Gömb alakú poliéder

A gömb alakú poliéder vagy a gömb alakú csempézés olyan gömbön történő  burkolás , amelyben a felületet nagy ívek határolt régiókra osztják, amelyeket gömb alakú sokszögeknek nevezünk. A szimmetrikus poliéderek elméletének nagy része gömb alakú poliédereket használ.

A gömb alakú poliéder leghíresebb példája a futballlabda , amely csonka ikozaéderként is felfogható .

Egyes "nem megfelelő" poliéderek, mint például az oszoéderek és kettős diédereik , csak gömb alakú poliéderekként léteznek, és nincs lapos felületű megfelelőjük. Az alábbi példákat tartalmazó táblázatban a {2, 6} egy oszoéder, a {6, 2} pedig a kettős diéder.

Történelem

Az első ismert mesterséges poliéderek kőbe faragott gömb alakú poliéderek. Ezek közül sokat Skóciában találtak, és a neolitikumból származnak .

Az európai " sötét középkor " idején Abul-Wafa al-Buzjani iszlám tudós írta az első komoly munkát a gömb alakú poliéderekről.

Kétszáz évvel ezelőtt, a 19. század elején Poinsot gömb alakú poliédereket használt négy szabályos csillagpoliéder felfedezésére .

A 20. század közepén Coxeter az összes (egy kivételével) egységes poliéder számbavételére használta őket egy kaleidoszkópos konstrukció ( Withoff konstrukció ) segítségével.

Példák

A gömbre minden szabályos , félszabályos poliéder és duálisa kivetíthető burkolóanyagként. Az alábbi táblázat mutatja a Schläfli-szimbólumokat {p, q} és az abc... csúcsalak sémáját:

Schläfli szimbólum {p, q} t{p, q} r{p, q} t{q, p} {q, p} rr{p, q} tr{p, q} sr{p, q}
Vertex figura p q q.2p.2p pqpq p. 2q.2q qp _ q.4.p. négy 4,2q.2p 3.3.q.3.p
Tetraéder
(3 3 2)
3 3
3.6.6
3.3.3.3
3.6.6
3 3
3.4.3.4
4.6.6
3.3.3.3.3

V3.6.6
V3.3.3.3
V3.6.6
V3.4.4.4
V4.6.6
V3.3.3.3.3
Oktaéder
(4 3 2)
4 3
3.8.8
3.4.3.4
4.6.6
3 4
3.4.4.4
4.6.8
3.3.3.3.4

V3.8.8
V3.4.3.4
V4.6.6
V3.4.4.4
V4.6.8
V3.3.3.3.4
Ikozaéder
(5 3 2)
5 3
3.10.10
3.5.3.5
5.6.6
3 5
3.4.5.4
4.6.10
3.3.3.3.5

V3.10.10
V3.5.3.5
V5.6.6
V3.4.5.4
V4.6.10
V3.3.3.3.5
Diéderes
példák=6
(2 2 6)
6 2
2.12.12
2.6.2.6
6.4.4
26 _
4.6.4
4.4.12
3.3.3.6
Osztály 2 3 négy 5 6 7 nyolc tíz
Prizma
(2 2 p)
Bipiramis
(2 2 p)
antiprizma
trapézéder

Szabálytalan esetek

A gömb alakú burkolólapok lehetővé teszik a poliédereknél lehetetlen eseteket, nevezetesen az oszoédereket , szabályos alakzatokat {2,n} és a kétédereket , a szabályos alakzatokat {n,2}.

Rendszeres darazsak családja
Kép
Schläfli {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8}…
koxéter CDel csomópont 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel csomópont 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel csomópont 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel csomópont 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel csomópont 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel csomópont 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel csomópont 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel8.pngCDel node.png
Arcok és
élek 		2 3 négy 5 6 7 nyolc
Csúcsok 2
Normál diéderek: (gömb alakú burkolólapok)
Kép
Schläfli {2,2} {3,2} {4,2} {5,2} {6,2}…
koxéter CDel csomópont 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel csomópont 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel csomópont 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel csomópont 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel csomópont 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png
Szempontok 2 {2} 2 {3} 2 {4} 2 {5} 2 {6}
Élek és
csúcsok 		2 3 négy 5 6

Csatlakozás burkolással a projektív síkon

Mivel a gömb a projektív sík kétlapos borítása , a projektív politópok a gömb alakú politópok kettős lefedésének felelnek meg, amelyek központi szimmetriájával rendelkeznek .

A projektív poliéderek leghíresebb példái a centrálisan szimmetrikus szabályos poliéderekből , valamint a páros diéderek és oszoéderek végtelen családjaiból képzett szabályos projektív poliéderek : [1]

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Coxeter, 1966 , p. 547-552 §3 Helyes kártyák.

Irodalom