Reuleaux háromszög

A Reuleaux-háromszög [* 1] három egyenlő kör metszésterülete , amelynek középpontjai egy szabályos háromszög csúcsaiban vannak, és sugarai egyenlők az oldalával [1] [2] . Ezt az ábrát határoló nem sima zárt görbét Reuleaux-háromszögnek is nevezik.

A Reuleaux-háromszög a kör után a legegyszerűbb állandó szélességű alakzat [1] . Vagyis ha a Reuleaux-háromszöghez egy pár párhuzamos referenciavonalat [* 2] húzunk , akkor a köztük lévő távolság nem fog függni a választott iránytól [3] . Ezt a távolságot a Reuleaux-háromszög szélességének nevezzük .

Más állandó szélességű ábrák mellett a Reuleaux-háromszöget számos szélsőséges tulajdonság különbözteti meg: a legkisebb terület [1] , a lehető legkisebb szög a csúcson [4] , a legkisebb szimmetria a középponthoz képest [5] . A háromszög széles körben elterjedt a technológiában - erre épültek a bütykös és kagylós mechanizmusok, a Wankel forgódugattyús motor , sőt olyan fúrók is születtek, amelyek lehetővé teszik négyzet alakú lyukak fúrását ( marását ) [6] .

Az alak neve Franz Rehlo német szerelő vezetéknevéből származik . Valószínűleg ő volt az első, aki ennek az úgynevezett görbe vonalú háromszögnek a tulajdonságait vizsgálta; mechanizmusaiban is alkalmazta [7] .

Történelem

Ennek az alaknak nem Reuleaux a felfedezője, bár részletesen tanulmányozta. Különösen azt a kérdést vizsgálta, hogy hány érintkező ( kinematikus párban ) szükséges egy lapos alak elmozdulásának megakadályozásához, és egy négyzetbe írt görbe háromszög példáján megmutatta, hogy még három érintkező sem elég. hogy megakadályozzuk az ábra elfordulását [8] .

Egyes matematikusok úgy vélik, hogy Leonhard Euler volt az első, aki a 18. században bemutatta az egyenlő körívekből álló háromszög ötletét [9] . Ennek ellenére találunk egy hasonló alakot korábban, a 15. században: Leonardo da Vinci használta kézirataiban . A Reuleaux-háromszög megtalálható az Institut de France -ban [10] őrzött A és B kézirataiban , valamint a Codex Madridban [9] .

1514 körül Leonardo da Vinci elkészítette az egyik első ilyen világtérképet . A rajta lévő földgömb felszínét az Egyenlítő és két meridián (a meridiánok síkjai közötti szög 90°) nyolc gömbháromszögre osztotta fel , amelyeket a térkép síkján a Reuleaux-háromszögek mutattak, amelyeket négy körbe gyűjtöttek . pólusok [11] .

Még korábban, a 13. században a bruges -i Szűzanya-templom alkotói a Reuleaux-háromszöget használták formaként néhány ablakhoz [9] .

Tulajdonságok

A Reuleaux-háromszög egy lapos konvex geometriai ábra [12] .

Alapvető geometriai jellemzők

Ha a Reuleaux-háromszög szélessége , akkor területe [13] $a$

S={{1} \over {2}}\left(\pi -{\sqrt {3}}\right)\cdot a^{2},

kerülete

p=\pi a,

beírt kör sugara

r=\left(1-{{1} \over {{\sqrt {3))))\right)\cdot a,

és a körülírt kör sugara

R={{a} \fölött {{\sqrt {3}}}}

. Szimmetria

A Reuleaux-háromszögnek tengelyirányú szimmetriája van . Három másodrendű szimmetriatengelye van, amelyek mindegyike átmegy a háromszög csúcsán és az ellentétes ív közepén, valamint egy harmadrendű szimmetriatengelye, amely merőleges a háromszög síkjára és áthalad közepén keresztül [* 3] . Így a Reuleaux-háromszög szimmetriacsoportja hat leképezésből áll (beleértve az azonosságot is), és megegyezik egy szabályos háromszög szimmetriacsoportjával . $D_{3}$

Építés iránytűvel

A Reuleaux-háromszög megszerkeszthető pusztán egy iránytűvel , vonalzó használata nélkül . Ez a konstrukció három egyenlő kör szekvenciális rajzolására redukálódik . Az első középpontját tetszőlegesen választjuk ki, a második középpontja az első kör bármely pontja, a harmadiké pedig az első két kör két metszéspontja bármelyike lehet.

Minden állandó szélességű alakra jellemző tulajdonságok

Mivel a Reuleaux-háromszög egy állandó szélességű alakzat, az osztály alakjainak összes általános tulajdonságával rendelkezik. Különösen,

a Reuleaux-háromszögnek minden támaszvonalával csak egy közös pontja van [14] ;
a szélességű Reuleaux-háromszög két pontja közötti távolság nem haladhatja meg a [15] -et ; $a$ $a$
a két párhuzamos referenciavonal érintkezési pontjait a Reuleaux-háromszöggel összekötő szakasz merőleges ezekre a referenciavonalakra [16] ;
a Reuleaux-háromszög határának bármely pontján áthalad legalább egy referenciavonalon [17] ;
a Reuleaux-háromszög határának minden pontján áthalad egy [* 4] sugarú körülvevő kör , és a ponton keresztül a Reuleaux-háromszöghöz húzott referenciavonal érinti ezt a kört [18] ; $P$ $a$ $P$
egy olyan kör sugara, amelynek legalább három közös pontja van a Reuleaux-féle szélességi háromszög határával, nem haladja meg a [19] -ot ; $a$ $a$
Hanfried Lenz állandó szélességű halmazokra vonatkozó tétele szerint a Reuleaux-háromszög nem osztható két olyan alakra, amelyek átmérője kisebb lenne, mint magának a háromszögnek a szélessége [20] [21] ;
a Reuleaux-háromszög, mint minden más állandó szélességű alak, beírható négyzetbe [22] , valamint szabályos hatszögbe [23] ;
Barbier tétele szerint a Reuleaux-háromszög kerületének képlete minden állandó szélességű alakra érvényes [24] [25] [26] .

Extreme Properties

Legkisebb terület

Az állandó szélességű alakzatok közül a Reuleaux-háromszög területe a legkisebb [ 1] . Ezt az állítást Blaschke-Lebesgue tételnek [27] [28] nevezik ( a tételt 1915-ben publikáló Wilhelm Blaschke német geométer [29] és Henri Lebesgue francia matematikus , aki 1914-ben [30] ] ). Különböző időkben Matsusaburo Fujiwara (1927 és 1931) [31] [32] , Anton Mayer (1935) [33] , Harold Eggleston (1952) [34] , Abram Besikovich (1963) [35 ] bizonyítási változatait javasolta. ] , Donald Chakerian (1966) [36] , Evans Harrell (2002) [37] és más matematikusok [5] . $a$

Egy Reuleaux-háromszög területének meghatározásához hozzáadhatja a belső egyenlő oldalú háromszög területét

S_{\triangle }={{{\sqrt {3}}} \over {4}}\cdot a^{2}

és a fennmaradó három azonos kör alakú szegmens területe 60°-os szög alapján

S_{{seg}}={{a^{2}} \over {2}}\left({{\pi } \over {3}}-\sin {{\pi } \over {3}}\ right)={\left({{\pi } \over {6}}-{({\sqrt {3}}} \over {4}}\right)\cdot a^{2}},

vagyis

S_{{rt}}=S_{\háromszög }+3S_{{seg}}={{1} \felett {2}}\left(\pi -{\sqrt {3}}\right)\cdot a^ {2}=a^{2}\cdot 0{,}70477\lpont

[38]

Az ellenkező szélső tulajdonságú alak a kör . Egy adott állandó szélességű összes alak közül a területe a

S_{\bigcirc }=a^{2}\cdot {{\pi } \over {4}}=a^{2}\cdot 0{,}78539\ldots

maximum [39] [* 5] . A megfelelő Reuleaux-háromszög területe ≈10,27%-kal kisebb. Ezeken a határokon belül van az összes többi, adott állandó szélességű alakzat területe.

Legkisebb szög

A Reuleaux-háromszög minden csúcsán, a többi határponttól eltérően, nem egy referenciavonal van , hanem végtelen számú referenciavonal. A tetején metsződve "köteget" alkotnak. Ennek a "kötegnek" a szélső egyenesei közötti szöget csúcsszögnek nevezzük . Állandó szélességű alakzatoknál a csúcsok szöge nem lehet kisebb 120°-nál. Az egyetlen állandó szélességű alak, amelynek szögei pontosan 120°, a Reuleaux-háromszög [4] .

A legkisebb központi szimmetria

Az állandó szélességű alakzatok közül a Reuleaux-háromszögnek van a legkisebb a középponti szimmetriája [5] [40] [41] [42] [43] . Az ábra szimmetriafokának meghatározására számos különböző módszer létezik. Az egyik ilyen a Kovner-Besikovich intézkedés. Általános esetben konvex alak esetén egyenlő $C$

\sigma (C)={{\mu (A)} \over {\mu (C))),

ahol az ábra területe, a maximális terület középre szimmetrikus konvex alakja, amely a -ban található . A Reuleaux-háromszög esetében egy ilyen alakzat egy ívelt oldalakkal rendelkező hatszög , amely ennek a Reuleaux-háromszögnek a metszéspontja a képével, amelynek középpontja körül szimmetria van [* 3] . A Reuleaux-háromszög Kovner-Besicovich mértéke: $\mu$ $A$ $C$

\sigma ={{6\arccos {\left({{5+{\sqrt {33}}} \over {12}}\right)}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}} } \over {\pi -{\sqrt {3}}}}=0{,}84034\lpont

[5] [40]

Egy másik módszer az Estermann-mérték

\tau (C)={{\mu (C)} \over {\mu (B))),

ahol a minimális területet tartalmazó központilag szimmetrikus alakzat. Egy Reuleaux-háromszög esetében ez egy szabályos hatszög , tehát az Estermann-mérték az $B$ $C$ $B$

\tau ={{\pi -{\sqrt {3}}} \over {{\sqrt {3}}}}=0{,}81379\lpont

[5] [36]

Központilag szimmetrikus alakoknál a Kovner-Besikovics és az Estermann mérték eggyel egyenlő. Az állandó szélességű ábrák közül csak a körnek [25] van központi szimmetriája , ami (a Reuleaux-háromszöggel együtt) korlátozza szimmetriájuk lehetséges értékeinek tartományát.

Szögletes gördülés

Bármely állandó szélességű alakzatot egy olyan négyzetbe írunk, amelynek oldala megegyezik az ábra szélességével, és a négyzet oldalainak iránya tetszőlegesen megválasztható [22] [* 6] . Ez alól a Reuleaux-háromszög sem kivétel, négyzetbe van írva, és abban tud forogni, folyamatosan érintve mind a négy oldalát [44] .

A háromszög minden csúcsa forgása során "áthalad" a négyzet szinte teljes kerületén , és csak a sarkokban tér el ettől a pályától - ott a csúcs egy ellipszis ívét írja le . Ennek az ellipszisnek a közepe a négyzet ellentétes sarkában található, és a fő- és kistengelyei 45°-os szögben el vannak forgatva a négyzet oldalaihoz képest, és egyenlőek.

a\cdot \left({\sqrt {3}}\pm 1\right),

ahol a háromszög szélessége [45] . A négy ellipszis mindegyike távolról érinti a négyzet két szomszédos oldalát $a$

a\cdot \left(1-{{\sqrt {3}}} \over {2}}\right)=a\cdot 0{,}13397\lpont

sarokból [38] .

A Reuleaux-háromszög középpontja forgás közben négy azonos ellipszisívből álló pálya mentén mozog. Ezeknek az ellipsziseknek a középpontjai a négyzet csúcsaiban helyezkednek el, és a tengelyek 45 ° -os szögben vannak elforgatva a négyzet oldalaihoz képest, és egyenlőek

a\cdot \left(1\pm {{1} \over {\sqrt {3}}}\right)

[45] .

Néha azoknál a mechanizmusoknál, amelyek a gyakorlatban egy háromszög ilyen elforgatását valósítják meg, nem négy ellipszis ívből álló ragasztást, hanem egy ahhoz közeli kört választanak a középpont pályájának [46] .

A forgatás által nem érintett négy sarok mindegyikének területe egyenlő

\beta =a^{2}\cdot \left(1-{{{\sqrt {3}}} \over {2}}-{{\pi } \over {24}}\right)

[47]

és kivonva őket a négyzet területéből, megkaphatja annak az alaknak a területét, amelyet a Reuleaux-háromszög alkot, amikor elfordul benne

a^{2}-4\beta =a^{2}\cdot \left(2{\sqrt {3}}+({\pi } \over {6}}-3\right)=a^{2 }\cdot 0{,}98770\lpont

[38] [47] [48]

A négyzetterülettel való eltérés ≈1,2%, ezért a Reuleaux-háromszög alapján olyan fúrókat készítenek , amelyek lehetővé teszik közel négyzet alakú furatok készítését [45] .

Alkalmazás

Négyzet alakú furatok fúrása a vágófuratok tengelyéhez mért keresztmetszetben

„Mindannyian hallottunk a balkezes anyákhoz tervezett csavarkulcsokról , csomózott vízvezetékekről és öntöttvas banánokról. Nevetséges csecsebecséknek tartottuk az ilyen dolgokat, és nem is hittük el, hogy valaha is találkozunk velük a valóságban. És hirtelen van egy szerszám, amely lehetővé teszi négyzet alakú lyukak fúrását!

Watts Brothers Tool Works szórólap [49] [* 7]

A Reuleaux-háromszög formájú metszetű vágó és a csúcsaival egybeeső vágólapátok lehetővé teszik a majdnem négyzet alakú lyukak készítését. Az ilyen furatok és a négyzet keresztmetszetű furatai között csak az enyhén lekerekített sarkokban van különbség [50] . Az ilyen maró másik jellemzője, hogy a tengelye forgás közben nem maradhat a helyén, mint a hagyományos csavarfúrók esetében, hanem négy ellipszis ívből álló metszetsík görbét ír le . Ezért a tokmány , amelyben a vágó be van szorítva, és a szerszámtartó nem zavarhatja ezt a mozgást [45] .

Harry Wattsnak, az Egyesült Államokban dolgozó angol mérnöknek először sikerült ilyen szerszámtartó-tervet megvalósítania . Ehhez egy négyzet alakú lyukkal ellátott vezetőlemezt használt, amelyben egy fúró sugárirányban mozoghatott, "úszó tokmányba" befogva [50] . A tokmány [51] és a fúró [52] szabadalmakat Watts szerezte meg 1917-ben. Az új fúrókat a Watts Brothers Tool Works [53] [54] értékesítette . 1978-ban egy másik amerikai szabadalmat adtak ki egy hasonló találmányra [55] .

Wankel motor

Egy másik felhasználási példát találhatunk a Wankel-motornál : ennek a motornak a rotorja Reuleaux-háromszög formájában készült [6] . A kamrában forog, melynek felülete az epitrochoid szerint készül [56] . A forgórész tengelye mereven kapcsolódik a fogaskerékhez , amely rögzített fogaskerékkel kapcsolódik . Egy ilyen háromszögű forgórész a fogaskerék körül gördül, folyamatosan érinti a motor belső falait a tetejével, és három változó térfogatú régiót képez , amelyek mindegyike egy égéstér [6] . Ennek köszönhetően a motor három teljes munkaciklust hajt végre egy fordulat alatt.

A Wankel motor lehetővé teszi bármely négyütemű termodinamikai ciklus végrehajtását gázelosztó mechanizmus használata nélkül . A keverékképzés, gyújtás , kenés, hűtés és indítás ebben alapvetően megegyezik a hagyományos dugattyús belsőégésű motorokkal [56] .

Kagylós mechanizmus

A Reuleaux-háromszög másik alkalmazása a mechanikában egy kagylószerkezet , amely kockánként mozgatja a filmet a filmvetítőkben . A Luch-2 projektor markolata például a Reuleaux-háromszögre épül, amely egy kettős paralelogrammára rögzített négyzet alakú keretbe van beírva . A hajtótengely körül forogva a háromszög mozgatja a keretet a rajta lévő fogakkal együtt . A fog belép a film perforációjába , lehúzza azt egy képkockával , majd kilép visszafelé, majd felemelkedik a ciklus elejére. A röppályája minél közelebb van a négyzethez, minél közelebb van a háromszög tetejéhez rögzítve a tengely (ideális esetben a négyzetes pálya lehetővé teszi a keret kivetítését a ciklus ¾-ére) [6] [57] [58] .

Létezik egy másik markoló kialakítás is, amely szintén a Reuleaux-háromszögre épül. Az első esethez hasonlóan ennek a markolatnak a kerete is oda-vissza mozgást végez, de nem egy, hanem két bütyök mozgatja , amelyek működését egy fogaskerék segítségével szinkronizálják [28] .

Aknafedelek

Aknafedelek készíthetők Reuleaux-háromszög alakban - az állandó szélesség miatt nem eshetnek bele a nyílásba [59] .

San Franciscóban egy vízvisszanyerő rendszer esetében az aknatestek Reuleaux-háromszög alakúak, fedeleik azonban egyenlő oldalú háromszög alakúak.

Bütykös mechanizmus

A Reuleaux-háromszöget a 19. század eleji gőzgépek bütykös mechanizmusaiban használták . Ezekben a mechanizmusokban a hajtókar forgó mozgása elforgatja a tolórúdhoz erőátviteli karokkal rögzített Reuleaux-háromszöget, ami a tolórúd oda-vissza mozgását idézi elő [63] . Reuleaux terminológiája szerint ez a kapcsolat egy "magasabb" kinematikai párt alkot , mivel a kapcsolatok érintkezése a vonal mentén történik, és nem a felület mentén [64] . Az ilyen bütykös mechanizmusoknál a toló, amikor eléri a szélső jobb vagy bal helyzetet, bizonyos ideig mozdulatlan marad [63] [10] .

A Reuleaux-háromszöget korábban széles körben használták cikkcakk varrógépek bütykös mechanizmusaiban.

A Reuleaux-háromszöget a német óragyártók bütyökként használták az A. Lange & Söhne "Lange 31" [65] karóra szerkezetében .

Korcsolyapálya

Nehéz tárgyak rövid távolságra történő mozgatásához nem csak kerekes, hanem egyszerűbb szerkezetek is használhatók, például hengeres görgők [66] . Ehhez a terhet görgőkre szerelt lapos állványra kell helyezni, majd tolni. Amint a hátsó görgők szabaddá válnak, el kell vinni és elöl kell tenni [67] [66] . Az emberiség a kerék feltalálása előtt használta ezt a szállítási módot .

Ennél a mozgásnál fontos, hogy a teher ne mozduljon fel és le, mivel a rázás további erőfeszítést igényel a tolótól [67] . Ahhoz, hogy a görgők mentén a mozgás egyenes vonalú legyen , a keresztmetszetüknek állandó szélességű alaknak kell lennie [67] [68] . Leggyakrabban a szakasz egy kör volt , mert a közönséges rönkök görgőkként szolgáltak . Azonban egy Reuleaux-háromszög formájú szakasz is ugyanolyan jó lesz [ pontosítás ] , és lehetővé teszi az objektumok ugyanabban az egyenesben történő mozgatását [6] [67] .

Bár a Reuleaux háromszög alakú görgők lehetővé teszik a tárgyak egyenletes mozgását, ez a forma nem alkalmas kerekek gyártására, mivel a Reuleaux háromszögnek nincs rögzített forgástengelye [69] .

Plectrum

A Reuleaux-háromszög a plectrum (pick) gyakori formája : egy vékony lemez, amelyet pengetős hangszerek húrjaira terveztek .

Tervezésben

A Reuleaux-háromszöget a vállalatok és szervezetek logóinak elemeként használják, például: FINA ( Petrofina ) [70] , Bavaria [71] , Colorado School of Mines [72] .

Az Egyesült Államokban a nemzeti nyomvonalrendszert és a kerékpárútrendszert Reuleaux-háromszögek díszítik [73] .

A Samsung Corby okostelefon központi gombjának formája egy Reuleaux-háromszög, amely azonos alakú ezüst keretbe van beágyazva. A szakértők szerint a központi gomb a Corby előlapjának fő dizájneleme [74] [75] .

A Reuleaux-háromszög a művészetben

Építészet

A Reuleaux-háromszög alakját építészeti célokra is használják. Két ívének felépítése a gótikus stílusra jellemző csúcsívet alkot , de a gótikus épületekben teljes egészében meglehetősen ritka [76] [77] . Reuleaux-háromszög alakú ablakok találhatók a bruges- i Miasszonyunk templomban [9] , valamint az adelaide -i skót templomban [77] . Díszítő elemként a svájci Hauterives [76] ciszterci apátság ablakrácsain található .

A Reuleaux-háromszöget a nem gótikus építészetben is használják. Például a Kölnben 2006-ban épült 103 méteres „ Cologne Triangle ” torony keresztmetszete pontosan ez az ábra [78] .

Néhány használati eset


A Bruges -i Szűzanya - templom ablaka	A Bruges -i Szent Salvator-székesegyház ablaka	A Notre Dame-székesegyház ablaka	" Kölni háromszög "

A luxemburgi Szent Mihály-templom ablaka	A Bruges -i Szűzanya - templom ablaka	A brüsszeli Szent Mihály és Gudula - székesegyház ablaka	A genti Szent Bavo-székesegyház ablaka

Lásd még a " Reuleaux-háromszögek az építészetben " kategóriát a Wikimedia Commonsban

Forma és szín

Johannes Itten előtanulmánya szerint az "ideális" megfelelési modellben az egyes színek spektrumának egy része abban van - formával (geometrikus ábra). A zöld szín egy „származék”: az átlátszó kék és világossárga keverés eredménye (az akromatikusak nélkül ), és mivel ebben a modellben ezek egy körnek és egy szabályos háromszögnek felelnek meg, ez az I. Itten a figura. gömb alakú háromszög, a Reuleaux-háromszög, amely zöldnek felel meg.

Irodalom

Poul Anderson "The Triangular Wheel" [79] című sci-fi novellájában egy földi legénység lezuhant egy olyan bolygóra, amelynek lakossága nem használt kerekeket , mivel minden körülötte vallási tilalom alatt állt. A leszállóhelytől több száz kilométerre az előző szárazföldi expedíció egy raktárt hagyott el tartalék alkatrészekkel, de onnan a hajóhoz szükséges kéttonnás atomgenerátort mindenféle mechanizmus nélkül nem lehetett átvinni. Ennek eredményeként a földlakóknak sikerült betartani a tabut, és a generátort egy Reuleaux-háromszög alakú metszetű görgők segítségével szállítani.

Változatok és általánosítások

Reuleaux poligon

A Reuleaux-háromszög alapötlete általánosítható úgy, hogy egy állandó szélességű görbét nem egyenlő oldalú háromszöggel hozunk létre , hanem egy egyenlő hosszúságú szakaszokból álló , csillagozott sokszöget [80] . Ha egy csillag alakú sokszög minden csúcsából megrajzolunk egy körívet , amely két szomszédos csúcsot köt össze, akkor a kapott állandó szélességű zárt görbe véges számú azonos sugarú ívből fog állni [80] . Az ilyen görbéket (valamint az általuk határolt ábrákat) Reuleaux poligonoknak [81] [82] nevezzük .

Egy bizonyos szélességű Reuleaux-sokszögek családja mindenütt sűrű részhalmazt alkot az összes állandó szélességű görbe halmazában ( Hausdorff-metrikával ) [81] . Vagyis segítségükkel tetszőlegesen pontosan közelíthető bármilyen állandó szélességű görbe [83] [82] . $a$ $a$

A Reuleaux-féle sokszögek között van egy szabályos csillagozott sokszögek alapján felépített görbék osztálya. Ezt az osztályt szabályos Reuleaux poligonoknak nevezzük . Az ilyen sokszöget alkotó összes ívnek nemcsak a sugara, hanem a hossza is azonos [84] [* 8] . A Reuleaux-háromszög például helyes. A rögzített számú és azonos szélességű Reuleaux-sokszögek közül a szabályos sokszögek veszik körül a legnagyobb területet [84] [85] .

Az ilyen sokszögek formáját használják a pénzverésben : számos ország érméi (különösen 20 [86] és 50 penny [87] Nagy-Britannia ) szabályos Reuleaux-hétszög formájában készülnek. Van egy kínai tiszt által készített kerékpár , amelynek kerekei szabályos háromszög és Reuleaux-ötszög alakúak [88] .

3D analógok

A Reuleaux-háromszög háromdimenziós analógja három kör metszéspontjaként a Reuleaux-tetraéder - négy egyforma golyó metszéspontja , amelyek középpontjai egy szabályos tetraéder csúcsaiban helyezkednek el , és sugarai megegyeznek az oldalával. ez a tetraéder. A Reuleaux-tetraéder azonban nem állandó szélességű test : a csúcsait összekötő, szemközti görbe vonalú határélek felezőpontjai közötti távolság

{\sqrt {3}}-{\frac {{\sqrt {2}}}{2}}=1{,}02494\lpont

szor nagyobb, mint az eredeti szabályos tetraéder éle [89] [90] .

A Reuleaux-tetraéder azonban módosítható úgy, hogy a kapott test állandó szélességű test legyen. Ehhez a három szemközti íves élpár mindegyikében egy élt bizonyos módon „kisimítanak” [90] [91] . Az így kapott két különböző testet (a három él, amelyen a cserék történnek, akár ugyanabból a csúcsból kilépve, akár háromszöget alkotva [91] ) Meissner -testeknek vagy Meissner-tetraédereknek [89] nevezzük . A Tommy Bonnesen és Werner Fenchel által 1934-ben megfogalmazott hipotézis [92] azt állítja, hogy ezek a testek minimalizálják a térfogatot egy adott állandó szélességű test között, de (2011-ben) ez a hipotézis nem igazolódott [93] ] [94] .

Végül a Reuleaux-háromszög másodrendű szimmetriatengelye körüli elforgatásával kapott forgástest egy állandó szélességű test. Ennek a legkisebb térfogata az állandó szélességű forgástestek közül [90] [95] [96] .

Megjegyzések

↑ A Reuleaux vezetéknév átírásának más változatai is léteznek. Például I. M. Yaglom és V. G. Boltyansky a „Konvex alakok” című könyvében „Rello-háromszögnek” nevezi.
↑ A referenciavonal az ábra határának egy pontján halad át anélkül, hogy az ábrát részekre osztaná.
↑ 1 2 Egy Reuleaux-háromszög középpontja a szabályos háromszög összes mediánjának , felezőjének és magasságának metszéspontja .
↑ Egy Reuleaux-háromszög esetében ez a kör egybeesik a három kör egyikével, amelyek a határát alkotják.
↑ Ez az állítás két tétel – Dido és Barbier tételének klasszikus izoperimetriai problémája – kombinációjából következik .
↑ Ez a tulajdonság teljes mértékben jellemzi az állandó szélességű alakzatokat. Más szóval, minden olyan alak, amely körül a leírt négyzet "forgatható", állandó szélességű alak lesz.
↑ Eredeti - "Mindannyian hallottunk a balkezes majomkulcsokról, a szőrmével bélelt fürdőkádakról, az öntöttvas banánokról. Mindannyian nevetségesnek minősítettük ezeket a dolgokat, és nem voltunk hajlandóak elhinni, hogy ilyesmi valaha is megtörténhet, és rögtön jön egy szerszám, amely négyzet alakú lyukakat fúr!
↑ Más szóval ezeknek az íveknek a középponti szögei egyenlőek.

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 Sokolov D. D. Állandó szélességű görbe // Mathematical Encyclopedia / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1984. - T. 4. - S. 519. - 608 p. — 150.000 példány.
↑ Yaglom, Boltyansky. Konvex ábrák, 1951 , p. 91.
↑ Yaglom, Boltyansky. Konvex ábrák, 1951 , p. 90.
↑ 1 2 Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 206-207.
↑ 1 2 3 4 5 Finch SR Reuleaux háromszög állandók // Matematikai állandók . - Cambridge : Cambridge University Press, 2003. - P. 513-515 . — 624 p. - (Matematika enciklopédiája és alkalmazásai, 94. köt.). - ISBN 0-5218-1805-2 . (Angol)
↑ 1 2 3 4 5 Andreev N. N. Kerek Reuleaux-háromszög . Matematikai tanulmányok . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2012. május 23.. (határozatlan)
↑ Pickover CA Reuleaux-háromszög // A matematikai könyv: Pythagorastól az 57. dimenzióig, 250 mérföldkő a matematika történetében . - New York ; London : Sterling, 2009. - P. 266-267 . — 528 p. — ISBN 1-4027-5796-4 . (Angol)
↑ Hold. Leonardo Da Vinci és Franz Reuleaux gépei, 2007 , p. 240.
↑ 1 2 3 4 Taimina D. , Henderson D.W. Reuleaux Triangle . Kinematikai modellek a digitális könyvtár tervezéséhez . Cornell Egyetem . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2012. május 10.
↑ 12 Hold . Leonardo Da Vinci és Franz Reuleaux gépei, 2007 , p. 241.
↑ Snyder Térképvetítések megjelenése: Klasszikus a reneszánszig // A Föld lapítása: Kétezer éves térképvetítések. - Chicago ; London : University Of Chicago Press, 1997. - P. 40. - 384 p. — ISBN 0-2267-6747-7 . (Angol)
↑ Állandó szélességű görbe // Matematikai enciklopédikus szótár / Ch. szerk. Yu. V. Prokhorov . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1988. - S. 478 . — 847 p. — 150.000 példány.
↑ WolframAlpha : Reuleaux Triangle . wolframalpha . Wolfram kutatás. Letöltve: 2011. november 18. (elérhetetlen link)
↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 201.
↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 201-202.
↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 202-203.
↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 203.
↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 203-204.
↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 204-206.
↑ Lenz H. Zur Zerlegung von Punktmengen in solche kleineren Durchmessers (német) // Archiv der Mathematik. - Bázel : Birkhäuser Verlag, 1955. - Bd. 6 , sz. 5 . - S. 413-416 . — ISSN 0003-889X . - doi : 10.1007/BF01900515 .
↑ Raigorodsky A. M. Borsuk problémája. Univerzális gumiabroncsok // Matematikai oktatás . - M . : MTSNMO , 2008. - Kiadás. 12 . - S. 216 . — ISBN 978-5-94057-354-8 . Az eredetiből archiválva : 2011. szeptember 16.
↑ 1 2 Yaglom, Boltyansky. Konvex ábrák, 1951 , p. 92.
↑ Eggleston. Konvexitás, 1958 , p. 127-128.
↑ Barbier E. Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert (francia) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - Párizs : Imprimerie de Mallet-Hachelier, 1860. - 20. évf. 5 . - 273-286 . o . — ISSN 0021-7824 . (nem elérhető link)
↑ 1 2 Bogomolnij A. Barbier tétele . Vágja le a csomót . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2012. május 23..
↑ Eggleston. Konvexitás, 1958 , p. 127.
↑ Eggleston. Konvexitás, 1958 , p. 128-129.
↑ 1 2 Berger M. Geometry = Géométrie / Per. franciából Yu. N. Sudareva, A. V. Pajitnova, S. V. Chmutova. - M .: Mir , 1984. - T. 1. - S. 529-531. — 560 p.
↑ Blaschke W. Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts (német) // Mathematische Annalen . - Leipzig : Druck und Verlag von BG Teubner, 1915. - Bd. 76 , sz. 4 . - S. 504-513 . — ISSN 0025-5831 . - doi : 10.1007/BF01458221 .
↑ Lebesgue H. Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur állandó (francia) // Bulletin de la Société Mathématique de France, Comptes Rendus des Séances. - 1914. - Kt. 42 . - 72-76 . o . Az eredetiből archiválva : 2016. november 28.
↑ Fujiwara M. Blaschke tételének analitikus bizonyítása az állandó szélesség görbéjéről minimális területtel // Proceedings of the Imperial Academy. - Tokió : Japán Akadémia, 1927. - 1. évf. 3 , sz. 6 . - P. 307-309 . — ISSN 0369-9846 . doi : 10.2183 /pjab1912.3.307 .
↑ Fujiwara M. Blaschke tételének analitikus bizonyítása az állandó szélesség görbéjéről minimális területtel, II // Proceedings of the Imperial Academy. - Tokió : Japán Akadémia, 1931. - 1. évf. 7 , sz. 8 . - P. 300-302 . — ISSN 0369-9846 . doi : 10.2183 /pjab1912.7.300 .
↑ Mayer A.E. Der Inhalt der Gleichdicke: Abschätzungen für ebene Gleichdicke (német) // Mathematische Annalen . - Berlin : Verlag von Julius Springer, 1935. - Bd. 110 , sz. 1 . - S. 97-127 . — ISSN 0025-5831 . - doi : 10.1007/BF01448020 .
↑ Eggleston HG A Reuleaux-háromszög Blaschke-tételének bizonyítása // Quarterly Journal of Mathematics. - London : Oxford University Press , 1952. - 1. évf. 3 , sz. 1 . - P. 296-297 . — ISSN 0033-5606 . - doi : 10.1093/qmath/3.1.296 .
↑ Besicovitch AS Minimum Area of a Set of Constant Width // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. - Providence : American Mathematical Society , 1963. - Vol. 7 (Konvexitás) . - 13-14 . o . - ISBN 0-8218-1407-9 . — ISSN 0082-0717 .
↑ 1 2 Chakerian GD Sets of Constant Width // Pacific Journal of Mathematics . - Berkeley : Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1966. - Vol. 19 , sz. 1 . - P. 13-21 . — ISSN 0030-8730 . Az eredetiből archiválva: 2016. március 4.
↑ Harrell EM Blaschke és Lebesgue tételének közvetlen bizonyítása // Journal of Geometric Analysis. — St. Louis : Mathematica Josephina, 2002. - 1. kötet. 12 , sz. 1 . - 81-88 . o . — ISSN 1050-6926 . - doi : 10.1007/BF02930861 . arXiv : math.MG/0009137
↑ 1 2 3 Weisstein E.W. Reuleaux- háromszög . wolfram mathworld . Letöltve: 2011. november 6. Az eredetiből archiválva : 2019. április 2.
↑ Boltyansky V. G. A szakasz elforgatásáról // Kvant . - M . : Nauka , 1973. - 4. sz . - S. 29 . — ISSN 0130-2221 . Archiválva az eredetiből 2007. november 26-án.
↑ 1 2 Besicovitch AS Konvex görbék aszimmetriájának mértéke (II): Constant Width görbéi // Journal of the London Mathematical Society. - Oxford : Oxford University Press , 1951. - Vol. 26 , sz. 2 . - 81-93 . o . — ISSN 0024-6107 . - doi : 10.1112/jlms/s1-26.2.81 .
↑ Eggleston HG Az állandó szélességű konvex görbék és a korlátozott görbületi sugarak aszimmetriájának mérése // Quarterly Journal of Mathematics. - London : Oxford University Press , 1952. - 1. évf. 3 , sz. 1 . - 63-72 . o . — ISSN 0033-5606 . - doi : 10.1093/qmath/3.1.63 .
↑ Grünbaum B. Measures of Symmetry for Convex Sets // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. - Providence : American Mathematical Society , 1963. - Vol. 7 (Konvexitás) . - 233-270 . - ISBN 0-8218-1407-9 . — ISSN 0082-0717 .
↑ Groemer H., Wallen LJ A Measure of Asymmetry for Domains of Constant Width // Beiträge zur Algebra und Geometry / Contributions to Algebra and Geometry. - Lemgo : Heldermann Verlag, 2001. - Vol. 42 , sz. 2 . - P. 517-521 . — ISSN 0138-4821 . Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 21.
↑ Andreev N. N. A kerék feltalálása . Matematikai tanulmányok . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2012. május 23.. (határozatlan)
↑ 1 2 3 4 Andreev N. N. Négyzet alakú lyukak fúrása . Matematikai tanulmányok . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2012. május 23.. (határozatlan)
↑ Belilcev V. Plusz geometria! // Technika és tudomány. - M . : Profizdat, 1982. - 7. sz . - S. 14 . — ISSN 0321-3269 .
↑ 1 2 Klee V. , Wagon S. Régi és új megoldatlan problémák a síkgeometriában és a számelméletben. - Washington DC : Mathematical Association of America , 1996. - P. 22. - 356 p. - (Dolciani Mathematical Expositions, 11. kötet). — ISBN 0-8838-5315-9 . (Angol)
↑ Wilson RG A066666: Forgó Reuleaux- háromszög által kivágott terület decimális kiterjesztése . OEIS . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2012. május 23..
↑ Idézet Gardner M. Matematikai szabadidő / Per. angolról. Yu. A. Danilova. Szerk. A. Ya. Smorodinsky. - M .: Mir , 1972. - S. 292. - 496 p.
↑ 1 2 Yegupova M. Lehet-e négyzet alakú lyukat fúrni? // Tudomány és élet . - M . : ANO "A Science and Life folyóirat szerkesztősége", 2010. - 5. sz . - S. 84-85 . — ISSN 0028-1263 . (Orosz)
↑ Watt HJ US szabadalom 1,241,175 (Floating Tool-Chuck ) . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2015. november 29..
↑ Watts HJ US szabadalom 1,241,176 (fúró vagy fúrótag ) . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2011. december 29..
↑ Smith. Négyszögletes lyukak fúrása, 1993 .
↑ Drága DJ Reuleaux Triangle // A matematika egyetemes könyve: Abrakadabrától Zeno paradoxonaiig . - Hoboken : Wiley, 2004. - 272. o . - 400 p. — ISBN 0-4712-7047-4 . (Angol)
↑ Morrell RJ, Gunn JA, Gore GD 4 074 778 számú amerikai egyesült államokbeli szabadalom (négyzetes furatfúró ) . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2011. december 28..
↑ 1 2 Wankel motor // Politechnikai szótár / Szerkesztőbizottság: A. Yu. Ishlinsky (főszerkesztő) és mások - 3. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Szovjet Enciklopédia , 1989. - S. 72. - 656 p. — ISBN 5-8527-0003-7 .
↑ Yaglom, Boltyansky. Konvex ábrák, 1951 , p. 93-94.
↑ Kulagin S.V. Kagyló mechanizmus // Fotokinotechnika / Ch. szerk. E. A. Iofis . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1981. - S. 71. - 447 p. — 100.000 példány.
↑ Fehér HS Leonhard Euler geometriája // Leonhard Euler: Élet, munka és örökség / Szerk. RE Bradley, C. E. Sandifer. - Amszterdam : Elsevier , 2007. - 309. o . — ISBN 0-4445-2728-1 .
↑ Modell: L01 Pozitív visszatérési mechanizmus ívelt háromszöggel (Modell metaadatai ) . Kinematikai modellek a digitális könyvtár tervezéséhez . Cornell Egyetem . Letöltve: 2011. november 18. Az eredetiből archiválva : 2012. május 23..
↑ Modell: L02 Positive Return Cam (Model Metadata ) . Kinematikai modellek a digitális könyvtár tervezéséhez . Cornell Egyetem . Letöltve: 2011. november 18. Az eredetiből archiválva : 2012. május 23..
↑ Modell: L06 Positive Return Cam (Model Metadata ) . Kinematikai modellek a digitális könyvtár tervezéséhez . Cornell Egyetem . Letöltve: 2011. november 18. Az eredetiből archiválva : 2012. május 23..
↑ 1 2 Modell : L01 Pozitív visszatérési mechanizmus ívelt háromszöggel . Kinematikai modellek a digitális könyvtár tervezéséhez . Cornell Egyetem . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2012. május 23..
↑ Típus : L06 pozitív visszacsapó kamera . Kinematikai modellek a digitális könyvtár tervezéséhez . Cornell Egyetem . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2012. május 23..
↑ Gopey I. A. Lange & Söhne Lange 31 // Az órám. - M . : Irodalomnéző, 2010. - 1. sz . - S. 39 . — ISSN 1681-5998 . Az eredetiből archiválva : 2011. február 13.
↑ 12 Gardner . The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991 , p. 212.
↑ 1 2 3 4 Butuzov V. F. et al. Circle // Planimetria. Kézikönyv a matematika elmélyült tanulmányozásához . — M .: Fizmatlit , 2005. — S. 265. — 488 p. — ISBN 5-9221-0635-X . Archiválva : 2012. szeptember 18. a Wayback Machine -nál
↑ Kogan B. Yu. Amazing rollers // Kvant . - M . : Nauka , 1971. - 3. sz . - S. 21-24 . — ISSN 0130-2221 . Az eredetiből archiválva : 2012. március 28.
↑ Peterson. Mathematical Treks, 2002 , p. 143.
↑ A Fina logó története: a Petrofinától a Fináig . total.com. Az eredetiből archiválva : 2012. december 26. (határozatlan)
↑ Bajorország . Hozzáférés időpontja: 2019. május 7. (Orosz)
↑ Roland B. Fischer. M-Blems: A logó magyarázata (PDF) 29. Mines: The Magazine of Colorado School of Mines. 92. évfolyam 2. szám (2002. tavasz). Letöltve: 2019. május 7. Az eredetiből archiválva : 2010. július 10. (határozatlan)
↑ Ideiglenes jóváhagyás az Egyesült Államok Kerékpárút (M1-9) tábla alternatív kialakításának opcionális használatához (IA-15) - Az FHWA által kiadott ideiglenes jóváhagyások - FHWA MUTCD . mutcd.fhwa.dot.gov. Letöltve: 2019. május 7. Az eredetiből archiválva : 2020. március 5. (határozatlan)
↑ Alekszej Goncsarov. Repülj be, olcsóbb: Samsung S3650 Corby (nem elérhető link) . Nomobile (2009. szeptember 28.). Letöltve: 2019. május 7. Az eredetiből archiválva : 2019. február 14. (határozatlan)
↑ Pavel Urusov. Samsung S3650 Corby mobiltelefon áttekintése . GaGadget (2010. január 18.). Letöltve: 2019. március 2. Az eredetiből archiválva : 2019. február 14. (határozatlan)
↑ 1 2 Brinkworth P., Scott P. Fancy Gothic of Hauterive . A matematika helye . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2013. április 5..
↑ 1 2 Scott P. Reuleaux háromszög ablak . Matematikai fotógaléria . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2013. május 1..
↑ KölnTriangle: Architecture (angol) (a link nem elérhető) . A KölnTriangle hivatalos honlapja . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2013. június 22..
↑ Anderson P. The Three-Cornered Wheel // Analog Science Fact - Science Fiction . – New York : Condé Nast Publications, 1963/10. — Vol. LXXII , sz. 2 . - 50-69 . o .
↑ 12 Gardner . The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991 , p. 215-216.
↑ 1 2 Bezdek M. A Blaschke-Lebesgue-tétel általánosításáról lemez-poligonokra // Hozzájárulások a diszkrét matematikához. - 2011. - 20. évf. 6 , sz. 1 . - 77-85 . o . — ISSN 1715-0868 . (nem elérhető link)
↑ 12 Eggleston . Konvexitás, 1958 , p. 128.
↑ Yaglom, Boltyansky. Konvex ábrák, 1951 , p. 98-102.
↑ 1 2 Firey WJ Reuleaux poligonok izoperimetriás arányai // Pacific Journal of Mathematics . - Berkeley : Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1960. - Vol. 10 , sz. 3 . - P. 823-829 . — ISSN 0030-8730 . Az eredetiből archiválva : 2016. augusztus 13.
↑ Sallee GT Maximal Areas of Reuleaux Polygons // Canadian Mathematical Bulletin. - Ottawa : Kanadai Matematikai Társaság, 1970 . 13 , sz. 2 . - 175-179 . o . — ISSN 0008-4395 . - doi : 10.4153/CMB-1970-037-1 . (nem elérhető link)
↑ Egyesült Királyság 20p Coin (eng.) (nem elérhető link) . A brit királyi pénzverde hivatalos honlapja . Letöltve: 2011. november 6. Az eredetiből archiválva : 2012. február 12..
↑ Egyesült Királyság 50p érme . A brit királyi pénzverde hivatalos honlapja . Letöltve: 2011. november 6. Az eredetiből archiválva : 2012. május 23..
↑ Sarkú kerekek: a kerék újrafeltalálása . Popular Mechanics webhely ( 2009. május 29.). Letöltve: 2011. november 6. Az eredetiből archiválva : 2010. október 18.. (határozatlan)
↑ 1 2 Weisstein E.W. Reuleaux Tetrahedron . wolfram mathworld . Letöltve: 2011. november 6. Az eredetiből archiválva : 2011. szeptember 3..
↑ 1 2 3 Kawohl B., Weber C. Meissner titokzatos testei // Matematikai intelligencia. - New York : Springer , 2011. - 20. évf. 33 , sz. 3 . - P. 94-101 . — ISSN 0343-6993 . - doi : 10.1007/s00283-011-9239-y . Az eredetiből archiválva : 2012. július 13.
↑ 12 Gardner . The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991 , p. 218.
↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. - Berlin : Verlag von Julius Springer, 1934. - S. 127-139. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1). (Német)
↑ Kawohl B. Convex Sets of Constant Width // Oberwolfach jelentések. - Zürich : European Mathematical Society Publishing House, 2009. - Vol. 6 , sz. 1 . - P. 390-393 . Archiválva az eredetiből 2013. június 2-án.
↑ Anciaux H., Guilfoyle B. A háromdimenziós Blaschke-Lebesgue problémáról // Proceedings of the American Mathematical Society. - Providence : American Mathematical Society , 2011. - Vol. 139. sz . 5 . - P. 1831-1839 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 . arXiv : 0906.3217
↑ Campi S., Colesanti A., Gronchi P. Minimális problémák konvex testek térfogatára // Parciális differenciálegyenletek és alkalmazások / Szerk. P. Marcellini, G. Talenti, E. Visintin. - New York : Marcel Dekker, 1996. - P. 43-55 . - ISBN 0-8247-9698-5 .
↑ Anciaux H., Georgiou N. A Blaschke-Lebesgue-probléma állandó szélességű forradalomtestekre . arXiv : 0903.4284

Irodalom

Oroszul

Rademacher G., Toeplitz O. Állandó szélességű görbék // Számok és ábrák. A matematikai gondolkodás kísérletei / Per. vele. V. I. Kontovt. - M .: Fizmatgiz , 1962. - S. 195-211. — 263 p. - ("Matematikai Kör könyvtára", 10. szám). - 40.000 példány.
Yaglom I. M. , Boltyansky V. G. Állandó szélességű ábrák // Konvex ábrák . - M. - L .: GTTI , 1951. - S. 90-105. — 343 p. - ("A matematikai kör könyvtára", 4. szám). — 25.000 példány.

Angolul

Eggleston HG Állandó szélességű készletek // Konvexitás. - London : Cambridge University Press, 1958. - P. 122-131. — 136 p. - (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 47. kötet). - ISBN 0-5210-7734-6 .
Gardner M. Az állandó szélességű görbék // The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. - Chicago ; London : University of Chicago Press, 1991. - P. 212-221. — 264 p. - ISBN 978-0-2262-8256-5 .
Gleißner W., Zeitler H. A Reuleaux-háromszög és tömegközéppontja // Eredmények a matematikában. - 2000. - Vol. 37, 3-4 . - P. 335-344. — ISSN 1422-6383 . Az eredetiből archiválva: 2007. december 4.
Moon FC Curves of Constant Breadth // Leonardo Da Vinci és Franz Reuleaux gépei: A gépek kinematikája a reneszánsztól a 20. századig. - Dordrecht : Springer , 2007. - P. 239-241. — 451 p. - (Mechanizmus és géptudomány története, 2. köt.). - ISBN 978-1-4020-5598-0 .
Peterson I. Rolling with Reuleaux // Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. - Washington DC : Mathematical Association of America , 2002. - P. 141-144. – 180 p. - (Spectrum sorozat). - ISBN 0-8838-5537-2 .
Reuleaux F. Elempárok // A gépek kinematikája. Egy gépelmélet körvonalai / Tr. és szerk. szerző : Alexander BW Kennedy . - London : Macmillan and Co, 1876. - P. 86-168. — 622 p.
Smith S. Négyszögletes lyukak fúrása // Matematikatanár. - Reston : Matematikatanárok Országos Tanácsa, 1993. - Vol. 86, 7. sz . - P. 579-583. — ISSN 0025-5769 . Archiválva az eredetiből 2005. április 4-én.

Linkek

A Reuleaux-háromszögnek szentelt " Mathematical Etudes " sorozat videói :
- " Kerek Reuleaux-háromszög "
- " Négyzet lyukak fúrása "
- « Reinventing the Wheel archiválva : 2013. június 22. »
Bogomolnij A. Állandó szélességű alakzatok . Vágja le a csomót . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2012. május 10.
Eppstein D. Reuleaux háromszögek . Geometry Junkyard . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2012. május 10.
Kunkel P. Reuleaux háromszög . Whistler Alley matematika . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2012. május 10.
Peterson I. Rolling with Reuleaux (angol) (hivatkozás nem elérhető) . Ivars Peterson MathLand című műve . Amerika Matematikai Szövetsége . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2013. június 22..
Taimina D. , Henderson DW Reuleaux Triangle (angol) . Kinematikai modellek a digitális könyvtár tervezéséhez . Cornell Egyetem . Letöltve: 2011. október 11. Az eredetiből archiválva : 2012. május 10.

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg