Oktaéder

Szabályos oktaéder

( forgó modell )

Típusú

szabályos poliéder

Kombinatorika

Elemek

8 lap
12 él
6 csúcs

X = 2

Szempontok

szabályos háromszögek

4.4.4

Osztályozás

Jelölés

O
nál nél

Schläfli szimbólum

$\{3,4\}$
$r\{3,3\}$ vagy $\begin{Bmátrix} 3 \\ 3 \end{Bmátrix}$

Wythoff szimbólum

4 | 2 3

Dynkin diagram

Szimmetria csoport

O_{h}

Rotációs csoport

O

mennyiségi adatok

Kétszögű szög

\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\kb 109,5^{\circ }

Tömörszög a csúcson

2\pi -8\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {3))}\right)

\kb. 1,35935

Házasodik

Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

Az oktaéder ( görögül οκτάεδρον οκτώ "nyolc" + έδρα "alap") nyolc lappal rendelkező poliéder .

A szabályos oktaéder egyike az öt konvex szabályos poliédernek [1] , az úgynevezett platóni testeknek ; lapjai nyolc egyenlő oldalú háromszög . szabályos oktaéder -

kettős egy kockához ;
a tetraéder teljes csonkolása ;
négyzet alakú bipiramis a három merőleges irány bármelyikében;
háromszög alakú antiprizma a négy irány bármelyikében;
háromdimenziós labda a várostömbök metrikájában .

Az oktaéder a hiperoktaéder általánosabb koncepciójának háromdimenziós változata .

Szabályos oktaéder

Egy szabályos oktaédernek 8 háromszöglapja van, 12 éle, 6 csúcsa és 4 éle találkozik minden csúcsban.

Méretek

Ha az oktaéder élhossza egy , akkor az oktaéder köré körülírt gömb sugara:

r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} \kb. 0,7071067 \cdot a

Az oktaéderbe írt gömb sugara a következő képlettel számítható ki:

r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}\kb. 0,4082482\cdot a .

diéderszög : , ahol . $\alpha = 2\phi \kb. 109,47^\circ$ $\phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3})$

Egy félig beírt gömb sugara , amely minden élt érint, a

r_m = \frac{a}{2} = 0,5\cdot a

Ortográfiai vetületek

Az oktaédernek négy speciális merőleges vetülete van , középpontjában egy él, egy csúcs, egy lap és egy normállap. A második és harmadik eset a B 2 és A 2 Coxeter síknak felel meg .

Ortográfiai vetületek

Középre állított	él	Normális szembenézni	csúcsa	él
Kép
Projektív szimmetria	[2]	[2]	[négy]	[6]

Gömbcsempe

Egy oktaéder ábrázolható gömb alakú csempeként , és sztereográfiai vetület segítségével síkra vetíthető . Ez a vetület konform , megőrzi a szögeket, de nem a hosszúságot vagy a területet. A gömb szakaszai a síkon lévő körívekre vannak leképezve.

ortogonális vetület	Sztereografikus vetítés
	háromszög középpontú

Derékszögű koordináták

Egy élhosszúságú oktaéder az origóba helyezhető úgy, hogy csúcsai a koordinátatengelyeken fekszenek. A csúcsok derékszögű koordinátái ekkor lesznek ${\sqrt {2}}$

(±1, 0, 0); (0, ±1, 0); (0, 0, ±1).

Az x - y - z derékszögű koordinátarendszerben az ( a , b , c ) pontban és r sugarú oktaéder az összes pont halmaza ( x , y , z ) úgy, hogy

\left|x - a\right| + \left|y - b\right| + \left|z - c\right| = r.

Terület és térfogat

Egy a élhosszúságú szabályos oktaéder teljes felülete

S=2a^2\sqrt{3} \kb. 3,46410162a^2

Az oktaéder térfogatát ( V ) a következő képlettel számítjuk ki:

V=\begin{mátrix}{1\over3}\end{mátrix}\sqrt{2}a^3 \kb. 0,471404521a^3

Így egy oktaéder térfogata négyszerese az azonos élhosszúságú tetraéder térfogatának , míg a felülete kétszer akkora (mivel a felület 8 háromszögből áll, míg a tetraéder négy).

Ha az oktaédert úgy nyújtjuk, hogy teljesüljön az egyenlőség:

\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1,

A felület és térfogat képletei a következőkre alakulnak:

A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}

V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m

Ezenkívül a megfeszített oktaéder tehetetlenségi nyomatékának tenzora egyenlő lesz:

I = \begin{bmatrix} \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2) ) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2) \end{bmátrix}

Egy szabályos oktaéder egyenletére redukálódik, ha: $x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}$

Geometriai hivatkozások

Két kettős tetraéder konfigurációjának belső (közös) része egy oktaéder, és ezt a konfigurációt magát csillagozott oktaédernek ( latinul: stella octangula ) nevezik. A konfiguráció az oktaéder egyetlen csillagképe . Ennek megfelelően egy szabályos oktaéder annak eredménye, hogy egy szabályos tetraéderből négy szabályos tetraédert vágunk le, amelyek élhossza fele (vagyis a tetraéder teljes csonkolása ). Az oktaéder csúcsai a tetraéder éleinek felezőpontjain fekszenek, és az oktaéder ugyanúgy kapcsolódik a tetraéderhez, mint a kuboktaéder és az ikozidodekaéder a többi platóni testhez. Lehetőség van az oktaéder éleinek felosztására az aranymetszés függvényében, hogy meghatározzuk az ikozaéder csúcsait . Ehhez helyezze a vektorokat az élekre úgy, hogy az összes oldalt ciklusok vegyék körül. Ezután az egyes éleket aranymetszetben osztjuk el a vektorok mentén. A kapott pontok az ikozaéder csúcsai.

Az oktaédereket és a tetraédereket egymásba lehet illeszteni csúcs-, él- és homlokzati egyenletes méhsejt kialakítására , amelyet Fuller oktettkötegnek nevezett. Ezek az egyetlen fésűk, amelyek lehetővé teszik a rendszeres kockába rakást , és a 28 domború egységes méhsejt egyike .

Az oktaéder egyedülálló a platóni szilárdtestek között, mivel önmagában is páros számú lapja van minden csúcsban. Ezen túlmenően, ez az egyetlen tagja ennek a csoportnak, amelynek szimmetriasíkjai vannak, amelyek nem metszenek egyetlen oldalt sem.

A Johnson poliéderekre vonatkozó szabványos terminológiát használva az oktaéder négyzetes bipiramisnak nevezhető . Két ellentétes csúcs csonkolása egy csonka bipiramist eredményez .

Az oktaéder 4 összeköttetésű . Ez azt jelenti, hogy négy csúcsot el kell távolítani a többiek leválasztásához. Ez egyike a mindössze négy 4-kapcsolatú egyszerű , jól fedett poliédernek, ami azt jelenti, hogy az összes legnagyobb független csúcshalmaz azonos méretű. A másik három poliéder ezzel a tulajdonsággal az ötszögletű bipiramis , a snub biclinoid és egy szabálytalan poliéder 12 csúcsgal és 20 háromszöglappal [2] .

Tetraéderbe oktaéder írható, ráadásul az oktaéder nyolc lapja közül négy a tetraéder négy lapjához igazodik, az oktaéder mind a hat csúcsa a tetraéder hat élének középpontjához igazodik.
A kockába oktaéder írható, ráadásul az oktaéder mind a hat csúcsa a kocka hat lapjának középpontjához igazodik.
Oktaéderbe egy kocka írható, ráadásul a kocka mind a nyolc csúcsa az oktaéder nyolc lapjának középpontjában lesz.

Egységes színezés és szimmetria

Az oktaédernek 3 egységes színe az arcszínükről neveztek el: 1212, 1112, 1111.

Az oktaéder szimmetriacsoportja O h 48-as rendű, háromdimenziós hiperoktaéder csoport . Ennek a csoportnak az alcsoportjai közé tartozik a D 3d (12-es rend), a háromszögletű antiprizma szimmetriacsoport , a D 4h ( 16-os rend), a négyzetes bipiramisszimmetria -csoport és a Td (24-es rend), a teljesen csonka tetraéder szimmetriacsoport . Ezeket a szimmetriákat az arcok eltérő színezése hangsúlyozhatja.

Név	Oktaéder	Teljesen csonka tetraéder (Tetratetraéder)	Háromszög alakú antiprizma	Négyzet alakú bipiramis	Rombos bipiramis
Rajz (arcfestés)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Coxeter diagram		=
Schläfli szimbólum	{3,4}	r{3,3}	s{2,6} sr{2,3}	ft{2,4} { } + {4}	ftr{2,2} { } + { } + { }
Wythoff szimbólum	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
Szimmetria	Ó ó , [4,3], (*432)	T d , [3,3], (*332)	D 3d , [2 + ,6], (2*3) D 3 , [2,3] + , (322)	D 4h , [2,4], (*422)	D 2h , [2,2], (*222)
Rendelés	48	24	12 6	16	nyolc

Dörzsárak

Az oktaéder kialakulásának tizenegy változata létezik [3] .

Kettősség

Az oktaéder kettős a kockával .

Kivágás

A homogén tetrahemihexaéder egy szabályos oktaéder tetraéderszimmetriájú fazettája , amely megőrzi az élek és a csúcsok elrendezését . A vágásnak négy háromszög alakú oldala és 3 központi négyzete van.

Oktaéder	tetrahemihexaéder

Szabálytalan oktaéder

A következő poliéderek kombinatorikusan egyenértékűek egy szabályos oktaéderrel. Mindegyiknek hat csúcsa, nyolc háromszöglapja és tizenkét éle van, ami egy az egyhez felel meg egy szabályos oktaéder paramétereinek.

Háromszög alakú antiprizmák - két oldal egyenlő oldalú háromszögek, amelyek párhuzamos síkban helyezkednek el, és közös szimmetriatengelyük van. A maradék hat háromszög egyenlő szárú.
Négyszög alakú bipiramisok , amelyekben legalább egy egyenlítői négyszög egy síkban fekszik. A szabályos oktaéder egy speciális eset, amikor mindhárom négyszög lapos négyzet.
Schoenhardt politóp , egy nem konvex politóp, amely nem törhető tetraéderekre új csúcsok bevezetése nélkül.

Egyéb konvex oktaéderek

Általában minden nyolclappal rendelkező poliéder oktaédernek nevezhető. Egy szabályos oktaédernek 6 csúcsa és 12 éle van, ami egy oktaéder minimális száma. A szabálytalan nyolcszögeknek legfeljebb 12 csúcsa és 18 éle lehet [3] [4] . 257 topológiailag különálló konvex oktaéder létezik, a tükörmásolatok nélkül [3] . Konkrétan 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 oktaéder van, amelyeknek 6-12 csúcsa van [5] [6] . (Két poliéder „topológiailag különálló”, ha lapjaik és csúcsai belsőleg eltérő elrendezésűek, így nem lehetséges az egyik testet a másikba átalakítani egyszerűen az élek hosszának vagy az élek vagy lapok közötti szögek megváltoztatásával.)

Néhány figyelemre méltó szabálytalan nyolcszög:

Hatszögletű prizma : Két lap párhuzamos szabályos hatszög, hat négyzet köti össze a hatszögek megfelelő oldalpárjait.
Hétszögletű piramis : Az egyik lap egy hétszög (általában szabályos), a maradék hét lap pedig háromszög (általában egyenlő szárú). Lehetetlen elérni, hogy minden háromszöglap egyenlő oldalú legyen.
Csonka tetraéder : A tetraéder négy lapja szabályos hatszögekre van csonkolva, és a csonka csúcsok helyén további három egyenlő oldalú háromszöglap keletkezik.
Négyszögű trapézéder : Nyolc lap egybevágó a deltoidokkal .

Oktaéderek a fizikai világban

Oktaéderek a természetben

Sok természetes köbös kristály oktaéder alakú. Ezek a gyémánt , alumínium-kálium-szulfát , nátrium-klorid , perovszkit , olivin , fluorit , spinell .
A tiszta fémek ( nikkel , réz , magnézium , titán , lantán és sok más) és ionos vegyületek (nátrium-klorid, szfalerit , wurtzit stb.) szorosan egymásra épülő szerkezeteiben található interatomikus üregek (pórusok) oktaéder alakúak.
Az oktaedrit meteoritokban lévő kamacitötvözet lemezei párhuzamosan helyezkednek el az oktaéder nyolc lapjával .

Oktaéderek a művészetben és a kultúrában

A játékokban az oktaéder kockát "d8" néven ismerik.
Ha az oktaéder minden élét egy ohmos ellenállásra cseréljük , az ellentétes csúcsok közötti teljes ellenállás 1/2 ohm, a szomszédos csúcsok között pedig 5/12 ohm [7] .
Egy oktaéder csúcsain hat hangjegyet lehet elhelyezni úgy, hogy minden él egy mássalhangzó-párt, minden lap pedig egy mássalhangzó-hármast képvisel.
A tankelhárító sündisznó egy oktaéder három átlója.

Tetraéderes ínszalag

Az ismétlődő tetraéderek és oktaéderek vázát Fuller találta fel az 1950-es években, és az űrkeret néven ismert, és legerősebb szerkezetnek tartják, amely ellenáll a konzolos gerenda feszültségeinek .

Kapcsolódó politópok

Egy szabályos oktaéder tetraéderré nagyítható, ha négy tetraédert adunk a váltakozó lapokon. Ha mind a nyolc laphoz tetraédert adunk, akkor csillagszerű oktaéder keletkezik .

tetraéder	csillagozott oktaéder

Az oktaéder a kockához kapcsolódó egységes poliéderek családjába tartozik.

Egységes oktaéder poliéder

Szimmetria : [4,3], (*432)							[4,3] + , (432)	[3 + ,4], (3*2)


{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	tr{4,3}	sr{4,3}	s{3,4}
Kettős poliéder

V4 3	v3.82_ _	V(3.4) 2	v4.62_ _	V3 4	v3.43_ _	V4.6.8	V3 4.4 _	V3 5

Ez egyben az egyik legegyszerűbb példája a hiperszimplexnek , egy poliédernek, amelyet egy hiperkocka és egy hipersík bizonyos metszéspontja alkot .

Az oktaéder egy olyan poliéder sorozatban található, amelynek Schläfli szimbóluma {3, n } a hiperbolikus síkra terjed ki .

* n 32 szabályos csempézési szimmetria: 3 n vagy {3, n }

gömbölyű				euklideszi	Kompakt hiperbola.		Para -kompakt	Nem kompakt hiperbolikus

3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3∞ _	3 12i	39i _	36i _	3 3i

Tetratetraéder

A szabályos oktaédert teljesen csonka tetraédernek tekinthetjük, és tetraédernek nevezhetjük . Ezt egy kétszínű modellel is meg lehet mutatni. Ebben a színezésben az oktaéder tetraéder szimmetriájú .

Tetraéder csonkolási sorozatának és kettős alakjának összehasonlítása:

Egységes tetraéder poliéderek családja

Szimmetria : [3,3] , (*332)							[3,3] + , (332)


{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Kettős poliéder

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

A fenti szilárdtestek a tesserakt hosszú átlójára merőleges szeletekként értelmezhetők . Ha ezt az átlót függőlegesen 1-es magassággal helyezzük el, akkor felülről az első öt szakasz az r , 3/8, 1/2, 5/8 és s magasságban lesz , ahol r tetszőleges szám a (0) intervallumban ,1/4], és s – tetszőleges szám a [3/4,1) intervallumban.

Az oktaéder, mint tetraéder , kvázi szabályos poliéderek és (3. n ) 2 csúcskonfigurációjú burkolólapok szimmetriasorozatában létezik, amely a gömb burkolásaiból az euklideszi síkra, majd a hiperbolikus síkra megy át. A szimmetria * n 32 orbifold jelölésében ezek a csempézések a szimmetria alapvető tartományán belüli Wythoff-konstrukciók , amelyekben a tartomány derékszögű pontjait generálják [8] [9] .

* n Kvázi szabályos burkolólapok 32 orbifold szimmetriája : (3. n ) 2

Épület	gömbölyű			euklideszi	Hiperbolikus
Épület	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Kvázi szabályos figurák
Csúcs	(3.3) 2	(3.4) 2	(3.5) 2	(3.6) 2	(3.7) 2	(3.8) 2	(3.∞) 2

Háromszögletű antiprizma

Háromszög alakú antiprizmaként az oktaéder a hatszögletű diéderszimmetria családjához kapcsolódik.

Egységes hatszögletű kétszög alakú gömbpoliéder

Szimmetria : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{2,6}	tr{6,2	sr{6,2}	s{2,6}
Kettős poliéderük

V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	v26_ _	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Homogén antiprizmák családja n .3.3.3

Konfiguráció	V2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	... ∞.3.3.3
Poliéder
Mozaik

Négyzet alakú bipiramis

Bipiramis család

Konfiguráció	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	... V∞.4.4
Poliéder
Mozaik

Lásd még

Jegyzetek

↑ Selivanov D. F. ,. Geometrikus test // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
↑ Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010 , p. 894–912.
↑ 1 2 3 Weisstein, Eric W. Octahedron (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Steven Dutch. Polyhedra felsorolása (nem elérhető link) . Letöltve: 2015. november 8. Az eredetiből archiválva : 2011. október 10. (határozatlan)
↑ Poliéderek számolása . Letöltve: 2015. november 8. Az eredetiből archiválva : 2016. május 6.. (határozatlan)
↑ Archivált másolat . Letöltve: 2016. augusztus 14. Az eredetiből archiválva : 2014. november 17.. (határozatlan)
↑ Klein, 2002 , p. 633–649.
↑ Williams, 1979 .
↑ Kétdimenziós szimmetriamutációk Daniel Husontól

Irodalom

Nagy szovjet enciklopédia
Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer. Jól fedett háromszögeléseken. III // Diszkrét alkalmazott matematika. - 2010. - T. 158 , sz. 8 . - doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 .
Douglas J. Klein. Ellenállás-távolság összegzési szabályok // Croatica Chemica Acta. - 2002. - T. 75 , sz. 2 . Az eredetiből archiválva: 2007. június 10.
R. Williams. 5. fejezet A kaleidoszkóp, szakasz: 5.7 Wythoff // A természetes szerkezet geometriai alapjai: A tervezés forráskönyve . – New York: Dover Publications , 1979.

Linkek

Weisstein, Eric W. Octahedron (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Klitzing politópok, 3D konvex egységes poliéderek
Szerkeszthető nyomtatható oktaéder háló interaktív 3D-s kilátással
Az oktaéder papírmodellje
KJM MacLean, Az öt platóni test és más félreguláris poliéderek geometriai elemzése
Az egységes poliéder
Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
- Conway-jelölés a poliéderekhez Próbálja ki: dP4

Poliéder

Helyes

Háromdimenziós (platonikus szilárd testek)	szabályos tetraéder Kocka Oktaéder Dodekaéder ikozaéder
4D	Ötcellás tesserakt Hexadecimális sejt huszonnégy cella 120 cella Hatszáz sejt
Nagyobb méret (zárójelben jelölve)	Szabályos szimplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoktaéder

Szabályos
, nem domború

Háromdimenziós az
arcok számával (zárójelben jelölve)

Monoéder (1)
Diéder (2)
Triéder (3)
Tetraéder (4)
Pentaéder (5)
Hexaéder (6)
Heptaéder (7)
Oktaéder (8)
Enneaéder (9)
Dekaéder (10)
Endekaéder (11)
Dodekaéder (12)
Tridekaéder (13)
Tetradekaéder (14)
Pentadekaéder (15)
Hexadekaéder (16)
Heptadekaéder (17)
Oktadekaéder (18)
Enneadekaéder (19)
Ikozaéder (20)
Ikozotetraéder (24)
Triakontaéder (30)
Hexacontahedron (60)
Enneakontaéder (90)
Hektotriadioéder (132)
Apeiroéder (∞)

konvex

Arkhimédeszi szilárd testek

Katalán testek

Prizmák
háromszög prizma négyszögű prizma Ötszögletű prizma Hatszögletű prizma Hétszögű prizma Nyolcszögletű prizma Kilencszögű prizma Tízszögű prizma Tizenegy szögű prizma Dodecagonal prizma

Johnson poliéder

Képletek ,
tételek ,
elméletek

Egyéb

Schläfli szimbólum
Sokszögek	{egy} {2} {3} {4} {5} {6} {7} {nyolc} {9} {tíz} {tizenegy} {12} {tizennégy} {tizenöt} {17} {tizennyolc} {húsz} {harminc} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
csillag sokszögek	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Lapos parketták _	{3,6} {4,4} {6,3}
Szabályos poliéder és gömb alakú parketták	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot poliéder	{5/2,5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
lépek	{4,3,4}
Négydimenziós poliéder	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}