz bijekciókkal generált ekvivalencia osztályát szögletes zárójelben jelöljük ki : [ A ], akkor az alapvető aritmetikai műveletek a következők:

$[A]+[B]=[A\sqcup B];$
$[A]\cdot [B]=[A\time B];$
${[A]}^{[B]}=[A^{B}],$

ahol:

$A \sqcup B$ — halmazok diszjunkt uniója ;
$A\-szer B$ - közvetlen termék ;
$A^B$ a B - ből A -ba történő leképezések halmaza .

Megmutatható, hogy az eredményül kapott osztályokra vonatkozó műveletek helyesen vannak bevezetve, vagyis nem függenek az osztályelemek megválasztásától, és egybeesnek az induktív definíciókkal.

Érdekes tények

A függvény sorozattá bővítésével megmutathatjuk, hogy az összes természetes szám összege egyenlő -1/12 [19] .

Lásd még

Megjegyzések

↑ A Kish-tábla , amelyről úgy gondolják, hogy Kr.e. 700-ra datálható, három horoggal jelzi az üres helyet a hivatkozási jelölésben. Más, nagyjából ugyanabban az időben készült asztalok egyetlen horoggal vannak felszerelve üres helyként. [négy]
↑ Ezt a rendelkezést használják például az Euclid's Elements-ben, lásd D. Joyce VII. könyvének online kiadását. [6]
↑ angol fordítás - Gray nyelvről. A lábjegyzetben Gray jelzi a német idézet forrását: " Weber 1891–1892, 19, idézet Kronecker 1886-os előadásából ." [nyolc]

Jegyzetek

↑ OEIS sorozat A000027 _
↑ Elemi matematika, 1976 , p. tizennyolc.
↑ Ifrah, Georges. A számok egyetemes története . - Wiley, 2000. - ISBN 0-471-37568-3 .
↑ A nulla története . MacTutor Matematika története . Hozzáférés dátuma: 2013. január 23. Az eredetiből archiválva : 2013. január 19. (határozatlan)
↑ Deckers, Michael Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Dionysius tizenkilenc éves ciklusa . Hbar.phys.msu.ru (2003. augusztus 25.). Letöltve: 2012. február 13. Az eredetiből archiválva : 2019. január 15. (határozatlan)
↑ Eukleidész . VII. könyv, 1. és 2. meghatározás // Elemek . — Clark Egyetem.
↑ Mueller, Ian. A matematika filozófiája és a deduktív struktúra Euklidész elemeiben . - Mineola, New York: Dover Publications, 2006. - P. 58. - ISBN 978-0-486-45300-2 .
↑ Grey, Jeremy. Platón szelleme: A matematika modernista átalakulása . - Princeton University Press, 2008. - P. 153. - ISBN 978-1-4008-2904-0 . Archivált : 2017. március 29. a Wayback Machine -nál
↑ Eves, 1990 , 15. fejezet
↑ Kirby, Laurie; Paris, Jeff (1982). „Hozzáférhető függetlenségi eredmények a Peano aritmetikához.” A Londoni Matematikai Társaság közleménye . Wiley. 14 (4): 285-293. DOI : 10.1112/blms/14.4.285 . ISSN 0024-6093 .
↑ Bagaria, Joan. Halmazelmélet . - 2014. tél. - The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2017. Archiválva : 2015. március 14. a Wayback Machine -nél
↑ Goldrei, Derek. 3 // Klasszikus halmazelmélet: Irányított független tanulmány . - 1. kiad., 1. nyomat. – Boca Raton, Fla. [ua]: Chapman & Hall/CRC, 1998. – 33. o . - ISBN 978-0-412-60610-6 .
↑ 1 2 3 Potapov M. K., Alexandrov V. V., Pasichenko P. I. Algebra és elemi függvények elemzése. - M. : Nauka, 1981. - S. 9. - 560 p.
↑ 80000-2:2009 nemzetközi szabvány. 2. rész . NCSU COE emberek . Letöltve: 2019. augusztus 12. Az eredetiből archiválva : 2019. február 28.. (határozatlan)
↑ GOST R 54521-2011 Statisztikai módszerek. Matematikai szimbólumok és jelek a szabványokban való alkalmazáshoz (újrakiadás), 2011. november 24. - docs.cntd.ru. docs.cntd.ru _ Letöltve: 2022. január 14. Az eredetiből archiválva : 2021. július 9.. (határozatlan)
↑ Feferman S. Numerikus rendszerek. Az algebra és az elemzés alapjai. - 1971. - 445 p.
↑ A természetes számok egyediségének bizonyítása . Hozzáférés dátuma: 2011. február 4. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 22. (határozatlan)
↑ Vinogradova I. A., Olehnik S. N., Sadovnichiy V. A. 48. feladat // Problémák és gyakorlatok a matematikai elemzésben. 1. könyv - 2. kiadás. - M . : Felsőiskola , 2000. - S. 146 (szöveg), 163 (válasz).
↑ Kérdés egy tudóshoz: hogyan adjunk össze minden természetes számot és kapjunk -1/12-t? . mipt.ru. _ Letöltve: 2020. december 30. Az eredetiből archiválva : 2021. február 10. (határozatlan)

Irodalom

Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve . - M .: Nauka, 1978.
Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Eves, Howard (1990), An Introduction to the History of Mathematics (6. kiadás), Thomson, ISBN 978-0-03-029558-4 , < https://books.google.com/books?id=PXvwAAAAMAAJ >
Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory , Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-90092-6 , < https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&lpg=PP1&pg=PP1#v =onepage&q=peano%20axioms&f=false >
Hamilton, A.G. (1988), Logic for Mathematicians (átdolgozott kiadás), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36865-0 , < https://books.google.com/books?id=TO098EjWT38C&q=peano% 27s+postulates#v=snippet&q=peano%27s%20postulates&f=false >
James, Robert C. és James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary (5. kiadás), Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-99041-0 , < https://books.google.com/books?id =UyIfgBIwLMQC >
Landau, Edmund (1966), Foundations of Analysis (harmadik kiadás), Chelsea Pub Co, ISBN 978-0-8218-2693-5 , < https://books.google.com/books?id=DvIJBAAAQBAJ >
Mac Lane, Saunders & Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3. kiadás), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1646-2 , < https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&lpg =PA15&vq=natural%20numbers&pg=PA15#v=onepage&q=%22the%20natural%20numbers%22&f=false >
Mendelson, Elliott (2008), Number Systems and the Foundations of Analysis , Dover Publications, ISBN 978-0-486-45792-5 , < https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC >
Morash, Ronald P. (1991), Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structures (második kiadás), Mcgraw-Hill College, ISBN 978-0-07-043043-3 , < https://books.google.com /books?id=fH9YAAAAYAAJ >
Musser, Gary L.; Peterson, Blake E. & Burger, William F. (2013), Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach (10. kiadás), Wiley Global Education , ISBN 978-1-118-45744-3 , < https://books .google.com/books?id=b3dbAgAAQBAJ >

Linkek

Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Természetes szám , Matematikai Enciklopédia , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Szczepanski, Amy F. & Kositsky, Andrew P. (2008), The Complete Idiot's Guide to Pre-algebra , Penguin Group, ISBN 978-1-59257-772-9 , < https://books.google.com/books ?id=wLA2tlR_LYYC >
Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B. & Bruckner, Andrew M. (2008), Elementary Real Analysis (második kiadás), ClassicalRealAnalysis.com, ISBN 978-1-4348-4367-8 , < https://books.google.com/ könyvek?id=vA9d57GxCKgC >

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNF : 120988295 GND : 4041357-3 J9U : 987007538748705171 LCCN : sh85093214 LNB : 000112174 NKC : ph124920

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion

Egész számok

100-ig
0 egy 2 3 négy 5 6 7 nyolc 9 tíz tizenegy 12 13 tizennégy tizenöt 16 17 tizennyolc 19 húsz 21 22 23 24 25 26 27 28 29 harminc 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 45 46 47 48 ötven 51 52 53 54 55 56 57 60 61 62 63 64 66 68 69 70 71 72 73 74 76 77 78 79 80 81 82 83 85 87 88 89 90 91 92 95 97 98 99

100 és több